Еще шпоры по ЛинАл

1. (1 из 3) Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора.

1. (2 из 3) Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора.

Пусть - лин. опер. действ. лин. пр-ве V (компл или вещ)

Def: Совокупность всевозможных векторов вида называется образом оператора A и обозначается ImA. Таким образом .

Def: Совокупность всевозможных векторов для которых называется ядром оператора A и обозначается KerA. Таким образом .

Утв:образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами линейного пространства V.

1)

2) , - подпространство

Док-во: В самом деле в силу линейности оператора А имеем:

1)

, тогда и т.к , то

и т.к. , то является подпространством пространства V.

2)

, отсюда .

является подпространством пространства V. #

Пример: Пусть V – n мерное компл или вещ лин пр-во.

1) Тождественный оператор , при этом Ax = Ix = x, тогда ImA=ImI=V, KerA=KerI={θ}

/ ядро состоит из единственного нулевого элемента /

,

2) Нулевой оператор, тогда

3) Рассмотрим оператор дифференцирования на пространстве многочленов степени не выше n, тогда , отсюда . Видно, что во всех приведенных примерах справедливо:

, что не является случайным.

Th (о сумме размерностей образа и ядра линейного оператора) :

Пусть A - линейный оператор, действующий в линейном пространстве V. Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора равна размерности данного линейного пространства, т.е.

Док-во:

Пусть , причем

Выберем в пространстве V произвольный базис . Поскольку по определению , то можно записать, что линейная оболочка, порождаемая совокупностью образов базисных векторов , причем , где r – максимальное число л.н.з. векторов в системе.

Но координаты именно этих векторов стоят в столбцах матрицы линейного оператора А в базисе, поэтому .

Рассмотрим ядро оператора А: .

В выбранном базисе равенству соответствует однородная

СЛАУ:, которая, как известно, имеет (n-r) л.н.з. решений,

1. (3 из 3) Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора.

2. (1 из 1) Собственные значения и собственные векторы линейного оператора А.

образующих ФСР. Поскольку неизвестными данной системы являются координаты векторов, составляющих KerA, то отсюда заключаем, что dim(KerA)=n-r. В результате получаем, что

Def: Размерность образа оператора называется рангом оператора, размерность ядра оператора называется дефектом оператора.

Def: Линейный оператор называется невырожденным, если в произвольном базисе (e) данного линейного пространства V оператор А имеет невырожденную матрицу .

Следствие: Если А – невырожденный линейный оператор, то его образ совпадает со всем пространством, в котором этот оператор действует.

Док-во: Если , то по предыдущей теореме запишем . По свойству 4⁰ невырожденных операторов равенство возможно только при .

Отсюда , откуда . Т.к. , то отсюда следует, что .

Def: Подпространство L пространства V называется инвариантным относительно линейного оператора А, если .

Th (об инвариантности образа и ядра линейного оператора):

Образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами инвариантными относительно оператора А.

Док-во:

1) Пусть , т.к. то и поэтому , т.е. подпространство ImA является инвариантным относительно оператора А.

2) Пусть . Тогда, т.е. , а значит подпространство KerA инвариантно относительно оператора А.

Пусть , где V – n- мерное линейное пространство.

Def: Число λ – наз-ся собств знач (с.з.) лин опер А, если такой, что .При этом эл-т (вектор) x наз собств в-ром (с.в.) опер А.

Здесь , если V – веществ, и , если V – комплексное.

Th (Критерий существования собств знач лин оператора А):

Для того, чтобы λ было собств знач линейного оператора А, необх и достаточно чтобы это число было корнем хар-ого ур-я оператора А.

Док-во:

Пусть - произвольный базис пространства V. - матрица оператора А в данном базисе. Тогда имеем в обе стороны (необходимость и достаточность):

(¹по критерию существования ненулевых решений однородной СЛАУ.)

Правила нахождения с.з. и с.в. линейного оператора А.

1) Выбираем в пространстве базис и записываем матрицу оператора .

2) Находим все собственные значения как корни характеристического уравнения .

3) Решая однородную СЛАУ для каждого собственного значения, находим координаты соответствующих ему собственных векторов.

Def: Множество всех собственных значений оператора А называется спектром оператора А.

3. (1 из 1) Свойства собственных значений и собственных векторов линейного оператора

4. (1 из 2) Диагонализуемость линейного оператора.

1) Пусть - собственные векторы линейного оператора А, отвечающие одному и тому же собственном значению λ. Тогда их линейная комбинация также является с.в., отвечающим тому же собственному значению λ.

Док-во: 

2) Если - попарно различные собственные значения. линейного оператора A, то отвечающие им собственные векторы л.н.з.

Док-во: Будем доказывать методом математической индукции. Так как , то л.н.з., пусть утверждение справедливо для векторов , т.е. - л.н.з. Присоединим к ним вектор и рассмотрим равенство (*).

Подействуем оператором A на (*). Получим или . Вычтем из последнего равенства равенство (*), умноженное на :

.

Т.к. - попарно различны и - л.н.з., то . Тогда из (*) получаем, что #

3) Приведение матрицы к диагональному виду.

Def: Квадр матрица А порядка n наз диагональной, если имеет вид: ...

Def: Линейный оператор называется диагонализуемым, если в линейном пространстве существует базис, в котором матрица А данного линейного оператора имеет диагональный вид.

Th 1: (критерий диагонализуемости матрицы линейного оператора).

Пусть - базис в линейном пространстве V. Матрица линейного оператора в этом базисе будет диагональная тогда и только тогда, когда базисные вектора являются собственными векторами А. Матрица в базисе из собственных векторов, имеет следующий диагональный вид:

Док-во: Необходимость:

Пусть в базисе имеем . Тогда по определению матрицы линейного оператора можно записать: собственные векторы

Достаточность: Пусть базис сост из собств в-ров. Тогда

.

Th 2: (Дост усл диагонализуемости матрицы лин оператора).

Пусть dimV=n, если линейный оператор имеет n попарно различных с.з., , то в линейном пространстве V существует базис , в котором матрица оператора А имеет диагональный вид, причем этот базис состоит из с.в-в.

4. (2 из 2) Диагонализуемость линейного оператора.

5. (1 из 2) Билинейные формы в лин пр-ве. Симметрич и кососимметрические билинейные формы.

Док-во: Пусть - собственные вектора, отвечающие попарно различным собственным значениям , тогда по свойству 2 образуют базис (т.к. dimV=n). Отсюда по теореме 1 (критерию) матрица A оператора А в этом базисе диагональна. #

Замечание 1: Обратная теорема неверна. В качестве примера можно рассмотреть тождественный оператор , при этом . Матрица A этого оператора в базисе из собственных векторов имеет диагональный вид, однако собственные значения совпадают, т.е. не являются попарно различными.

Следствие: Если все корни характеристического уравнения оператора А попарно различны, то существует невырожденная матрица такая, что матрица является диагональной.

Док-во: Доказательство вытекает из формулы преобразования матрицы линейного оператора при переходе от базиса (е) к базису (е’), который состоит из собственных векторов и значит матрица является диагональной.

Замечание 2: Не для всякого оператора А в пространстве V существует базис, состоящий из собственных векторов. Например, линейный оператор А, матрица которого в некотором базисе (е) имеет вид имеет лишь один л.н.з. с. вектор, (при этом dimV=2), поэтому указанный оператор не является диагонализируемым.

Пусть V – вещественное линейное пространство.

Def: Билинейной формой называется числовая функция A(x,y) 2-х векторных аргументов x и y (), линейная как по 1-му, так и по 2-ому аргументу, и удовлетворяющая следующим условиям:

1) A(x+y,z)=A(x,z)+A(y,z)

2) A(x,y+z)=A(x,y)+A(x,z)

3) A(λx,y)= λA(x,y)

4) A(x, λy)= λA(x,y)

Пример 1:

Пусть f(x) и g(y) - две линейные формы, т.е. линейные операторы, отображающие пространство V в числовое множество. Тогда A(x,y)=f(x)g(y) - билинейная форма.

Пример 2:

Скалярное производные 2-х векторов:

, тогда можно записать так - билинейная форма.

Получим теперь выражение для билинейной формы в общем виде, пусть - базис в V и тогда

5. (2 из 2) Билинейные формы в лин пр-ве. Симметрич и кососимметрические билинейные формы.

6. (1 из 2) Матрица билинейной формы и ее преобразование при переходе к новому базису.

