- •Теория деформаций
- •Однородное и неоднородное деформированное состояние.
- •Однородная деформация бесконечно малой окрестности произвольной точки деформированного твердого тела.
- •Свойства тензора дисторсии.
- •Тензор Грина или симметричный нелинейный тензор конечной деформации.
- •Тензор Альмансии или тензор конечной деформации в Эйлеровой системе координат.
- •Свойства тензора Альмансии.
- •Свойства тензора Коши (основные) :
- •Тензор малого поворота и его свойства.
- •Геометрический смысл компонентов тензора Коши и тензора малого поворота.
- •2.Компоненты тензора Коши расположенные не на главной диагонали.
- •Представление компонента тензора Грина через компоненты малой деформации(тензора Коши) и компоненты тензора малого поворота, с выделением линейной и нелинейной частей.
- •Свойства тензора Коши.
- •Относительная объемная деформация. (Коэффициент кубического(всестороннего) растяжения-сжатия. Средняя относительная деформация.
- •Относительная линейная деформация.
- •Геометрический смысл тождеств Сен-Венана.
- •Определение перемещений в любой точке деформированного твердого тела при выполнении зависимости Коши и тождества Сен-Венана.
Относительная объемная деформация. (Коэффициент кубического(всестороннего) растяжения-сжатия. Средняя относительная деформация.
Рассмотрим элементарный параллелограмм в главных осях,до деформации и после деформации.
-до деформации
-после деформации
- относительная объемная деформация
- относительная средняя деформация
Относительная линейная деформация.
Длина(модуль) определяется константой-К и относительной линейной деформациив направлении.
,тогда подставив в формулу для ,направление касательной определено.
,с учетом формулы ,после преобразований получим уравнение поверхности 2-го порядка или уравнение поверхности деформации Коши:
в исходных осях
в главных осях
В Зависимости от величин и знаков главной деформации(аналогично деформации в исходных осях),различают следующие уравнения поверхности Коши:
А) Эллипсоид
Б)Однополостный гиперболоид
В)Двуполостный гиперболоид
6.Тензор малой деформации(тензор Коши) может быть представлен в виде суммы 2-х тензоров.
-шаровой тензор деформации характеризует относительное изменение объема элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности любой точки ДТТ без изменения формы.
Изменение V при всестороннем растяжении-сжатии элементарного параллелепипеда.
-девиатор деформации характеризует относительные изменения формы элементарного параллелепипеда без изменений V или отклонения рассматриваемого деформированного состояния в произвольной точке ДТТ, от деформированного состояния растяжения-сжатия элементарного параллелепипеда в этой точке.
- 1-й инвариант девиатора деформации
-2-й инвариант девиатора деформации
-модуль деформации(положительная величина, определенным
-интенсивность деформации сдвига
-интенсивность деформации
Замечание:
-используются при выводе основных зависимостей теории упругости,теории пластичности.
7.Компоненты тензора Коши удовлетворяют тождествам Сен-Винана или условием (уравнением) совместимости(непрерывности) деформации.
Получаются путем дифференциальных зависимостей Коши и исключающие перемещений
-уравнение совместимости деформации 1-го рода
Или
Другие две формулы могут быть получены с использованием правила круговой перестановки.
-уравнение совместимости 2-го рода(тождество)
Геометрический смысл тождеств Сен-Венана.
Выполнение тождеств означает, что между элементарными объемами(параллелепипедами, тетраэдрами)отсутствуют зазоры, пустоты, что для тела находящегося под действием внешнего нагружения означает, что оно не разрушалось.
Энергетический смысл:
Выполнение тождеств означает, что телом накоплено минимум потенциальной энергии деформации.
Определение перемещений в любой точке деформированного твердого тела при выполнении зависимости Коши и тождества Сен-Венана.
По известным компонентам тензора Коши.
Дано:
в любой точке ;
Определить:
- относительная линейная деформация
-относительная угловая деформация
-компонента вектора относительного перемещения;
-компоненты тензора дисторсии;
-компоненты вектора определяющего положение бесконечно близкой точки по отношению к рассматриваемой т.ДТТ
,т.к. справедливо тождество Сен-Венана,то первая компонента вектора перемещения может определяться следующим образом:
Криволинейный интеграл может быть расписан в виде суммы 3-х интегралов по прямым параллельным соответствующим координатным осям
и не пересекает границ тела.
Прежде, чем мы научимся определять компоненты вектора перемещения в любой точке, нам необходимо научиться определять частную производную от них по Лагранжевым координатам.
Используя в предыдущей формуле замену на
Замечание:
1.Подинтегральное выражение АВС через известные компоненты тензора Коши рассматриваемой точки ДТТ.
2.Частная производная может быть найдена через известные компоненты тензора Коши.
3.Частная производная может быть найдена аналогичным образом,через известные в рассматриваемой точке.
4.Можно показать, что справедливы условия Коши-Римана для подинтегральных выражений АВС:
т.е. АВС является частными производными одной и той же функции.
иявляется полным дифференциалом и криволинейный интеграл по пути движения от до,не зависит от пути интегрирования.
Используя предыдущее замечание, первую компоненту вектора перемещения в точке, может определяться по формуле:
2,3 –компоненты вектора перемещений в рассматриваемой точке,могут быть определены по формуле аналогично формуле для U,или с использованием круговой подстановки.
в рассматриваемой т.ДТТ определяется с точностью до 9 знака интегрирования.
-линейной перемещение точки вызванное линейным перемещением параллельным соответствующим осям движения тела,как абсолютно твердого целого.
-угловые перемещения соответствующих элементов ,вызванными угловыми перемещениями тела, как абсолютно жесткого или твердого целого, причем с учетом справедливости зависимости (*) в естественном состоянии линейно-независимых, считается например:
-линейно-независимые интегралы
Итак:
1.По известным компонентам тензора Коши рассматриваемой точки с учетом справедливости зависимости Коши,тождеств Сен-Венана,могут быть определены компонентами вектора перемещения с точностью до 6 знака линейно-независимых постоянных интеграла.
2.Постоянное интегрирование характеризует способ прикрепление координатных осей к телу не вызывают появление реактивнх сил и моментов,обычно принимают равным нулю.
3.В тождестве Сен-Венана является необходимым и достаточным условия интегрирования зависимости Коши для односвязных тел(тел без вырезов пустот)
4.Для многосвязных тел, связность = числу вырезов или пустот +1.В тождестве Сен-Венана должны быть дополнительные условиями характеризующими однозначность и непрерывность перемещений для точек лежащий на воображаемой разрезе:
Если вырезов в теле несколько,то должно быть несколько дополнительных условий,характеризующих непрерывность перемещений для точек воображаемых разрезов.
-замкнутые контуры охватывающие разрезы.