2-й семестр / Лекции Пронина Е.В. / Лекция 11
.pdf1
Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы
Определение 1. Квадратичная форма |
f (x1,..., xn ) называется положительно |
|||||
определенной, если для любой совокупности значений пере- |
||||||
менных |
x1 ,..., xn |
значение |
самой |
формы |
на |
них |
f (x1,..., xn ) 0 |
|
|
|
|
|
|
Определение 2. Квадратичная форма |
f (x1,..., xn ) называется отрицательно |
|||||
определенной, если для любой совокупности значений пере- |
||||||
менных |
x1 ,..., xn |
значение |
самой |
формы |
на |
них |
f (x1,..., xn ) 0
Положительно и отрицательно определенные формы называются знакоопреде-
ленными.
|
|
Пример 1. Квадратичная форма |
f (x , x , x ) 2x2 |
4x2 |
5x2 |
- положитель- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
||
но определенная для любых наборов переменных (x1 , x2 , x3 ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 2. Квадратичная форма |
f |
2 |
(x , x , x ) x2 |
x2 3x2 |
- отрицательно |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
||
определенная для любых наборов переменных (x1 , x2 , x3 ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Пример |
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
Квадратичная |
|
форма |
|||||||||
f |
2 |
(x , x , x ) x2 |
x2 |
x2 2x x 2x x |
|
2x x |
не |
является |
знакоопределенной, |
||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
1 |
2 |
|
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
так как |
f |
|
(x , x , x ) (x |
x |
x )2 и на наборе (1, |
1 |
, |
1 |
) |
она принимает значение 0. |
|||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследование квадратичной формы на знакоопределенность Теорема 1. Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отри-
цательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ха-
рактеристические числа ее матрицы били положительны (отри-
цательны).
Теорема 2. Критерий знакоопределенности
2
Для того чтобы квадратичная форма была положительно опреде-
ленной необходимо и достаточно чтобы все коэффициенты в кано-
ническом виде этой формы были положительны.
Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определен-
ной необходимо и достаточно чтобы все ее коэффициенты в кано-
ническом виде этой формы были отрицательны.
Пример 4. Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность двумя способами: приведя ее к каноническому виду и найдя собственные числа.
f 3x12 4x22 5x32 4x1x2 4x2 x3
Решение.
I способ. Приведем квадратичную форму к каноническому виду методом Ла-
гранжа. Здесь удобно начать собирать слагаемые с x2 :
f 3x12 4x22 5x32 4x1x2 4x2 x3
(4x22 4x1x2 4x2 x3 x12 x32 2x1x3 ) x12 x32 2x1x3 3x12 5x32
(x1 2x2 x3 )2 2x12 2x1x3 4x32
(x1 2x2 x3 )2 2(x12 x1x3 14 x32 ) 12 x32 4x32
(x1 2x2 x3 )2 2(x1 12 x3 )2 72 x32
Перейдем от неизвестных x1 , x2 , x3 к неизвестным y1 , y2 , y3 по формулам: |
|||||||
y |
|
x |
2x |
|
x |
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
1 |
|
y2 |
|
|
x3 |
||||
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Получим |
канонический вид |
|
квадратичной формы: |
Q y2 |
2 y2 |
3,5y2 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
r ( f ) 3 Квадратичная форма является положительно определенной по теореме 2. |
|||||||||||
|
|
II способ. Найдем все характеристические числа матрицы квадратичной формы. |
|||||||||
Матрица квадратичной формы имеет вид: |
|
|
|
||||||||
3 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решим характеристическое уравнение: |
|
A E |
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
|
|
3 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
A E |
|
|
2 |
4 |
2 |
(3 )(4 )(5 ) 4(3 ) 4(5 ) |
|
||||||
|
0 |
2 |
5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(3 )(4 )(5 ) 4((3 ) (5 )) (3 )(4 )(5 ) 4(8 2 ) (3 )(4 )(5 ) 8(4 ) (4 )((3 )(5 ) 8)
(4 )( 7)( 1)
1 |
4 |
|
|
|
|
- характеристические числа матрицы квадратичной формы. Все i |
|
7 7 |
0 . |
||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
Квадратичная форма является положительно определенной по теореме 1.
Чтобы установить, является ли квадратичная форма положительно (отрицатель-
но) определенной, не обязательно приводить ее к каноническому виду или разыскивать характеристические числа ее матрицы.