Def: Билинейная форма A(x,y) называется симметрической (кососимметрической), если .

Замечание 1: Всякая симметрическая билинейная форма A(x,y) однозначно определяется своими значениями для совпадающих аргументов. В самом деле:

Замечание 2: Если A(x,y) - симметрическая билинейная форма, то ее матрица также является симметричной в любом базисе. В самом деле,

Def: Матрица , где называется матрицей A билинейной формы A(x,y) в базисе . Элементы этой матрицы называются коэффициентами билинейной формы в данном базисе.

Преобразование матрицы билинейной формы при переходе от одного базиса к другому.

Пусть A(x,y) - билинейная форма в вещественном линейном пространстве V. - старый базис, - новый базис, - матрица перехода от (e) к .

Th: - матрицы билинейной формы A(x,y) в базисах (e) и , соответственно, - транспонированная матрица перехода.

Док-во: Вспомним, что или , отсюда .

Запишем:

6. (2 из 2) Матрица билинейной формы и ее преобразование при переходе к новому базису.

7. (1 из 2) Квадр формы в лин пр-ве. Матрица квадр-й формы и ее преобраз-ие при переходе к новому базису.

Th: Пусть в линейном пространстве V фиксированный базис . Тогда между множеством билинейных форм и множеством квадратных матриц порядка n существует взаимнооднозначное соответствие.

Док-во: Фиксируем базис в пространстве V. Для каждой билинейной формы A(x,y) строим однозначную матрицу .

Обратно, если дана матрица , то можно построить сумму получаем билинейную форму B(x,y), однозначность которой вытекает из однозначности операций сложения и умножения чисел (B(x,y) - числовая функция) #

Следствие. Представление называется общим видом билинейной формы A(x,y) в n – мерном линейном пространстве.

Пусть A(x,y) - симметричная билинейная форма в вещественном линейном пространстве.

Def: Квадратичной формой A(x,x) называется числовая функция одного векторного аргумента x, которая получается из симметричной билинейной формы A(x,y), если y=x.

Утв:Для любой квадратичной формы существует и притом единственная симметрическая билинейная форма A(x,y), которая называется полярной к A(x,x). Док-во: (Без доказательства).

Def: Матрицей квадратичной формы A(x,x) называется матрица A полярной к ней билинейной A(x,y), взятой в некотором базисе . Отсюда вытекает, что матрица квадратичной формы в любом базисе является симметрической.

Пусть - базис в линейном пространстве V. тогда общий вид квадратичной формы следующий: .

Если в последней сумме выделить слагаемые с i=j и учесть, что , то можно записать .

Пример: Дана квадратичная форма .

Записать матрицу квадратичной формы:

половина коэффициента (!).

Замечание: Матрица квадратичной формы, как и билинейной, преобразуется по закону:

- матрицы квадратичной формы в базисах (e) и , соответственно.

7. (2 из 2) Квадр формы в лин пр-ве. Матрица квадр-й формы и ее преобраз-ие при переходе к новому базису.

8. (1 из 3) Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

Def: Базис(e), в котором матрица A_e квадратичной формы A(x,x) принимает диагональный вид , где называется каноническим; соответствующее представление квадратичной формы: называется ее каноническим (диагональным) видом.

Ранее рассматривался вопрос о диагонализуемости матрицы линейного оператора, теперь обратимся к вопросу о диагонализуемости матрицы квадратичной формы. В частности, рассмотрим вопрос о существовании канонического базиса.

Известно, что при переходе от одного базиса к другому координаты вектора изменяются следующим образом: если , то , где где Т – матрица перехода от (e) к , при этом .

Def: Преобразование координат называется невырожденным, если .

Тогда каждому преобразованию базиса можно сопоставить невырожденное линейное преобразование координат и наоборот. Поэтому вопрос о существовании канонического базиса можно

заменить вопросом о существовании невырожденного линейного преобразования координат.

Заметим также, что если , то , где

. Отсюда видно, что если , то и .

Вывод: Суперпозиция невырожденных преобразований координат также является невырожденным преобразованием. Причем матрица результирующего преобразования равна произведению матриц, приводящих к этому результирующему преобразованию.

Th (Лагранжа): Всякая квадратичная форма A(x,x) в вещественном линейном пространстве V при помощи невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к каноническому виду (диагональной форме)., где , а являются координатами вектора x в каноническом базисе т.е. .

Док-во: (по методу математической индукции) по размерности пространства V , в котором действует .

1) Пусть dimV=1 и e₁ - базис в пространстве V, тогда , где , т.е. получили канонический вид.

2) Пусть dimV=m и для всех утверждение доказано.

3) Докажем указанное утверждение при m=n.

Пусть - произвольный базис в V_n, тогда , тогда где .

Возможны два случая:

а) Хотя бы одно из чисел и т.д. отличен от нуля; Пусть, например, (в противном случае проведем перенумерацию базисных векторов). Тогда группируем слагаемые с

8. (2 из 3) Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

8. (3 из 3) Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

Выполним невырожденное преобразование координат:

или

Получаем:  2-е слагаемое – квадр форма, содержащая (n-1) координат, поэтому по предположению матричной индукции данная квадратичная форма приводится к канонич (диаг) виду, т.е. существует невырожденное преобразование координат:

, при этом и такое, что

, поэтому полагая

, получаем невырожденное преобразование координат, в результате которого квадратичная форма A(x,x) приводится к каноническому (диагональному) виду .

Если T – матрица результирующего преобразования координат, т.е. или , то .

б) Пусть теперь все диаг элементы равны нулю, но отличен от нуля хотя бы один элемент ; Пусть, например, . Совершим преобразование координат:

Тогда слагаемое приобретает вид и мы приходим к случаю a) #

Замечание 1: Изложенный в док-ве последней теоремы метод приведения квадратичной формы к канонич виду наз-ся методом Лагранжа и фактически сводится к выделению полных квадратов.

Замечание 2: Преобразование переменных, приводящее квадратичную форму A(x,x) к каноническому виду, а значит, и сам канонический базис определяются неоднозначно.

9. (1 из 3) Нормальн вид квадр формы. Закон инерции квадр форм. Знакоопред квадр формы. Кр Сильвестра.

9. (2 из 3) Нормальн вид квадр формы. Закон инерции квадр форм. Знакоопред квадр формы. Кр Сильвестра.

Если после приведения квадратичной формы A(x,x) к каноническому виду совершить еще одно невырожденное преобразование координат, определяемое формулой , то получим, так называемый нормальный вид квадратичной формы , где принимает одно из трех значений: -1, 0 или 1.

Как отмечалось в Замечании 2 предыдущего параграфа, приведение квадратичной формы к каноническому виду можно осуществить различными преобразованиями координат (канонический вид квадратичной формы неоднозначен), однако, с точностью до нумерации переменных получается один и тот же нормальный вид квадратичной формы. Это подтверждает следующая теорема.

Th (закон инерции квадратичной формы):

Число положительных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы называемое положительным индексом инерции; число отрицательных коэффициентов называемое отрицательным индексом инерции и число нулевых коэффициентов называемое дефектом квадратичной формы являются инвариантами, т.е. не зависят от базиса, в котором данная квадратичная форма принимает нормальный вид.

Док-во: Пусть имеются 2-а базиса, в которых квадратичная форма A(x,x) принимает нормальный вид: в базисе

в базисе .

Здесь полагаем, что т.е. в этих 2-х базисах (и во всех остальных!) нулевые коэффициенты в нормальном виде квадратичной формы отсутствуют. Очевидно, что для доказательства этой теоремы достаточно предположить, что .

Будем доказывать методом от противного, т.е. предполагаем, что ; пусть, например, .

Рассмотрим следующие пространства: и пространство . Очевидно, что . Т.к. , то из формулы Грассмана следует, что : , т.к. . Таким образом, пространство - непустое, следовательно, существует хотя бы один ненулевой элемент , т.к. , то .

Точно также , поэтому . Т.к. , то с одной стороны , с другой стороны . Полученное противоречие доказывает, что .

Аналогично доказываются другие 3-и случая: .

Def: Квадратичная форма A(x,x) в вещественном линейном пространстве V называется положительно определенной, если , причем .

9. (3 из 3) Нормальн вид квадр формы. Закон инерции квадр форм. Знакоопред квадр формы. Кр Сильвестра.

10. (1 из 2) Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств.

