ТВиМС. Домашнее задание №2

2.

Теория вероятностей и математическая статистика

Написать

Домашнее задание №2

1.

Нарисовать

и найти уравнения всех сторон треугольника.

3.

Найти одномерные

и

, которая

двумерную плотность вероятности для системы

5.

распределена равномерно в

.

1( )

2

( )

Найти центр рассеивания, нанести его на

плотности вероятности

.

4.

Найти одномерные функции распределения 1( )

и2( ) .

7.

чертеж.

6.

Найти

,

,

, .

| )

( | )

8.

Найти условные законы

9.

Найти условные математические

(

Вычислить корреляционный момент

и коэффициент корреляции .

10. Нанести

распределения

и

.

ожидания и написать уравнения

регрессий «

на

» и «

на

».

регрессии на чертеж.

= (−5, −7)

Задание и пример решения

= (4, 0)

и найти уравнения всех сторон треугольника

1. Нарисовать

= (4, 9)

ТреугольникABC

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-6

-5

-4

-3

-2

-1 -1 0

1

2

3

4

5

6

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

( 1

-9

-10

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

, имеет

вид:

− 1

− 1

, 1) и ( 2, 2)

Или в общем виде

( 1 −

2

− 1

= 2

− 1

−

2

1) = 0

Уравнения прямых:

2) + ( 2

− 1) + ( 1 2

: −7

+ 9 + 28 = 0,

=

7 −28

,

,

= 9 + 28

: −16

+ 9 −17 = 0,

=

16 9+ 17

= 9 7−17

: −9 + 0 + 36 = 0, 9

= 4

16

Двумерная случайная

, которая

2. Написать двумерную плотность вероятности для системы

распределена равномерно в

.

( , ) = , втреугольнике (−5, −7), (4,0), (4,9)

величина распределена равномерно, значит:

Найдем

. По условию нормировки:

0, востальныхточках

( , ) = 1

( , ) = = = 1

Площадь треугольника:

1 (5 + 4) (7 + 9) −

1

(5 + 4) (7) = 40.5

=

=

2

2

=

= 40.5 = 1

1

≈ 0.024691358024691358

= 40.5

( , ) = ≈ 0.0246914, втреугольнике (−5, −7), (4,0), (4,9)

плотности

0, востальныхточках

3. Найти одномерные

1

( ) =

∞

вероятности

( )

и

( )

.

( , ) ,

2( )

= ∞ ( , )

16 +17

1

−∞

1

16

17

−∞

16

17

7

28

+ 5

1( [−5,4])

9

9

=

9

+

9

=

1

+

−

+

=

= 7 −28

40.5

40.5

7

28

40.5

9

9

9

9

40.5

9 9

9

− 9

2( [−7,0])

9 +28

1

=

1

9 + 28

=

1

9

+ 28

−

9 −

17 = 81 + 567

= 9 −717

7

16

4

40.5

1

40.5

1

9 − 17

40.5

7

16

4536

=

16 4

=

1

4 −

9 − 17

=

−9 + 81

2( [0,9]) = 9 −17

40.5

40.5

9 − 17

40.5

16

648

16

16

0, [−5,4]

1( ) = + 5

,

[−5,4]

40.5

[−7,9]

0,

2

( )

=

81 + 567

, [−7,0]

4536

−9 + 81

, (0,9]

648

( ).

4. Найти одномерные функции распределения ( ) и

1( )

=

1( ) ,

2

( )

=

2( )

0, ≤ −5

−∞

−∞

0, ≤ −7

1( ) =

2( ) =

0

81 + 567

+ 5

, −5 < ≤ 4,

81

−567

4536

, −7 < ≤ 0

−5

40.5

1,

> 4

+

+

−9

+ 81

, 0 < ≤ 9

−7

4536

0

648

+ 5

1

2

1

2

25

1,

> 9

+ 10 + 25

=

+ 25 =

2

−5

40.5

40.5

2

+ 5 −5

= 40.5

2

+ 5 − 2

81

81

81 + 567

1

81 2

1

81 2

+ 567 −

49

+ 7 567

−7

4536

= 4536

2

+ 567 −7 = 4536

2

2

=

81 2 + 1134 + 3969

9072

81 + 567 = 3969 = 0.4375

0

−9 + 81

1

−7

4536

9072

9 2

−9 2 + 162

−

9 2

1

+ 81 =

0

648

= 648

2

+ 81 0

= 648 − 2

1296

0, ≤ −5

0, ≤ −7

2

81 2 + 1134 + 3969

, −7 < ≤ 0

1

( ) =

+ 10 + 25

, −5 <

≤ 4,

2

( )

=

9072

2

0.4375 + −9

+ 162 , 0 < ≤ 9

81 1, > 4

1296

1, > 9

5. Найти центр рассеивания, нанести его на чертеж.

401.5

33

+ 522 −45

= −∞∞

1

( ) = 0 + −54

40.5+ 5 =

=

1

43

+

5 42

−

(−5)3

−

5 (−5)2

= 1

40.5

3

2

3

2

= ∞

2( )

= 0 + 0

81 + 567

+ 9

−9 + 81

−∞

1

81 3

−7

4536

1

0

9 3

648

9

=

+

567 2

0

−

+

81 2

=

1

4536

3

2

−7 + 648

3

2

0

81 (−7)3

−

567 (−7)2

+

1

−

9 93

+

81 92

=

2

= 4536 0 −

3

2

648

3

2

3 ≈ 0.666667

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0

1

2

3

4

5

6

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

В качестве проверки координат центра рассеивания можно воспользоваться

центр =

3

= 1; центр =

3

= 3

следующими формулами: + +

+ +

2

6. Найти , , , .

4

2

+ 5

2

1

4

5 3

4

2

∞

2

( )

2

=

1

−

= 0 +

−

=

+

−

=

40.5

40.5

4

3

1

−∞

5 43

(−5)4

−5

2

−5

44

5 (−5)3

2

=

40.5 4

+

3

−

4

−

3

2

−

= 5.5 − 1

= 4.5

−9 + 81

2

2

∞

2

2( )

2

0

81 + 567

9

2

=

= −∞

−

= 0 + −7

4536

+ 0

648

− 3

=

1

81 4

+

567 3

0

+

1

−

9 4

+

81 3

9

−

2

2

4536

4

1

3

−7

648

4

3

0

3

9 94

81 93

2 2

67

4

=

81 (−7)4

−

567 (−7)3

1

+

−

4536 0 −

4

3

+ 648 −

4

3

3

= 6

− 9

=

193

≈ 10.722222

=

18

≈ 2.12132034

=

≈ 3.27448045

7. Вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции .

∞

∞

(

) −

( , )

4

( −

1) 7

16+17

2

=

=

−

=

−28

40.5

−∞

−∞

−5

9

16 + 17

9 −3

=

4

( −

1)

2

−2

=

9

−5

40.5

2

3

7 − 28

4 ( −1)

1

7

9

(256

2

+ 352 + 85)

−

(7

2

−68 + 160) =

40.5

162

−5