Теорема 3. Критерий Сильвестра
Для того чтобы квадратичная форма была положительно опреде-
ленной необходимо и достаточно чтобы все главные миноры мат-
рицы этой формы были положительны.
Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно опреде-
ленной необходимо и достаточно чтобы все главные миноры мат-
рицы четного порядка были положительны, а нечетного – отри-
цательны.
Критерий Сильвестра для трехмерного пространства схематично можно
представить следующим образом:
1) |
квадратичная форма положительно определена; |
2) |
квадратичная форма отрицательно определена; |
Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квад-
ратов одного знака, называются иногда полуопределенными. Квадратичные формы,
нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты неизвестных, называются неопределенными или формами общего вида.
4
III способ для матрицы из примера 4. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
2 |
|
|
2 |
0 |
|
|
|
M 2 |
|
|
8 0 , M3 |
3 |
|
||||
|
|
|
||||||||
M1 3 0 , |
|
|
2 4 |
2 |
28 0 |
|||||
|
|
|
2 |
4 |
|
|
0 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По критерию Сильвестра (теорема 3) квадратичная форма положительно определенная
Пример 5. Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность с помо-
щью критерия Сильвестра
5.1. f1(x1, x2 ) 2x12 x22 6x1x2
2 |
3 |
M |
|
2 0 |
|
M |
|
|
|
3 |
|
7 |
0 - не является знакоопределенной. |
||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
A |
|
|
|
1 |
, |
2 |
|
|
|
||||||
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Форма общего вида. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2. |
f |
2 |
(x , x , x ) x2 |
|
4x2 x2 |
4x x |
3x x |
4x x |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
1 |
|
|
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
|||
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
A 2 |
4 |
|
|
2 |
M |
1 |
1 0 |
, |
M |
2 |
|
0 - не является знакоопределенной. Форма |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
общего вида.
|
5.3. |
f |
3 |
(x , x , x ) 3x2 |
4x2 |
x2 |
6x x |
2x x |
2x x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
|
3 |
|
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
||
|
3 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, M 2 |
3 |
21 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
3 |
4 |
|
1 |
M1 |
3 0 |
3 |
4 |
M3 |
3 |
4 |
1 |
2 0 - явля- |
||||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ется положительно определенной по критерию Сильвестра.
5.4. f4 (x1, x2 , x3 ) 3x12 2x22 4x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3
3 |
2 |
2 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 , |
|
|
|
|
|
|
||
A |
2 |
2 |
2 |
|
M1 3 0 , |
M 2 |
2 |
2 |
M3 |
2 |
2 |
2 |
|
4 0 - |
|||
|
2 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является отрицательно определенной по критерию Сильвестра.
Пример 6. Найти все значения параметра , при котором положительно определены следующие квадратичные формы.
5
6.1.Q 2x12 x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2 x3
6.2.Q 2x12 x22 2x32 2x1x2 6x1x3 4x2 x3
Решение 6.1. Составим матрицу квадратичной формы.
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
||
M1 2 0 , M 2 |
|
|
1 0 , M3 |
2 |
|
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
1 1 |
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы форма была положительно определенной, по критерию Сильвестра необходимо чтобы все главные миноры были положительными. Для первых двух это усло-
вие выполняется. Минор M3 0 при
Итак, форма является положительно определенной при значениях параметра
1.
Решение 6.2. Составим матрицу квадратичной формы.
2 |
1 |
3 |
||
|
|
|
|
|
A |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|
Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A.
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 1 , M3 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
M1 2 0 , |
M 2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
5 2 |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Чтобы форма была положительно определенной, по критерию Сильвестра необ- |
||||||||||||||
ходимо чтобы все главные миноры были положительными. Минор M1 0 . Рассмотрим, |
||||||||||||||
при каких будут положительными миноры M 2 |
и M3 : |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 2 |
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что система не имеет решения. Не существует значений параметра , при которых форма является положительно определенной.
Пример 7. Найти все значения параметра , при котором отрицательно определены следующие квадратичные формы.