Квадратичная форма A(x,x) называется отрицательно определенной, если ; причем

Пусть - базис в V, , тогда , при этом .

Рассмотрим матрицу данной формы

Главными минорами матрицы назовем определители (окаймляющие левый верхний угол матрицы) .

Th (критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы):

Квадратичная форма A(x,x) является положительно определенной тогда и только тогда, когда все числовые миноры положительны, т.е.

Квадратичная форма A(x,x) является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки главных миноров чередуются, т.е.

При любой другой комбинации знаков главных миноров знак квадратичной формы не определен.

Док-во: (Без доказательства).

Def: Вещественное линейное пространство V называется Евклидовым (обозначается Е), если:

I. имеется правило согласно которому для любых ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением и обозначаемое (x,y).

II. Указанное правило, удовлетворяющее следующим аксиомам .

1)

2)

3)

4) , причем

Def: Комплексное линейное пространство V называется унитарным (обозначается U), если:

I. имеется правило согласно которому для любых ставится в соответствие комплексное число, называемое скалярным произведением, обозначаемое (x,y).

II. указанное правило удовлетворяет следующим аксиомам:

1) - т.е. сопряженное

2)

3)

4) - вещественное число, такое, что , причем .

Следствие:

1)

2)

10. (2 из 2) Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств.

11. (1 из 2) Норма в евклидовом и унитарном пространствах.

Примеры Евклидовых пространств (Е).

1) Множество всех геометрически свободных векторов, если

2) Пространство A_n, в котором , здесь . Такое пространство часто обозначают как или -мерное евклидово пространство .

3) В пространстве A_n можно положить , где квадратичная форма положительно определена.

4) Пространство C[a,b], в котором . Такое пространство обозначают CL₂[a,b].

Пример унитарного пространства (U).

Пространство A_n, в котором , где , где

Пусть V=E (или V=U)

Def:

Нормой (или длиной) элемента называется вещественное число

Свойства нормы:

Из свойств скалярного произведения сразу следует:

1) , причем (нулевой элемент)

2)

Док-во:

#

3) Неравенство Коши-Буяковского

справедливо

Док-во:

1. Пусть

а) xθ, θ, тогда α запишем:

, рассмотрим левую часть неравенства как квадратный трехчлен относительно т.к. (y,y)>0,то или

б) напр., y = θ, тогда , где θ, откуда .

С другой стороны, неравенство выполняется (в виде равенства

11. (2 из 2) Норма в евклидовом и унитарном пространствах.

12. (1 из 1) Общий вид скалярного произведения в евклидовом и унитарном простр-вах. Матрица Грама.

2. Пусть , тогда запишем

Пусть, тогда , откуда .

Пусть (здесь ) тогда ,

, рассм. левую часть нер-ва как квадратный трехчлен относительно т.к. (y,y)>0,то #

4) Неравенство треугольника

справедливо:

Док-во:

Используя неравенство Коши-Буяковского

Пусть или

1) Пусть ─ базис в унитарном пространстве , тогда , или , где

Поскольку , т.е. , то матрица , является эрмитовой .

Def:

Матрица , элементы которой равны или в развернутом виде

называется матрицей Грама базиса

2) Для евклид. пространства аналогично , где ; . Здесь матрица Грама является симметричной, т.к.

13. (1 из 2) Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации по Гильберту — Шмидту.

13. (2 из 2) Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации по Гильберту — Шмидту.

Def: Базис в пространстве называется ортонормированным (ОНБ), если

Здесь если и ; . Корректность последнего определения следует из теоремы

Th: Система попарно ортогональными ненулевых элементов является л.н.з.

Док-во: Выяснм усл-я выполн равенства θ

Для этого обе части данного равенства умножаем скалярно на один из элементов данной системы

, здесь

Отсюда следует, что , но т.к. θ, то . В силу произвольности выбора элемента , получаем, что ─ л.н.з. #

Итак, для ОНБ элементы матрицы Грама равны , т.е. (здесь ─ единичная матрица). Отсюда

в ОНБ евклидова пр-ва :

в ОНБ унитарного пр-ва .

Th Гильберта-Шмидта (об ортогонализации базиса):

Во всяком -мерном унитарном (евклидовом) пространстве существует ОНБ.

Док-во: ] произвольный базис в пространстве ( или ). Докажем, что можно построить векторов , которые линейно выражаются через и образуют ОНБ. Будем доказывать методом математической индукции.

1) Если имеется один вектор , то для построения вектора с нормой, равной единице достаточно нормировать вектор :

2) теперь предположим, что утверждение доказано для векторов , которые линейно выражаются через векторы , являются единичными и попарно ортогональны.

3) Рассмотрим вектор , (*)

здесь θ, т.к. векторы линейно выражаются через векторы и если бы θ, то получили бы линейную зависимость базисных векторов , что невозможно.

Выберем так, чтобы , .

Для этого равенство (*) умножаем скалярно на , получаем

Таким образом, если , то можно положить,

. Тем самым построен -ый вектор #

Замечание: Алгоритм построен ОНБ по формулам , где называется процессом ортогонализации Гильберта-Шмидта

14. (1 из 2) Ортг доп-е подпр-ва унитар и евкл пр-ва. Th о представл унитарн пр-ва в виде прям сум лин подпр-в.

14. (2 из 2) Ортг доп-е подпр-ва унитар и евкл пр-ва. Th о представл унитарн пр-ва в виде прям сум лин подпр-в.

Def: Два подпространства и унитарного (евклидова) пространства называется ортогональными , если : или

Lem 1: Если , то {θ}

Док-во: Пусть , т.е. и , т.к. , то θ #

Пусть ─ подпространство пространства ( или ). #

Def: Ортогональн доп-ем подпр-ва пр-ва наз-ся множ-во всех векторов, ортогональных подпр-ву ,т.е. =

Пример: V-пространство всех геометрических (свободных) векторов

-подпространство всех векторов параллельных некоторой плоскости

─ подпространство всех векторов, перпендикулярных данной плоскости.

Утв::

Ортогональное дополнение произвольного подпространства пр-ва V само является подпространством данного пространства

Док-во: В самом деле, :

#

Lem 2 (критерий): ] ─ базис в подпространстве . Вектор ; , …,

Док-во: Необходимость: Пусть , тогда в том числе .

Достаточность: Пусть , поскольку : , то #

Th:

Унитарное (евклидово) пространство есть прямая сумма произвольного подпространства и его ортогонального дополнения , т.е. (прямая сумма)

Док-во:

Пусть ── ОНБ в подпространстве .

Возьмем произвольный в-р и сопоставим следующий в-р:

имеем (скалярное умножение на ):

следовательно по Лемме 2

, т.е. : , где , . Но

следовательно по Лемме 1

{θ}, откуда по определению прямой суммы вытекает, что #

Следствие 1:

Док-во: Доказательство следует из теоремы 2 § 5 гл. III (Пусть V – сумма подпространств V₁ и V₂, тогда ) #

15. (1 из 3) Линейные, полуторалинейные и билинейные формы в евклидовом и унитарном пространствах.

15. (2 из 3) Линейные, полуторалинейные и билинейные формы в евклидовом и унитарном пространствах.

Def:

Линейной формой в линейном пространстве V (унитарном или евклидовом) называется числовая функция f(x) векторного аргумента х, которая удовлетворяет следующим условиям ()

1.f(x+y)=f(x)+f(y)

2.f(x)= f(x)

В евклидовом пространстве Е линейная форма принимает действительные значения (т.е. f:E), в унитарном пространстве U – комплексные значения (т.е. f:E).

Th (о представлении линейной формы):

Пусть f(x): - линейная форма в унитарном пространстве U. Тогда ./здесь х – произвольно, h – фиксированно/.

Док-во:

Пусть - ОНБ в унитарном пространстве U и х =, тогда f(x) = f. Полагая получим что f(x)=, где

Докажем единственность элемента h методом от противного , т.е. пусть существует еще один элемент такой что f(x)=(x,h₁). Тогда откуда (x,h - )=0. Полагая х = h - , получим (h - , h - )=#

Следствие: Если

Замечание:Аналогичная теорема верна и для евклидова пространства Е.

Ранее была введена билинейная форма в вещественном пространстве. Тогда можно говорить о билинейной форме в евклидовом пространстве. Её аналогией в унитарном пространстве является полуторалинейная форма.

