2-й семестр / Лекции Пронина Е.В. / Лекция 07
.pdf1
Лекция 7. Линейные операторы (продолжение)
Утверждение 1. Характеристический многочлен не зависит от базиса, в котором найдена матрица линейного оператора.
Утверждение 2. В n-мерном линейном пространстве линейный оператор ˆ не может
A
иметь более n собственных векторов с различными собственными значениями.
Векторы, отвечающие решению однородной системы уравнений Ae i E X 0 , относящихся к i образуют собственное подпространство. Его размерность (количество век-
торов в фундаментальной системе решений) называется геометрической кратностью числа
i .
Таким образом, для нахождения геометрической кратности собственного числа i |
||
нужно найти размерность ядра линейного оператора Ae |
i E 0 или равную последней |
|
размерность подпространства решений однородной |
системы линейных |
уравнений |
Ae i E X 0 |
|
|
Алгебраическая кратность i - это кратность собственного значения i |
, как корня |
характеристического уравнения.
Очевидно, что алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения больше нуля и не превосходят размерности линейного пространства. Кроме того, геометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраической кратности.
Сформулируем алгоритм нахождения собственных векторов линейного преобразо-
вания
1.Составить характеристическое уравнение данного преобразования: Ae E 0
2.Найти корни характеристического уравнения 1, 2 , ... , k , определив их алгебраические кратности.
3.Решить систему Ae i E X 0 для каждого i , записав собственный вектор
(векторы), относящиеся к каждому собственному значению i .
Пример 1. Найти все собственные значения и собственные векторы линейного опера-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
||
ˆ |
|
|
|
|
A |
|
3 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|||||||
тора A , заданного в базисе {e} {e ,e ,e } матрицей |
e |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Составим характеристическое уравнение данного преобразования: |
|
Ae E |
|
0 . |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A E |
|
|
3 |
1 |
3 |
( 2)2 ( 1) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Найдем корни уравнения ( 2)2 ( 1) 0 . |
|
2, алг кратность 2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
- собствен- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, алг кратность 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ные значения линейного оператора ˆ .
A
3. Найдем собственные векторы, относящиеся к каждому собственному значению. 3.1. 1 2 . Решим матричное уравнение (Ae 2E)X 0 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 2 |
|
0 |
|
|
0 |
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
1 2 |
|
|
3 |
|
x2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
0 2 2 |
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Матрица соответствующей однородной системы преобразуется к виду: |
3 |
3 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
x1 - главная переменная, |
а |
|
x2 , x3 |
- |
свободные переменные. |
Положим |
x2 3С1 , |
|||||||||||||||||||||||
x С |
, |
тогда |
из |
уравнения |
3x x |
3x 0 |
выразим |
3x1 3С1 |
3C2 , откуда |
||||||||||||||||||||||
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
x1 |
|
|
|
x1 С1 |
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Собственные векторы, относящиеся к собственному значению 1 |
2 , |
имеют вид: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C C |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
3C |
|
|
C |
|
3 |
|
C |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Базисом |
пространства |
|
|
решений |
|
данной |
|
|
системы |
являются |
векторы |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u (1;3;0)T ,u |
( 1;0;1)T , |
они образуют Ф.С.Р.= |
3 |
, |
|
0 |
|
, геометрическая кратность |
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равна 2.
3.2. 2
2 1
30
1 . Решим матричное уравнение (Ae 1 E)X 0 .