7.1.Q x12 x22 3x32 4x1x2 2x1x3 2x2 x3
7.2.Q x12 2x22 2 x32 2x1x2 2x1x3 6x2x3
Решение 7.1. Составим матрицу квадратичной формы.
|
|
|
|
6 |
1 |
2 |
1 |
||
|
|
|
|
|
A |
2 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
3 |
Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A.
|
M 2 |
|
1 |
2 |
|
4 , M3 |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
M1 1 0 , |
|
|
|
2 |
|
1 |
4 7 |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы форма была отрицательно определенной, по критерию Сильвестра, необходимо чтобы все главные миноры нечетного порядка были отрицательным, а миноры четного порядка - положительными. Минор M1 0 . Рассмотрим, при каких будет по-
ложительным минор M 2 и отрицательным минор M3 :
4 0 |
4 |
|
|
0 |
|
4 7 |
1,75 |
Очевидно, что система не имеет решения. Не существует значений параметра , при которых форма является отрицательно определенной.
Решение 7.2. Составим матрицу квадратичной формы.
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A. |
|||||||||||||
|
|
|
M 2 |
|
1 |
1 |
|
1 0 , M3 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
M1 1 0 , |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
2 5 |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы форма была отрицательно определенной, по критерию Сильвестра, необходимо чтобы все главные миноры нечетного порядка были отрицательным, а миноры четного порядка - положительными. Минор M1 0 , M 2 0 Рассмотрим, при каких
будет отрицательным минор M3 : 2 5 0 2,5
Итак, форма является отрицательно определенной при значениях параметра
2,5 .
7
Решение задач обобщающего типа по теме
БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Пример 8. Пусть f x1x2 x1x3 x2x3 - заданная квадратичная форма.
1.Привести к каноническому виду квадратичную форму методом Лагранжа.
2.Указать ранг квадратичной формы, индексы инерции.
3.Указать линейное преобразование и сделать проверку.
4.Проверить на знакоопределенность.
5. |
Определить, какая поверхность определяется уравнением f (x) 1. |
Решение. |
|
1. |
Для того чтобы выделить полный квадрат, нужно чтобы квадрат переменной |
входил в форму с ненулевым коэффициентом. Выполним невырожденное линейное преобразование
x1 y1 y2 |
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
||||||
x |
2 |
y |
y |
2 |
|
с матрицей С |
|
1 |
1 |
0 |
|
: |
X C Y , откуда Y C 1X |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
||
x |
|
|
|
y |
3 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда
f ( y y )(y y ) ( y y ) y ( y y ) y y2 |
y2 |
2y y |
||||||||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
|
Заметим, что матрица новой формы |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь коэффициент при y1 отличен от нуля, и поэтому из нашей формы можно выделить квадрат неизвестного y1 . Сгруппируем все слагаемые, содержащие неиз-
вестное y1 , и дополним их до полного квадрата:
f y2 y2 |
2 y y ( y2 |
2 y y |
y2 ) y2 y2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
1 |
3 |
1 |
1 |
3 |
3 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
y y |
2 |
y2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
3 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перейдем от неизвестных y1 , |
y2 , |
y3 |
к неизвестным z1 , |
z2 , |
z3 по формулам: |
||||||||||||||
z y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
1 |
|
||||||||
|
1 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
y2 |
|
, матрица преобразования C2 |
|
0 |
1 |
0 |
|
, Z C2Y |
|||||||||
z |
3 |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Канонический вид квадратичной формы: |
f |
z2 |
z2 |
z2 . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
8
2. Число слагаемых с ненулевыми коэффициентами равно числу всех перемен-
ных. Следовательно, квадратичная форма не вырожденная. Ее ранг равен трем. Поло-
жительный индекс инерции равен 1. Отрицательный индекс инерции равен 2. r ( f ) 1
,r ( f ) 2 , r( f ) 3
3.Запишем линейное преобразование и сделаем проверку.
|
|
|
|
Поскольку Z C Y , то Y C |
1Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
1 0 1 y |
|
y |
|
1 |
0 1 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
0 1 0 |
y2 |
, то y2 |
|
|
0 |
1 0 |
z2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z3 |
|
|
|
|
y3 |
|
y3 |
|
|
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
||
Так как |
Y C |
1X , |
то X С С 1Z |
, где С С 1 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
z |
z |
2 |
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 z1 z2 |
z3 - преобразование |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
1 |
1 T |
0 |
0,5 |
0,5 1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Az |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
0,5 |
0 |
0,5 |
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
0,5 |
0,5 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
4. Форма общего вида
5. Посмотрим, какую поверхность определяет уравнение f (x) 1. В канониче-
ском виде переобозначим переменные, как
z |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда уравнение примет вид: |
X 2 Y 2 Z 2 |
1 - это уравнение определяет в |
|||||||||
пространстве двуполостный гиперболоид. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 9. Пусть |
f x2 |
3x2 |
4x2 |
2x x |
2x x |
6x x |
- заданная квад- |
||||
|
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
|
ратичная форма.