Def:

Комплексно-значная числовая функция B(x,y) называется полуторалинейной формой в унитарном пространсте U, если справедливо:

1. B(x+у,z)=B(x,z)+B(y,z).

2. B(x,y+z)=B(x,y)+B(x,z).

3. B(x,y)=B(x,y)

4. B(x,y)=B(x,y)

Def:

Полутаролинейная форма B(x,y) называется эрмитовой (эрмитовосиметрической), если

Замечание:

В евклидовом пространстве эрмитовость переходит в симметричность: B(x,y)=B(y,x), здесь B(x,y) – симметрическая билинейная форма.

Пусть B(x,y) – полуторалинейная форма в унитарном пространстве U,

,

,

Тогда B(x,y)=

Def:

Матрица элементы которой равны называется

матрицей полуторалинейной формы B(x,y) в базисе .

15. (3 из 3) Линейные, полуторалинейные и билинейные формы в евклидовом и унитарном пространствах.

16. (1 из 2) Сопряженный оператор и его свойства. Матрица сопряженного оператора.

B(x,y)=- общий вид полуторалинейной формы в унитарном пространстве.

Th (о представлении полуторалинейной формы):

Пусть B(x,y) - полуторалинейная форма в унитарном пространстве U. Тогда линейный оператор такой что B(x,y)=(х,Ау).

Док-во:

При фиксированном полуторалинейная форма B(x,y) является линейной формой по теореме о представлении линейной формы Одновременно получаем что соответствует некоторой элемент и притом единственный (по теореме о представлении линейной формы), следовательно существует отображение такое что h=Ay B(x,y)=(x,h)=(х,Ау).

Докажем линейность оператор А. С одной стороны B(x,y+z)= B(x,y)+ B(x,z)=(х,Ау)+ (х,Аz)=(x,Ay+Az). С другой стороны B(x,y+z)= (x,A(y+z)) (по определению полутаролинейной формы), откуда получаем (x,Ay+Az)= (x,A(y+z)) Ay+Az = A(y+z). Аналогично доказывается, что А - линейный оператор. Докажем единственность линейного оператора А методом от противного, т.е. пусть существует еще один линейный оператор , такой что B(x,y)=(x,y). Тогда из определения равенства операторов следует что А= #

Замечание:

Аналогичная теорема верна и для билинейной формы в евклидовом пространстве Е.

Пусть A: VV – линейный оператор, где V=U или V=E.

Def: Оператор называется сопряженным к оператору A, если .

Th: Каждый линейный оператор A имеет единственный сопряженный оператор . Оператор также является линейным.

Док-во: (для V=U) скалярное произведение является полуторалинейной формой в унитарном пр-ве U следовательно по теореме о представлении полуторалинейной формы существует единственный линейный оператор такой, что . По определению сопряж. оператора #

Замечание: Аналогично теорема доказывается и для V=E.

Свойства сопряженного оператора:

1. , здесь I – тождественный оператор.

2.

3.

4.

5. Если существует , то

6. Если подпространство инвариантно относит. оператора A, то подпр-во инвариантно относит. сопряж. оператора .

Доказательства свойств (V=U):

1) #

2)

= #

3)

, отсюда из равенства операторов следует #

16. (2 из 2) Сопряженный оператор и его свойства. Матрица сопряженного оператора.

17 (1 из 2) Нормальный оператор и его свойства.

4) следовательно

5) если существует , то .

или , следовательно #

6) Пусть существует , тогда и , но следовательно

#

Пусть – ОНБ в унитарн. пр-ве U: – матрица опер. A, – матр. сопряж. оператора . Найдем связь между и .

По определению матрицы линейный оператор , тогда запишем

Итак, , аналогично можно записать . Запишем

, т.е. – матрица сопряж. опер. .

Def: Лин. оператор A, действующий в унитарном U (евклидовом E) пр-ве наз-ся нормальным, если

Def: Квадратная матрица с комплексными (вещественными) эл-тами называется нормальной, если , где .

Свойства: Пусть A: U U – лин. оператор, при этом

1)

Док-во:

#

Следствие:

2) Если А – нормальный оператор, то - также нормальный оператор

Док-во:

3) Если l - собственный вектор нормального оператора А, отвечающий собственному значению λ, то l - также собственный вектор оператора А^*, отвечающий собственному значению .

Док-во:

Пусть l - собственный вектор нормального оператора А, отвечающий собственному значению λ, т.е. Al=λl или . Но по свойству 2 - нормальный оператор и по следствию из свойства 1 справедливо , отсюда следует, что

или . #

17. (2 из 2) Нормальный оператор и его свойства.

18. (1 из 1) Самосопряженный оператор и его свойства.

4) Собственные векторы нормального оператора А, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Док-во:

Если , при этом по свойству 3 . Тогда с одной стороны , с другой стороны, Отсюда следует, что , , т.е. , т.к. #

5) Пусть - произвольный ОНБ в унитарном пространстве U. Линейный оператор А является нормальным тогда и только тогда, когда матрица является нормальной.

Док-во:

Необходимость:

Пусть А – нормальный оператор, т.е. тогда или . Но в ОНБ , отсюда  - нормальная матрица.

Достаточность:

] , По теореме о взаимнооднозначном соответствии между множеством линейных операторов и множеством квадратных матриц можно записать: BA=AB, где , т.е оператор В имеет матрицу сопряженного оператора  или . #

Def: Линейный оператор A, действующий в унитарном U (евклидовом E) пр-ве называется самосопряженным, если

Def: Квадратная матрица с комплексными (вещественными) элементами называется ермитовой (симметричной), если

Свойства: Пусть - линейный оператор и .

1) Пусть - произвольный ОНБ в унитарном пространстве. Линейный оператор А является самосопряженным тогда и только тогда, когда - эрмитова матрица.

Док-во: Аналогично док-ву свойства 5 нормальных операторов. #

2) Все собственные значения самосопряженного оператора, действующего в унитарном пространстве – вещественны.

Док-во:

Пусть и . Тогда , . Получаем или т.е. #

Следствие: Все собственные значения эрмитовой матрицы, вещественны (т.к. самосопряженному оператору в ОНБ отвечает эрмитова матрица).

3) Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Док-во:

Следует из св-ва 4 нормальных операторов, т.к. самосопряженный оператор является частным случаем нормального оператора. #

4) Если подпространство инвариантно относительно самосопряженного оператора А, то его ортогональное дополнение также инвариантно относительно оператора А.

Док-во:

Следует из свойства 6 сопряженных операторов и из того, что . #

19. (1 из 1) Унитарный (ортогональный) оператор и его свойства.

20. (1 из 3) Ун-ые (ортгн-ые) матрицы и их св-ва. Переход от одного ортонормированного базиса к другому.

Def: Линейный оператор A, действующий в унитарном U (евклидовом E) пр-ве называется унитарным в U (орт. E), если, т.е. .

Def: Квадратная матрица с комплексными (вещественными) элементами называется унитарной (ортогональной), если , т.е. .

Пусть - линейный оператор, здесь V=E или V=U, кроме того

Свойства: 1) .

Док-во: . #

Следствие: .

2) Унитарный (ортогональный) опер-р переводит ОНБ снова в ОНБ.

Док-во: Если - ОНБ в пространстве V, то - снова ОНБ в V т.к. #

3) Собств знач-яя унитарного (ортог-ного) опер-ра по модулю = 1.

Доказательство (для V=U):

Пусть Al=λl, тогда

4) Пусть - произвольный ОНБ в пространстве V. Линейный оператор А является унитарным (ортогональным) тогда и только тогда, когда матрица является унитарной (ортогональной).

Док-во:

Аналогично док-ву свойства 5 для нормальных операторов. #

Def:

Квадратная матрица с комплексными (вещественными) элементами называется:

1. нормальной, если , где .

2. ермитовой (симметричной), если

3. унитарной (ортогональной), если , т.е. .

Пусть - произвольный ОНБ в пространстве V и матрица A_e - унитарная (ортогональная) т.е. , здесь .

1) Определитель унитарной (ортогональной) матрицы по модулю равен 1.

Доказательство (для унитарной матрицы):

Т.к. (см. Следствие 1 §5. Главы I).

То и тогда или , , отсюда т.е. . #

2) Матрица A_e унитарна (ортогональна) тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) нормированы и попарно ортогональны, т.е. для строк: , для столбцов:

Доказательство (для унитарной матрицы):

Матрица A_e - унитарная где

или .

