6. Функції розподілу Максвела-Больцмана, Фермі-Дірака, Бозе-Ейнштейна

Максвела-Больцмана визначає ймовірність того, що частинка ідеального газу перебуває в стані з певною енергією.

Розподіл молекул у полі консервативних сил, тобто розподіл Больцмана, як і розподіл Максвелла, має ймовірнісний сенс. Інакше кажучи, вираз (12) можна записати так:

,

де або дає частку молекул, потенціальна енергія U яких лежить у межах від U до U+dU. Тут для простоти замінено Е_п на U.

Сама потенціальна енергія – це функція координат U=U(r). Тому формула Больцмана – це розподіл молекул у просторі.

.

Тут f(r) dr дає частку молекул, розміщених у просторі з координатами від r до r+dr. Або у декартових координатах:

.

Це рівняння можна записати і так:

.

У цьому випадку можна говорити про частку молекул, яка перебуває в елементарному об’ємі dV=dx·dy·dz у точці з координатами x,y,z у зовнішньому потенціальному полі. Проте йдеться про частинки, які рухаються з якимись швидкостями. І вони підпорядковуються відповідному розподілу за швидкостями, або за кінетичними енергіями. Тому можна перейти до наступного об’єднувального етапу.

Ми збираємося об’єднати розподіл молекул за швидкостями з розподілом молекул за координатами. Однак передусім зазначимо, що розподіл Максвелла спроваджується не тільки для модулів швидкості, а й для проекцій швидкостей на осі координат. Так, розподіл Максвелла для проекції швидкостей на вісь х має вигляд:

.

Або інакше:

.

Розподіл по інших осях точно такий самий, оскільки частка молекул, які летять у будь-якому напрямі, однакова. Кінетична енергія вільної частинки E_k може бути виражена через її імпульс р:

Тоді розподіл молекул за швидкостями легко перетворити на розподіл за імпульсами:

де f(p)dp – дає частку молекул, які мають імпульс у межах від р до р+dp.

Тепер можна об’єднати функцію розподілу за координатами з функцією розподілу за імпульсами. Це можна зробити тому, що розподіл за координатами не залежить від розподілу за імпульсами і тому, що обидва розподіли мають імовірний характер. Згідно з правилом обчислення ймовірностей незалежних подій сумарна ймовірність дорівнює добутку ймовірностей цих подій. Об’єднана функція розподілу – функція Максвелла-Больцмана обчислюється як добуток початкових функцій:

де f(p,r)·dp·dr – визначає ймовірність молекули мати імпульс р і координату r, або це є частка молекул, які мають імпульс у межах від р до р+dp і координату в межах від r до r+dr. В компактному вигляді розподіл Максвела-Больцмана має вигляд:

де - повна енергія і-тої частинки в системі, С – стала (знаходиться з умови нормування).

Бозе-Ейнштейна — розподіл за енергією часток, які належать до бозонів.

Функцією розподілу Бозе – Ейнштейна називається середня "заселеність" бозонами станів з даною енергією, тобто середнє число частинок в одному стані:

,

де – число частинок з енергією в інтервалі віддо;– число квантових станів в цьому інтервалі енергій.

Для знаходженя функції розглядається термодинамічна вірогідністьРрозподілу частинок системи по квантових станах і знаходиться найвірогідніший розподіл за умови збереження числа частинокв системі і енергіїсистеми:

Підсумовування проводиться по всіх квантових станах системи.

Застосовуючи метод невизначених множників Лагранжа при відшуканні умовного екстремуму, можна отримати такий вираз для функції розподілу Бозе — Ейнштейна:

,

де – середнє число частинок (бозонів) в квантовому стані з енергією ;– постійна Больцмана;Т — абсолютна температура; – хімічний потенціал, який не залежить від енергії, а визначається лише температурою і густиною числа частинок.

Фермі-Діра - особливий вид розподілу частинок за енергією, характерний для ферміонів.

Ця функція визначається аналогічно функція розподілу Бозе – Ейнштейна і має такий вид:

,

де – середнє число частинок (ферміонів) в квантовому стані з енергією ;– хімічний потенціал, який, на відміну від хімічного потенціалу, що входить в функцію розподілу Бозе – Ейнштейна , може мати додатнє значення.

Якщо , то розподіли Бозе – Ейнштейна і Фермі — Дірака переходять в класичний розподіл Максвела – Больцмана:

,

де

.

Таким чином, при високих температурах обидва "квантованих" газа ведуть себе подібно класичному газу.