Задачи «динамика Поступательного Движения» По Физике (Смык А. Ф
.).docДинамика поступательного движения
2.1.1. С каким ускорением a должен ехать грузовик, чтобы бревно и трос, которым оно привязана к грузовику, составляли прямую линию (см. рис.)? Длина бревна L, а каната b. Трос привязан к грузовику на высоте h от поверхности земли.
1) из соображений размерности и рассмотрения предельных случаев для угла между бревном и землей φ → 0; ∞ :
a ~ g·ctgφ = g·[(L+b)2/h2-1]1/2
2) второй закон Ньютона в проекциях на вертикальное и горизонтальное направление:
2Y) g·m = N+T·sinφ │=> g/a =N/(T·cosφ) + tgφ
2X) a·m = T·cosφ │
3) закон сохранения момента импульса относительно «точки подвеса» бревна:
N·cosφ·L = g·m·cosφ·L/2 => N = g·m/2
4) условие постоянства силы натяжения троса:
N·sinφ+T = gm·sinφ => T = (gm – N)·sinφ => 2Y) => N(1-sinφ)=0
Ответ: a = g·ctgφ <= N=0
a = 0 <= φ=π/2
2.1.2. С вершины холма высотой h = 5 м начинает двигаться без начальной скорости чье-то тело. Какую скорость будет иметь тело у основания и сколько времени продлится движение вдоль прямого наклонного склона, длина которого L = 10 м, если коэффициент трения между телом и поверхностью составляет μ = 0,2?
1) второй закон Ньютона в проекциях на направления вдоль склона и на перпендикулярное к нему направление:
m·a = m·g·sinφ – Fтр; Fтр=μ·N │=> a = g·(sinφ – μ·cosφ)
0 = m·g·cosφ – N │
2) частный случай основного уравнения кинематики:
L = a·t2/2 │=> v = (2·a·L)1/2
v = a·t │ t = (2·L/a)1/2
Ответ: v = (2·a·L)1/2; t = (2·L/a)1/2
2.1.3. По тросу, составляющему с горизонтом угол φ, с третьего этажа спускается без трения блок, к которому подвешено цилиндрическое ведро с водой. Глубина воды в ведре равна h. Каково давление на дно ведра во время движения?
0 = g·M·cosφ – N => N = g·ρ·h·S·cosφ; S – площадь дна ведра; ρ – плотность воды;
P = N/S = ρ·g·h·cosφ
Ответ: P = ρ·g·h·cosφ
2.1.4. Некоторое тело начинает движение с начальной скоростью υо вверх по наклонному участку дороги. Наклонный участок составляет с горизонтом угол φ. Коэффициент трения между телом в таком состоянии и дорогой равен μ. Через какой промежуток времени тело вернется в точку, из которой оно начало свой тяжелый подъем?
1) закон сохранения энергии для «подъема» и «спуска»:
m·υo2/2 = m·g·h + μ·g·m·cosφ·L => υo2/2 = L·g ·(sinφ + μ·cosφ)
m·υ12/2 = m·g·h – μ·g·m·cosφ·L => υ12/2 = L·g ·(sinφ – μ·cosφ) =>
υ1 = υo·[(sinφ – μ·cosφ)/(sinφ + μ·cosφ)]1/2
2) времена подъема и спуска из кинематических соотношений:
t↑ = υo/[g·(sinφ + μ·cosφ)]
t↓ = υ1/[g·(sinφ – μ·cosφ)]
t = t↑ + t↓ = υo/{g·(sinφ + μ·cosφ)} + υo/{g·[(sinφ – μ·cosφ)·(sinφ + μ·cosφ)]1/2}
Ответ: υ1 = υo·[(sinφ – μ·cosφ)/(sinφ + μ·cosφ)]1/2
t = υo/{g·(sinφ + μ·cosφ)} + υo/{g·[(sinφ – μ·cosφ)·(sinφ + μ·cosφ)]1/2}
2.1.5. На наклонном участке дороги, образующем угол φ с горизонтом, находится бак со спиртом массой М. С какой силой F, параллельной наклонной плоскости, нужно двигать бак, для того чтобы поверхность спирта в баке была параллельна наклонной плоскости? Коэффициент трения между дном бака и дорогой равен μ.
Сила F должна скомпенсировать ускорение, вызванное равнодействующей сил тяжести и трения. Второй закон Ньютона в проекции на ось, параллельную наклонной плоскости:
0 = M·a = M·g(sinφ-μ·cosφ)+F => F = – M·g(sinφ-μ·cosφ)
Ответ: F = – M·g(sinφ-μ·cosφ)
2.1.6. По склону горы на веревке длиной L = 50 м спускают сани массой m = 60 кг. Высота горы h = 10 м. Определить силу натяжения веревки T, считая ее постоянной, если сани у основания горы имеют скорость υ = 5 м/сек, а сила трения f составляет 10% от силы тяжести, действующей на сани. Начальная скорость саней равна нулю.