или

20. (2 из 3) Ун-ые (ортгн-ые) матрицы и их св-ва. Переход от одного ортонормированного базиса к другому.

20. (3 из 3) Ун-ые (ортгн-ые) матрицы и их св-ва. Переход от одного ортонормированного базиса к другому.

Доказательство для ортогональной матрицы аналогично

3) Произведение унитарных (ортогональных) матриц есть унитарная (ортогональная) матрица

Док-во:

Пусть , , тогда

4) Пусть и - два ОНБ в пространстве U (или E). Тогда матрица перехода от базиса (e) к базису () является унитарной (ортогональной)

Док-во:

Запишем , тогда или где

Из единственности обратной матрицы следует, что - унитарная матрица. #

Примеры ортогональных операторов.

1°

Если - базисный вектор, а - ортогональный оператор, и , то

.

Таким образом, в одномерном евклидовом пространстве имеются два ортогональных преобразования: .

2°.

Пусть - ортогональная матрица второго порядка, определяющая в ОНБ ортогональное преобразование, по свойству 2° ортонормированности столбцов запишем , , . Тогда пусть , с, тогда или , тогда

Получаем две ортогональные матрицы:

;

, .

Матрица имеет , соответствует ортогональному преобразованию поворота плоскости на угол . Матрица имеет , что соответствует ортогональному преобразованию поворота на угол с последующим отражением относительно одной из координат.

21. (1 из 3) Спектральная теорема для нормальных операторов и нормальных матриц.

21. (2 из 3) Спектральная теорема для нормальных операторов и нормальных матриц.

Lem: Пусть e – собственный вектор нормального оператора A: U  U, – лин. оболочка данного собственного вектора. Тогда 1) ; 2) и явл-ся подпространствами, инвариантными относительно операторов A и .

Док-во: 1. Пусть – лин. оболочка собств. вектора e нормального опер-ра A: U U. Тогда по теореме о разложении евклидова (унитарного) пр-ва в прямую сумму (см.§5 гл. VI). Можно записать, что (отметим, что в §4 гл. III было доказано, что линейная оболочка – подпр-во данного лин пр-ва).

2. Пусть , т.е. существует : , тогда , используя св-во 3 норм. операторов , запишем: , т.е. – подпространство, инвариантное относительно оператора A.

Пусть , тогда , запишем следовательно .

след-но , т.е. – подпр-во, инвариантн относ A и . #

Th : (Спектральная теорема):

1) Пусть A – норм. оператор, действующий в унитарном пространстве U_n. Тогда в пространстве существует базис (ОНБ) из собственных векторов оператора норм. A.

2) Пусть – нормальная матр. Тогда существует унитарная матр. , столбцами кот. явл-ся собств. в-ры матр. A:

такая, что

Док-во:

1) Как всякий линейный оператор, действующий в унитарном (комплексном) пространтсве, нормальный оператор A имеет хотя бы одно собственное значение. Пусть и пусть , – линейная оболочка собств. в-ра , отвечающего соб. зн-ю . Тогда в силу суммы , где – (n-1)мерное подпространство, инвариантное относительно оператора A, т.е. если , то . Рассмотрим теперь норм. оператор A в подпространстве . Тогда точно также существует . Т.к. , то кроме того, можно записать в силу Леммы, что , где –

(n-2)мерное подпространство, инвариантное относительно оператора A. Теперь можно записать, что , при этом . Продолжая аналогично этот процесс, в конце концов получаем, что при этом , где – ортонормированная сист. собств. в-в норм. оператора A, отвечающая с. знач-ям .

Таким образом, получили ОНБ из собственных в-в нормального оператора A в унитарном пространстве .

21. (3 из 3) Спектральная теорема для нормальных операторов и нормальных матриц.

22. (1 из 2) Спектральная теорема для самосопряженных операторов и эрмитовых (симметрических) матриц.

2) Пусть – норм. матр. в унитарн. пространстве выберем произвольный ОНБ . Тогда в этом базисе данной нормальной матр. соотвествует единственный норм. оператор A (по теор. о взаимооднозначном соответствии между линейными операторами и квадратными матрицами и по св-ву 5 норм. операторов). Согласно 1-ой части данной теоремы в унит. пространстве U существует ОНБ из собственных в-в норм. оператора A: . В этом базисе , как известно (см. теор. 1 §7 гл IV) матр. оператора имеет диагональный вид

причем , где T – матр. перехода от базиса (e) к базису . Матр. T – унитарная, т.к. явл-ся матр. перехода от одного ОНБ к другому ОНБ (см. св-ва 4 унитарных (ортогональых) матр.), следовательно , т.е. . Наконец по определению матрицы перехода, в столбцах матр. стоят координаты векторов в базисе (e), т.е. и #

Th (о связи между самосопряженным и нормальным оператором): Оператор A явл-ся самосопряж. тогда и только тогда, когда: 1) A – норм. оператор; 2) все собств. з-ия явл-ся действ. числами, т.е. .

Док-во: Необходимость

Пусть A – самосопряж. оператор, тогда по определению , отсюда можно записать, что , т.е. A – норм. оператор кроме того по св-ву 2 самосопряж. операторов .

Достаточность

Пусть A – норм. оператор и пусть все его собств. значения - вещественные, т.е. _iR . Тогда в силу спектральной теоремы для нормальных операторов в унитарном пространстве U существует ОНБ из собств-х в-в оператора A:

.

Рассмотрим произвольные эл-ты и разложим их по данному в ОНБ: и , тогда . Согласно определению скалярного произведения в данном ОНБ имеем , отсюда получаем, что , т.е. – самосопряж. оператор. #

Th (Спектральная теорема):

Пусть A – самосопряж. оператор, действующий в унитарном пространстве . Тогда в пространстве существует ОНБ из

22. (2 из 2) Спектральная теорема для самосопряженных операторов и эрмитовых (симметрических) матриц.

23. (1 из 2) Спектральная теорема для унитарных операторов и унитарных матриц.

1. собств. в-в оператора A, а все его собств. значения явл-ся едйствительными.

2. Пусть – эрмитова (симметрическая) матрица. Тогда:

1) Все собств. зн-я этой матр. вещественны;

2) Существует унитарная матрица , столбцами которой явл-ся собств. в-ры матрицы A: , такая что . (В случае вещественных матриц переходит в .)

Док-во:

Следует из предыдущей и спектральной теоремы для норм. операторов. #

Th (о связи между унитарнным и нормальным оператором):

Оператор A явл-ся унитарным тогда и только тогда, когда: 1) A – нормальный оператор, 2) все собственные значения по модулю равны единице, т.е..

Док-во:

Необходимость

Пусть A – унитарный оператор, тогда по определению следовательно , т.е. A – норм. оператор. Кроме того по св-ву 3 унитарных операторов все собст. значения по модулю равны единице, т.е. .

Достаточность.

Пусть A – норм. опер. Тогда по спектральной теореме для норм. операторов в унитарн. простр-ве U_n существует ОНБ – базис из собств. в-в оператора A: . Возьмем произвольный эл-т и разложим его по данному ОНБ . Учитывая что запишем:

Если , т.е. , т.е. . Аналогично , отсюда A – унитарный оператор. #

Спектральная теорема:

Пусть A – унитарный оператор, действующий в унитарном

23. (2 из 2) Спектральная теорема для унитарных операторов и унитарных матриц.

24. (1 из 3) Приведение эрмитовой квадратичной формы к каноническому виду.

1. пространстве . Тогда в пространстве существует ОНБ из собств. в-в оператора A, а все его собственные значения равны по модулю единице

2. Пусть - унитарная матрица. Тогда: 1) все собственные значения матрицы A равны по модулю единице, т.е. ; 2) существует унитарная матрица столбцами которой являются собственные в-ры матрицы A. такая, что

Док-во:

Следует из предыдущей теоремы и спектральной теоермы для нормальных операторов.

Пусть – эрмитова полуторолинейная форма в унитарном пространстве, т.е. . Тогда по теоереме о представлении полуторалинейной формы существует единственный лин. оператор A, такой что .

1) Докажем, что A – самосопряженный оператор. В самом деле с одной стороны , с другой стороны , т.е. следовательно , т.е. A – самосопряж. опер.

2) Пусть - ОНБ в унитарном пространстве и - матрицы эрмитовой полуторалинейной формы и самосопряженного оператора A в унитарном пространстве. Получим связь между и .

