3661
.pdf
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x at) |
(x |
at) |
|
1 x |
at |
|
|
(18) |
||
|
|
u(x; t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )d |
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2a x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
at |
|
|
|
|||
является |
решением |
уравнения |
(13) |
при |
|
|
x |
( |
, |
), t (0, |
) и |
||||
u(x; 0) |
(x), |
u(x; 0) |
(x) |
при |
x |
( |
, |
), |
следовательно, |
она |
|||||
|
|
|
|||||||||||||
t |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяет уравнению (13) при x |
(0, |
|
), |
t |
(0, |
|
) и условиям (16). |
||||||||
Условие (17) также выполнено. Действительно,
u(0; t) |
( at) |
(at) 1 |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2a |
|
|
|
|
||
at
( )d
0,
at
так как интеграл от нечетной функции по отрезку, симметричному
относительно начала системы |
координат, равен |
нулю, а |
внеинтегральное |
|||||||||||||||
слагаемое также равно нулю для нечетной функции |
(x). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, рассматривая (18) только для |
x |
[0, |
), |
t |
[0, |
), мы |
||||||||||||
получим функцию, удовлетворяющую всем условиям поставленной задачи. |
||||||||||||||||||
Возвращаясь к прежним функциям |
(x), |
(x) , можно написать: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
(x |
at) |
(x |
at) |
1 x |
at |
( |
)d |
при |
t |
x |
, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u(x; t) |
2 |
|
|
|
|
2a x |
at |
|
|
|
|
a |
|
|||||
|
|
|
|
|
1 x |
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x |
at) |
(at |
x) |
|
( |
)d |
при |
t |
x |
0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2a at |
x |
a |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример. Найти функцию u(x; t), удовлетворяющую уравнению
при 0 < x < + ∞, 0 < t < + ∞, начальным условиям u(x; 0) = x4, |
u(x; 0) |
|||||
|
||||||
t |
||||||
|
|
|
|
|
||
(0 ≤ x < + ∞), и граничному условию u(0; t) = 0 (0 ≤ t < + ∞). |
|
|||||
Решение. Введем функции |
(x) |
и |
(x), |
которые будут |
||
нечетными продолжениями функций |
(x) |
x4 |
и |
(x) sin 2 x : |
||
2u 2u
t 2 |
|
x 2 |
sin 2 x
являться
(x) |
x 4 |
при |
x |
0, |
|
|
|
(x) |
sin 2 x |
при |
x |
0, |
x 4 |
при |
x |
0; |
|
|
|
sin 2 x |
при |
x |
0. |
||
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда по формуле Даламбера решение можно записать в виде |
|
|
||||||||||
|
(x |
t) |
(x |
t) |
|
1 x |
t |
|
|
|
|
|
u(x; t) |
|
|
|
|
|
|
|
( )d |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
(x |
t)4 |
(x |
|
t)4 |
1 x |
t |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 |
d |
при |
t |
x, |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2a x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||||
(x |
t)4 |
(x |
|
t)4 |
1 |
|
(x |
t sin 2 |
d |
0 sin 2 |
d ) |
при t x 0, |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x t |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 4 |
t 4 |
6x |
2 t 2 |
|
t |
|
|
|
1 |
cos 2x sin 2t |
при |
t |
x, |
|
||||
2 |
|
|
4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4xt (x 2 |
t 2 ) |
|
1 |
(2x |
|
|
sin 2x cos 2t) |
при |
t |
x |
0. |
|||||||
4 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Библиографический список
1. Данилов, Ю. М. Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие / Ю.
М. Данилов, Л. Н. Журбенко, Г. А. Никонова, Н. В. Никонова, С. Н. Нуриева : под ред. Л. Н. Журбенко, Г. А. Никоновой. – М. : ИНФРА – М,2009. – ЭБС «Знаниум».
23
Оглавление
1.Решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей …………………………………………………3
2.Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом конечных разностей …………………………………………………8
3.Решение задачи Коши для уравнения колебаний струны методом Даламбера. Метод продолжений решения смешанной задачи, описывающей колебания полубесконечной струны с закрепленным левым концом ………………………………………………………………………...17
Библиографический список …………………………………………………….22