1.Найти значение квадратичной формы на векторе a (1; 3;1) .
2.Проверить на знакоопределенность с помощью критерия Сильвестра.
3.Привести к каноническому виду квадратичную форму методом Лагранжа.
4.Указать линейное преобразование и сделать проверку.
9
5. |
Указать ранг квадратичной формы, индексы инерции. |
|
Решение. |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1. |
Сначала найдем матрицу квадратичной формы: Ae 1 |
3 |
|
1 |
3 |
|
|
|
Значение формы на векторе a может быть найдено по формуле:
3
4
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) (1 3 1) 1 |
3 |
3 |
|
3 |
( 1 7 6) |
3 |
16 |
||
1 3 |
4 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Исследуем на знакоопределенность с помощью критерия Сильвестра. Рас-
смотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A.
M1 1 0 , |
M 2 |
|
1 |
1 |
4 0 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
В дальнейшем исследовании нет смысла, поскольку понятно, что форма не яв-
ляется знакоопределенной.
3. Для приведения квадратичной формы к каноническому виду сгруппируем все слагаемые, содержащие неизвестное x1 , и дополним их до полного квадрата. Слагае-
мые, подчеркнутые одной чертой необходимы нам для соблюдения формулы, но, по-
скольку ранее их не было, то, добавив несуществующее ранее слагаемое, мы должны его же и вычесть (подчеркнуто двумя черточками):
f (x) (x2 2x x 2x x ) 3x2 |
4x2 |
6x x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
||||
(x 2 |
x 2 |
x 2 |
2x x |
2 |
2x x |
3 |
2x |
2 |
x |
3 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x2 x2 2x |
2 |
x 3x2 |
4x2 |
6x |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x x x )2 |
4x2 5x2 8x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x x x )2 |
4(x2 |
2x x x2 ) x2 |
(x x x )2 |
4(x x )2 x2 |
||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
2 |
3 |
|
3 |
|
|
Перейдем от неизвестных x1 , |
x2 , x3 к неизвестным y1 , |
y2 , |
y3 |
по формулам: |
|||||||||||||||||||||||||
|
y |
x |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y2 |
|
|
x2 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда получим канонический вид квадратичной формы: |
f y2 4y2 y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
4. |
Выполненное |
преобразование |
|
координат |
можно |
переписать в виде: |
||||||||||||||
y |
|
1 |
1 |
1 x |
|
x |
|
1 |
|
1 |
0 y |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
0 |
1 |
1 x2 |
|
или x2 |
|
|
0 |
|
1 |
1 y2 |
|
, где Ce f |
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
y3 |
|
|
1 x3 |
|
x3 |
|
|
1 y3 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Матрица формы в старом базисе e равна Ae 1 |
3 |
3 |
|
, |
|
3 |
4 |
|
|
1 |
|
|
1
Матрица формы в новом базисе: Af 0
0
Сделаем проверку:
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
A |
f |
CT |
A C |
|
|
1 |
1 |
0 |
1 3 |
|
|
e f |
e e f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
4 |
0 |
|
|
||
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
1 |
1 |
|
|
4 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
4 |
|
0 |
|
1 1 |
|
0 |
4 |
0 |
||
|
|
0 0 |
1 |
|
0 |
|
0 1 |
|
0 |
0 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. r( f ) 3 , r ( f ) 1, r ( f ) 2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
z |
x |
|
x |
2 |
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
||
Если |
взять |
z2 |
|
|
x2 x3 , |
то |
получим нормальный вид квадратичной формы: |
|||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Q z12 z22 z32
Ключевые вопросы лекции для подготовки к экзамену
1.Определение билинейной функции
2.Понятие квадратичной формы.
3.Матрица квадратичной формы
4. Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.
5.Понятие конгруэнтных (эквивалентных) форм
6.Понятие ранга квадратичной формы.
7.Понятие вырожденной и невырожденной квадратичной формы