Запишем

Замечание: Если -симметричная билинейная форма в евклидовом пространстве E и , то A – самосопряженный оператор и в любом ОНБ пространства E матрицы и совпадают,т.е. .

Если в эрмитовой полуторалинейной форме положить y=x, получим эрмитову квадратичную форму

Th 1: Пусть - эрмитова квадратичная форма в унитарном пространстве U . Тогда в этом пространстве U существует ОНБ , в котором эрмитова квадратичная форма

24. (2 из 3) Приведение эрмитовой квадратичной формы к каноническому виду.

24. (3 из 3) Приведение эрмитовой квадратичной формы к каноническому виду.

принимает канонический вид: , где - координаты вектора x в базисе (e); - вещественные числа.

Док-во:

Запишем: , где A – самосопряженный оператор. По спектральной теореме для самосопряж. операторов в унитарном пространстве U существует ОНБ из собств. в-в оператора при этом ,

Разложим вектор x по данному ОНБ:

, тогда , отсюда

Th 2:

Пусть - квадратичная форма в евклидовом пространстве E. Тогда в этом пространстве существует ОНБ , в котором квадратичная форма принимает канонический вид:

, где - координаты вектора x в базисе (e); - собственные значения матрицы квадратичной формы.

Док-во:

Запишем: , где A –самосопряженный оператор. По спектральной теореме для самосопряж. опреторов в евклидовом пространстве E существует базис из собств. в-в оператора A, в котором его матрица, а значит и матрица квадратичной формы

принимает диагональный вид, т.к. по замечанию в евклидовом пространстве в любом ОНБ. Поэтому диагональному виду оператора A соответствует канонический вид квадратичной формы . #

Вывод:

Для всякой квадратичной формы в унитарном (евклидовом) пространстве существует ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

Замечание.

С каждой квадратичной формой ассоциируется самосопряженный оператор A, такой, что

Как уже отмечалось, в любом ОНБ в евклидовом пространстве матрицы квадратичной формы и самосопряженного оператора совпадаю. При приведении самосопряженного оператора A к диагональному виду одновременно с ним квадратичная форма приводится к каноническому виду, поскольку законы преобразования матрицы оператора A и матрицы квадратичной формы и совпадают, если P – ортогональное преобразование, т.е. .

25. (1 из 2) Одновременное приведение пары квадратичных форм к каноническому виду.

25. (2 из 2) Одновременное приведение пары квадратичных форм к каноническому виду.

Пусть и - 2-е эрмитовы полуторалинейные формы в унитарном пространстве U; и - соответствующие им эрмитовы квадратичные формы. Поставим следующую задачу: найти такое невырожденное преобразование переменных, одновременно приводящее эрмитовы квадратичные формы и к каноническому виду (точнее, одна квадратичная форма приводится к каноническому виду, другая к нормальному виду).

Th 1:

Пусть и - 2-e эрмитовы квадратичные формы в унитарном пр-ве U и пусть Θ:>0 (т.е. положительна определена). Тогда в пространстве U существует базис , в котором эрмитовы квадратичные формы и принимают канонический вид: ,

, где - координаты вектора x в базисе , - вещественные числа.

Док-во:

Рассмотрим эрмитову полуторалинейную форму , полярную к эрмитовой квадратичной форме (которая положительно определена). Тогда в унитарном пр-ве U можно ввести скалярное произведение (еще одно) такое что . Это можно сделать так как - положит. определена. Комплексное линейное пространство U с введенным в нем скалярным произведением является так же унитарным. По теореме о приведении эрмитовой квадратичной формы к каноническому виду в пространстве U существует базис ортонормированный в

смысле скалярного произведения такой, что . Кроме того, т.п. базис - ортонормированный, то

но

Th 2:

Пусть и - 2-e квадратичные формы, заданные в евклидовом пространстве E и пусть

Θ: >0. Тогда в унитарном пр-ве E существует базис , в котором квадратичные формы и имеют канонический вид:

,

коэффициенты определяются из уравнения , а соответствующие базисные векторы определяются из системы уравнений , при этом ; .

Док-во: Без доказательства

26. (1 из 2) Определение невырожденного линейного оператора и его свойства.

26. (2 из 2) Определение невырожденного линейного оператора и его свойства.

Как известно (см. § 4 гл.IV) преобразование матрицы линейного оператора A при переходе от базиса (e) к базису (e’) осуществляется по формуле , где T – матрица перехода от (e) к (e’). Отсюда вытекает следствие согласно которому определитель матрицы оператора является инвариантным, т.е. его значение не меняется при переходе от одного базиса к другому (см. § 4 гл.IV). Следовательно если матрица линейного оператора является невырожденной (т.е. имеет определитель отличный от нуля) в одном базисе, то матрица данного линейного оператора будет невырожденной и в любом другом базисе.

Def:

Линейный оператор называется невырожденным, если он задается невырожденной матрицей.

Замечание:

Из определения следует, что любой невырожденный оператор обратим, и наоборот (см. Критерий обратимости линейного оператора, § 3 гл.IV).

Свойства невырожденного оператора:

1. Если A и B – невырожденные операторы, то их произведение AB также является невырожденным оператором.

Док-во:

Пусть C=AB , тогда в любом базисе имеем для матрицы данных операторов. Поскольку A и B – невырожденные операторы, то det, det det= det= det det. Отсюда С – невырожденный оператор #

2. Если оператор A является невырожденным, то обратный ему оператор также является невырожденным.

Док-во:

Т.к. , то, например,

, отсюда . Так как , то и - невырожденный оператор #

3. Если оператор A является невырожденным, то сопряженный ему оператор также невырожденный.

Док-во:

В произвольном ОНБ имеет , отсюда , т.к. , то - невырожденный оператор. #

4. Если оператор A является невырожденным, то равенство Ax=Θ возможно только при x=Θ (на это свойство мы ссылаемся § 5 гл.IV).

Док-во: Пусть , выбрав произвольный базис запишем однородную СЛАУ , здесь A_e - матрица данного оператора А в базисе (е), - координатный столбец вектора х. Поскольку однородная СЛАУ с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда (см. параграф 5 Главы II), а у нас ( в силу невырожденности оператора А) то однородная СЛАУ может иметь только тривиальное решение. #

27. (1 из 1) Представл невырожд лин опер-ра в виде произв само­сопряженн и унитарн (ортог) операторов.

28. (1 из 3) Многочлен от матрицы и линейного оператора.

Пусть - произвольный линейный невырожденный оператор, где V=U или V=E; A^* - оператор, сопряженный к оператору А.

Лемма: Линейный оператор A^*A(так же как AA^*) является самосопряженным при этом его собственные значения положительны.

Док-во:

Введем обозначение B= A^*A. Запишем B^*=(A^*A)^*=A^*(A^*)^*= A^*A (по свойствам сопряженного оператора 1-му и 2-му) следовательно, B^*=B т.е. В – самосопряженный оператор.

Пусть λ - собственное значение оператора В, х – соответствующий собственный вектор оператора В т.е. Bx= λx, кроме того по свойству 2 самосопряженных операторов. Тогда , отсюда , здесь .

Пусть λ=0, тогда , т.е. Ax=θ и по свойству 4⁰ невырожденных операторов имеем x=θ чего быть не может, т.к. #.

Th: Любой невырожденный линейный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве представим в виде произведения 2-х операторов: самосопряженного и унитарного (ортогонального).

Док-во: Без доказательства.

Замечание: Самосопряженные и унитарные (ортогональные) операторы достаточны для описания всего множества невырожденных операторов в унитарном (евклидовом) пространстве.

Пусть - линейный оператор; - квадратная матрица порядка n ; - произвольный базис в рассматриваемом пространстве V. Степень матрицы А определяется обычным образом ; . Кроме того можно записать , где p и q - целые неотрицательные числа.

Def: Если - многочлен (целая рациональная функция) то многочленом от матрицы А называется квадратная матрица .

Def: Многочленом от линейного оператора φ называется линейный оператор , где ; , кроме того (здесь Ix=x) и, очевидно, что .

Следствие: 

Док-во: Следует из определения произведения 2-х операторов. #

В силу изоморфизма (взаимнооднозначного соответствия) линейных операторов φ и квадратных матриц А из следуют равенства и .

Def: Говорят, что многочлен P(t) аннулирует линейный оператор φ (матрицу ), если .

Рассм лин пр-во квадр матриц порядка n, , пусть A₀ - произвольн квадр матрица порядка n, тогда матрицы будут л.з.,если такие что.