Закон сохранения энергии:
m·g·h = m·υ2/2 + f·L + T·L
Ответ: T = m·g·h/L – m·υ2/(2·L) – f
2.1.7. На тележке, скатывающейся без трения с наклонной плоскости, установлен стержень с подвешенным на нити шариком. Найти натяжение нити Т, если шарик имеет массу m = 2 г. Плоскость составляет с горизонтом угол φ = 600.
Второй закон Ньютона в проекциях на параллельную и перпендикулярную наклонной плоскости оси:
m·a = g·m·sinφ
0 = g·m·cosφ – T
Ответ: T = g·m·cosφ
2.1.8. На наклонном участке дороги упало тело массой m = 50 кг, на которое действует горизонтально направленная сила F = 294 Н. Определить ускорение тела и силу, с которой оно давит на дорогу. Дорога составляет с горизонтом угол φ = 300. Трение не учитывать.
Второй закон Ньютона в проекциях на параллельную и перпендикулярную наклонной плоскости оси:
m·a = g·m·sinφ – F·cosφ
0 = g·m·cosφ + F·sinφ – N
Ответ: a = g·sinφ – (F/m)·cosφ
2.1.9. Доска, имеющая массу М, может двигаться без трения по наклонной плоскости, образующей угол φ с горизонтом. В каком направлении и с каким ускорением а должен бежать по доске человек массой m, чтобы доска не соскальзывала с наклонной плоскости?
0 = g·(M + m)·sinφ – F
m·a = F
Ответ: a = g·[(M+m)/m]·sinφ
2.1.10. Два тела связаны легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, установленный на наклонной плоскости (см. рис.). Найти ускорение, с которым будут двигаться эти тела. Трением можно пренебречь. Массы тел равны m = 10 г и М = 15 г. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол φ = 300.
m·a = g·m – T
– M·a = – T + g·M·sinφ
Ответ: a = g·(m – M·sinφ)/(M + m)
2.1.11. На наклонной плоскости, образующей угол φ с горизонтом, стоит кубик массой m. Наклонная плоскость находится в лифте, движущемся с ускорением а, направленным вверх. Определить силу нормального давления кубика на плоскость. При каких значениях коэффициента трения μ между кубиком и плоскостью кубик не будет соскальзывать вниз?
m·A = m·(g + a)·(sinφ – μ·cosφ)
0 = N – (g + a)·m·cosφ
Ответ: N = (g + a)·m·cosφ
μ = tgφ
2.1.12. Шар массы М лежит в ящике, который соскальзывает без трения с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол φ. Определить силы, с которыми шар давит на переднюю стенку и на дно ящика.
Закон сохранения энергии в проекциях на параллельную и перпендикулярную наклонной плоскости оси:
M·a = g·M·sinφ – Nстенки => Nстенки = 0, т.к. ящик движется с тем же ускорением, что и шар;
0 = Nдна – g·M·cosφ => Nдна = g·M·cosφ
Ответ: Nстенки = 0
Nдна = g·M·cosφ
Контр.:
Груз массы m связан легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, с грузом массы m1. Груз m1 связан легкой нерастяжимой нитью с грузом m2. Грузы m1 и m2 установлены на наклонной плоскости. Угол наклона плоскости к горизонту равен φ. Грузы имеют массы m1, m2 и m. Их начальные скорости равны нулю. Коэффициент трения между грузами и наклонной плоскостью равен μ. Чему равны натяжения нитей Т и Т12, связывающих грузы между собой.
Второй закон Ньютона:
a·m1 = g·m1·(sinφ – μ·cosφ) – T12
a·m2 = g·m2·(sinφ – μ·cosφ) + T12 – T
a·m = – g·m + T
Расчетная часть:
a·m1 + T12 = g·m1·(sinφ – μ·cosφ) = A
a·m2 + T – T12 = g·m2·(sinφ – μ·cosφ) = B
a·m – T = – g·m = C
Δ = │ m1 0 1 │ = – m2 –m – m1
│ m2 1 –1 │
│ m –1 0 │
ΔT = │ m1 A 1 │ = C·m2 – A·m – B·m + C·m1 = C·(m1 + m2) – m·(A + B)
│ m2 B –1 │
│ m C 0 │
ΔT12 = │ m1 0 A │ = C·m1 – A·m2 – A·m + B·m1 = – A·(m + m2) + m1·(C + B)
│ m2 1 B │
│ m –1 C │
Ответ: T = g·m·(m1 + m2)·(1 + sinφ – μ·cosφ)/(m + m1 + m2)
T12 = g·(sinφ – μ·cosφ + 1)·m·m1/(m + m1 + m2)