0 |
0 |
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 1 |
3 |
|
x2 |
|
|
0 |
|
0 |
2 1 |
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Матрица |
|
соответствующей |
|
однородной системы |
преобразуется к виду: |
|||||||
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
3 |
|
|
0 |
0 |
1 |
. Пусть |
x |
, x - главные переменные, а x |
2 |
- свободная перемен- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ная. Положим x2 |
С , |
x3 |
0 , x1 |
0 , тогда Собственные векторы, |
относящиеся к собст- |
||||||||||
венному значению 2 |
1 , |
имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 2 C |
C |
|
1 |
|
, |
базисом пространства решений данной системы является век- |
|||
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
u3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
тор u3 (0;1;0) , он образует |
Ф.С.Р.= |
, геометрическая кратность равна 1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: U 1 |
C1u1 |
C2u2 ,C1 0,C2 0 , U 2 Cu3 ,C 0 |
|||||||
Нам пригодится следующий вывод: заметим, что |
|||||||||
1) векторы u1 , u2 |
- линейно независимы, поскольку образуют базис пространства реше- |
||||||||
ний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) векторы u1 , u2 |
и u3 |
- линейно независимы, так как относятся к различным собствен- |
ным значениям (см. Теорема 4 2), лекция 6)
Пример 2. Найти все собственные значения и собственные векторы линейного опера-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
тора A , заданного в базисе {e} {e ,e ,e } матрицей |
e |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. Составим характеристическое уравнение данного преобразования: |
|
Ae E |
|
0 . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ae E |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
( 2)( 1)(1 ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2, алг кратность1 |
|
|
||||||||
2. Найдем корни уравнения ( 2)( 1)(1 ) 0. |
|
|
1, алг кратность1 - |
соб- |
||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, алг кратность1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ственные значения линейного оператора A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. Найдем собственные векторы, относящиеся к каждому собственному значению. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3.1. 1 2 . Решим матричное уравнение (Ae 2E)X 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
1 |
1 x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
0 |
|
x2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
3 |
|
||
Матрица соответствующей однородной системы преобразуется к виду: |
, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда x1 - свободная переменная, а x2 , |
x3 - главные переменные. Положим x1 С1 , С1 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||
, x3 0 , x2 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Собственные векторы, относящиеся к собственному значению 1 2 , имеют вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
U |
1 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Базис пространства решений данной системы образует вектор u (1;0;0)T , Ф.С.Р.= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
, геометрическая кратность равна 1. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3.2. 2 |
1 . Решим матричное уравнение (Ae 1 E)X 0 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
1 1 x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 0 |
|
0 |
|
x2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Матрица |
|
соответствующей |
однородной |
системы преобразуется к виду: |
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
. Пусть |
x |
, |
|
x |
2 |
- главные переменные, а x - свободная переменная. Положим |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x3 С2 , С2 |
0 тогда |
|
x2 |
|
С2 |
, |
x1 0 , тогда Собственные векторы, относящиеся к соб- |
|||||||||||||||||||||
ственному значению 2 |
1 , |
имеют вид: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
2 |
|
|
С |
2 |
|
C |
2 |
|
|
1 |
, |
базисом пространства решений данной системы является |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вектор u2 (0; 1;1) |
|
, он образует |
Ф.С.Р.= |
1 , геометрическая кратность равна 1. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. 3 |
1. Решим матричное уравнение (Ae |
1 E)X 0 . |
1 |
1 |
1 |
x |
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
0 |
|
x2 |
|
|
0 |
|
|
0 2 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
Матрица однородной системы преобразуется к виду:
главные переменные, а x3 - свободная переменная. Положим
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
. Пусть |
x |
, |
x |
2 |
- |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
x3 С3 , С3 |
0 тогда x2 |
|
0 , |
5
x1 С3 , тогда Собственные векторы, относящиеся к собственному значению 3 1, имеют
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
3 |
|
0 |
|
C |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С3 |
|
3 |
1 |
, базисом пространства решений данной системы является |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
u3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
вектор u3 (1;0;1) |
, он образует Ф.С.Р.= |
, геометрическая кратность равна 1. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: U 1 |
C1u1,C1 0 , U 2 C2u2 ,C3 |
0 , U 3 |
C3u3 ,C3 0 |
|||||||||
Векторы u1 , u2 и u3 |
- линейно независимы, так как относятся к различным собствен- |
|||||||||||
ным значениям (см. Теорема 4 2), лекция 6) |
|
|
|
|
|
Вопросы для подготовки к экзамену:
1.Свойства линейной независимости собственных векторов
2.Понятие алгебраической и геометрической кратности
3.Алгоритм нахождения собственных векторов линейного преобразования.