Это означает, что многочлен P(t) аннулирует матрицу A₀.

28. (2 из 3) Многочлен от матрицы и линейного оператора.

28. (3 из 3) Многочлен от матрицы и линейного оператора.

Отсюда вытекает, что существует многочлен минимальной (min) степени, аннулирующий матрицу A₀.

Def: Минимальным многочленом матрицы А ( или линейного оператора ) называется многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом равным 1, аннулирующий данную матрицу А (оператор ). Обозначение:  или соответственно.

Лемма: Пусть многочлен и квадратная матрица порядка n, связаны соотношением P(λ)E=(A- λE)C(λ), где , где - квадратные матрицы порядка n. Тогда P(A)=0.

Док-во: Без доказательства.

Th: Всякий аннулирующий многочлен делится нацело на минимальный многочлен.

Док-во: Пусть P(t) - аннулирующий многочлен, тогда P(A)=0. Разделим P(t) на с остатком, т.е. , здесь q(t) - частное, r(t) - остаток. Отметим, что (здесь deg - степень). Запишем: , т.е. r(t) - аннулирует матрицу А.

Отсюда вытекает, что , т.к. в противном случае ()

получили бы, что r(t) имеет степень меньшую, чем , чего не может быть, поэтому . #

Следствие: Минимальный многочлен единственен.

Док-во: Пусть и два миним многочл. Они одинаковой степени, делятся нацело друг на друга и имеют коэффициенты при старшей степени равные единице. Поэтому очевидно, они совпад. #

Отмет, что в люб баз , приэтом .

Th (Гамельтона-Кэлли): Всякий линейный оператор и его матрица аннулируется своим характеристическим многочленом .

Док-во:

Рассмотрим матрицу (A-λE). Известно, что матрица обратная к данной имеет вид , где c(λ) - матрица из алгебраических дополнений (n-1)–го порядка относительно λ матрицы (A-λE).

Здесь , где .

Запишем: или . Умножая последнее равенство слева на получим: 

. Т.к. c(λ) - многочлен степени не выше (n-1) относительно λ, то взяв согласно Лемме получим, что . #

Следствия:

1) делится нацело на .

2) Т.к. корни минимального многочлена являются подмножеством корней характеристического многочлена (собственных значений оператора), то минимальный многочлен также разлагается на линейные множители.

29. (1 из 5) Корневые векторы и корневые подпространства.

29. (2 из 5) Корневые векторы и корневые подпространства.

Def: 1: Вектор xθ пространства V называется корневым вектором линейного оператора , если и (*).

Таким образом, в частности всякий собственный вектор является корневым (). Наименьшая m, при котором выполняется равенство (*) называется высотой корневого вектора х.

Утверждения: 1) Собственный вектор – корневой вектор высоты 1 (m=1). 2) Если справедливо , то λ - собст знач опер .

Док-во: Пусть х- корневой вектор высоты m, тогда , при этом , тогда отсюда у – собственный вектор, отвечающий собственному значению λ. #

Говорят, что корневой вектор х принадлежит собств значению λ.

Def: 2: Подпространство - корневой вектор оператора φ, отвечающий собственному значению λ или x = θ} называется корневым подпространством.

Th 1: (о корневом подпространстве).

Корневое подпространство является подпространством пространства V. Подпространство инвариантно относительно любого оператора , где .

Док-во: 1) Нулевой элемент по определению

2) Если , то

3) Если и , то если , отсюда , т.е. - подпространство пространства V. | Докажем, что инвариантно относительно любого оператора , где .

Пусть , тогда , обозн-м . Запишем

, значит - инвариантно относительно любого оператора , кроме того #

Def: 3: Пусть V₁ подпространство пространства V, инвариантное относительно линейного оператора φ, т.е. . В этом случае определен оператор , действующий по формуле. Линейный оператор называется ограничением оператора φ на инвариантном подпространстве V₁ (по другому оператор φ индуцирует преобразование на инвариантном подпространстве V₁).

Замечание:

1) Если V₁ и V₂ - подпространства пространства V, инвариантные относительно линейного оператора φ и , то в базисе пространства V матрица оператора φ

имеет вид: , где , . , - матрицы оператора φ, инвариантные на V₁ и V₂ соответственно.

2) Если же V₁ - подпространство пространства V, то инвариантное относительно линейного оператора φ и других подпространств нет, то дополняя базис подпространства V₁ векторами

29. (3 из 5) Корневые векторы и корневые подпространства.

29. (4 из 5) Корневые векторы и корневые подпространства.

до базиса пространства V, получим матрицу оператора φ в пространстве V: , здесь *,** - ненулевые матрицы.

Лемма 1: Если , то . Иначе если и , то если (здесь λ - собственное значение оператора φ).

Док-во: Пусть , т.е. и

Тогда

и т.к. , то #

Пусть - различные собственные значения оператора φ и , ,…, - соответствующие им корневые подпространства.

Утв:Сумма корневых подпространств является прямой, т.е. , если равенство справедливо тогда и только тогда когда , где . Док-во: Необходимость:

Доказательство проведем методом математической индукции по .

1) при очевидно

2) пусть утв справедливо для корневого подпространства

3) докажем справедливость утверждения для корневых подпр-в.

Т.к. , то , поэтому из равенства

, где ,

,...,, . Т.к.

подпространство инвариантны относительно оператора

по теореме 1, то . И по предположению индукции . По лемме 1 из , при , значт и .

Следствие: Пусть - корневые в-ры, принадлежащ попарно различн собств знач . Тогда в-ры - л.н.з.

Док-во: Запишем равенство , тогда по утв получаем что и значит . #

Лемма 2:  Пусть - корневые векторы, принадлежащие одному собственному значению λ, с попарно различными высотами (). Тогда векторы - л.н.з.

1) При k=1: - верно

2) При k=2: . Пусть и . Тогда а из что и . 3) Пусть утверждение справедливо для (k-1) векторов. 4) Для k векторов.

. Пусть и . Тогда

, а по предположению индукции #

Th 2:  Пусть - собств знач лин опер-а φ с кратностями , соотв-но, а , ,…, - корн подпр-ва.

Тогда , ,…, и .

29. (5 из 5) Корневые векторы и корневые подпространства.

Док-во: без доказательства

Следствие: Максимальная высота корневого вектора, отвечающего собственному значению λ, не превосходит кратности n_λ

Док-во: Пусть с высотой m>n_λ (доказываем методом от противного). Тогда векторы - корневые векторы, принадлежащие одному собственному значению λ с попарно различными высотами m, m-1,…, 2, 1. В самом деле, если

, то корневой вектор высоты m, тогда

- корневой вектор высоты m-1.

- корневой вектор высоты m-2.

- корневой вектор высоты 1.

Тогда по Лемме 2 эти векторы л.н.з. и их всего m>n_λ штук. Это противоречит тому, что #

Схемы нахождения корневых векторов.

1) Ищем собственные значения

2) Для каждого собственного значения λ_i решаем систему уравнений , где k_i<n_i, n_i - кратность λ_i как корня характеристического уравнения. Тогда находим корневые векторы максимальной высоты k_i из условия .

30. (1 из 5) Нильпотентные преобразования. Свойства нильпотентных операторов.

30. (2 из 5) Нильпотентные преобразования. Свойства нильпотентных операторов.

Def: 1: А

Линейный оператор A (матрица А) называется нильпотентным (нильпотентной), если такое что  (=). Здесь -нулевая матрица; -нулевой оператор (см. §1 Гл.1 и §2 Гл.2 соответственно).

Наименьшее (min) такое что: называется показателем (степенью) нильпотентности оператора (матрицы).

Свойства нильпотентных преобразований:

1⁰)Все собственные значения нильпотентного оператора A равны 0.

Док-во: Пусть х – собственный вектор нильпотентного оператора A , l-показатель нильпотентности, тогда =х=θ=и т.к. х θ, то #

Следствие 1: Если A - нильпотентный оператор, то Ker A={все собственные векторы оператора A}{ θ }.

Док-во: Вытек-т из опред нильпотентного оператора и свойства 1 #

2⁰)Пусть A - нильпотентный оператор и выполняется θ и = θ тогда векторы л.н.з.

Док-во: Векторы - корневые векторы оператора A , принадлежащие одному и тому же собственному значению (т.к. A – нильпотентный оператор, см. Свойство ) с попарно-различными высотами k,k-1,…,2,1.

По лемме 2 §2 настоящей главы указанные векторы являются л.н.з. #

Следствие 2:

Любой набор векторов оканчивающийся ненулевым вектором, л.н.з.

Док-во: Указанный набор векторов является л.н.з., т.к. л.н.з подсистема векторов: (см. Свойство 2⁰, k-1) #.

Следствие 3: Показатель нильпотентности

Док-во:

В противном случае если (например l=n+1) в пространстве л.н.з. вектор , чего быть не может #.

3°) Если l- показатель нильпотентности, то минимальный многочлен .

Док-во: 1) аннулирует оператор ,т.е.;

2) Пусть r < l (l - показатель нильпотентности, r – степень минимального многочлена) и . Предположим, что аннулирует нильпотентный оператор , тогда, с одной стороны, ӨӨ. С другой стороны Ө, (т.к.аннулирует ), но по свойству векторы - л.н.з. = θ, получили противоречие, поэтому r=l #

Def: 2: Пусть A - нильпотентн опер-р и Ө, = Ө.

Линейная оболочка z=L() называется подпространством циклическим относительно оператора A (см. §4гл. III). Будем говорить, что циклическое подпространство z

порождается элементом (вектором) x. По свойству 2⁰ векторы л.н.з. и образуют в циклическом подпространстве z базис. Этот базис наз-ся циклическим базисом, порождаемым вектором x (dim z = k).

Лемма 1: Пусть z –циклическое подпространство, порождаемое вектором x и dim z = k2. Тогда A(z) – циклическое подпространство, порождаемое вектором Ax и dim A(z) = k-1.

Док-во: Пусть – произвольный вектор в циклическом подпространстве z.

Т.к. = θ, то

.

30. (3 из 5) Нильпотентные преобразования. Свойства нильпотентных операторов.

30. (4 из 5) Нильпотентные преобразования. Свойства нильпотентных операторов.

По свойству векторы –л.н.з. составляют базис в подпространстве (z). Поэтому (z) – циклическое подпространство, порождаемое вектором x и dim (z) = k-1. #

Следствие 4: Циклическое подпространство Z инвариантно относительно нильпотентного оператора .

Док-во: (z)=. #

Следствие 5: , где ={Ө} – нулевое пространство (формально (=Ө) ),

z=L() – циклические подпространства инвариантны относительно нильпотентного оператора .

Док-во: Применить k раз следствие 4. #

Вывод: Пусть все собственные значение линейного оператора с кратностями соответственно и – соответствующие корневые подпространства. По теореме 2 §2 настоящей главы . Возьмем (e) – базис пространства V, состоящий из базисов корневых подпространств . Тогда непосредственно из определения матрицы оператора следует, что матрица линейного оператора в базисе (e) имеет блочно-диагональн (или клеточно диагональн) вид:

Здесь – квадратные матрицы порядков – соответственно (по теореме 2 §2 dim ), причем

(смотри замечание 2) является матрицами ограничений оператора на инвариантном подпространстве (по-другому индуцированного оператора на инвариантном подпр-ве ).

Замечание 1:

Пусть A - нильпотентный оператор, с показателем нильпотентности k. Тогда циклическое подпространство . Рассмотрим индуцированный нильпотентный оператор на инвариантном циклическом подпространстве, тогда

его матрица в базисе имеет вид:

А в базисе имеет вид: (^)

рассмотрим лин. оператор . По теор. 1 §2 настоящей главы корневое подпространство инвариантно относительно лин. оператора . Введем следующий лин. оператор , где – корневое подпространство, отвечающее корню характеристич. Уравнения кратности . По определению , – нильпотентный оператор степени

(см. Следствие 3 раздела 3.1 § 3).

Утв: 1: Показатель нильпотентности оператора равен кратности корня в минимальном многочлене.

30. (5 из 5) Нильпотентные преобразования. Свойства нильпотентных операторов.

31. (1 из 3) Жордановы цепочки, Нахождение начальных векторов цепочек.

Док-во:

Пусть минимальный многочлен имеет вид:

.

Будем доказывать методом от противного. Предположим, что (– показатель нильпотентности, – кратность в минимальном многчлене), рассмотрим мн-н.

Возьмем произвольное и , где , тогда

, т.к.если , то

Если же , то

, но , отсюда #

Пусть R- фиксированное корневое подпространство линейного оператора и A=(I ) индекс i зафиксируем и опустим. Таким образом имеем A:R где A нильпотентное преобразование dimR=n, l- показатель нильпотентности (l)

Цель : доказать что R = Z Z….Z , где Z (i =) – циклические относительно нильпотентного оператора А подпространства dimZ=K. Отметим что V=R, где . Для этого построим циклические базисы объединение которых даёт базис корневого подпространства R. Пусть для некоторого x и (k+1=l). таким образом - циклический базис причём - собственный вектор нильпотентного оператора т.е.

Def: 3: Пусть - собственный вектор нильпотентного оператора, а векторы удовлетворяют условию: тогда эти векторы наз-ся 1-ым, 2-ым,…,k-ым присоединенным к векторами. При этом говорят что векторы образуют Жорданову цепочку с началом (т.е. -начало Жорд. цепочки).

Замечание 3: Любой циклический базис состоит из собственного вектора и присоединенных к нему векторов. Обратно,  Жордановой цепочка образует циклический базис.

31. (2 из 3) Жордановы цепочки, Нахождение начальных векторов цепочек.

31. (3 из 3) Жордановы цепочки, Нахождение начальных векторов цепочек.

Лемма 2 Собственный вектор e₀ (0) имеет k присоединенных векторов (т.е. является началом цепочки из (k+1) вектора  и .

Док-во:

Необходимость:

Пусть - собственный вектор => по следствию1 . Запишем также => кроме того т.к. в этом случае существовал бы (k+1) присоединённый вектор.

Достаточность:

Пусть => собственный вектор т.к. , то , тогда циклический базис даёт нужную цепочку #

Нахождение начальных векторов Жордановых цепочек

Из леммы2 вытекает следующее Def: где i =(l – показатель нильпотентности оператора А). Определённые таким образом подпространства играют весьма значительную роль в построении цепочек Жордана. Очевидно подпространство корневого подпространства R (здесь I) индекс i зафиксирован и опущен)

Лемма 3: Imи Im где l- показатель нильпотентности оператора

Док-во:

Т.к., то Im , т.к. l- показатель нильпотентности оператора А то очевидно что т.е. Im, а поэтому #

Алгоритм построения базиса (e⁰) в подпространстве KerA из собственных векторов:

Строим базис (e⁰) в подпространстве KerA из собственных векторов связанных с (1):

1. в выбираем какой-нибудь базис.

2. добавим из векторы л.н.з с предыдущими из и л.н.з. между собой затем добавляем векторы из и.т.д. вплоть до . Таким образом вектор из может быть включён в базис если только базис уже пополнен на предыдущем шаге в подпространстве

последними если это потребуется добавим т.е л.н.з. векторы из KerA которые не лежат в ImA . Тогда получим базис в KerA этот базис состоит из собственных векторов полученных на основе алгоритма (условия 1-3 )

32. (1 из 2) Разложение корневого подпространства в сумму циклических подпространств.

32. (2 из 2) Разложение корневого подпространства в сумму циклических подпространств.

К каждому собственному вектору базиса (e⁰) добавим присоединенные векторы тогда получим

(2)

указанная система векторов (2) образует в корн подпр-ве R базис. Отметим что каждая строка в (2) представляет жорданову цепочку.

Лемма 4: Система в-ов (2) – л.н.з. когда собств в-ры - л.н.з.

Док-во: Доказывать будем методом математической индукции по числу векторов N в системе

1. N=1 – один собственный вектор очевидно

2. Пусть утверждение справедливо для (N-1) векторов системы

3. Докажем справедливость утверждения для N векторов Пусть

Применим к данному равенству нильпотентный оператор А:

- линейная комбинация векторов (2) с числом слагаемых меньших чем (N-1) тогда в равенстве (*) остаётся

и , если -лнз. #

Лемма 5: Любой вектор (индекс зафиксирован и опущен) представим в виде линейной комбинации системы векторов (2).

Док-во: Пусть , m-его высота тогда где l- показатель нильпотентности оператора А будем доказывать методом математической индукции по высоте вектора m

1. m=1 => или x- собственный вектор оператора А (т.е. ) по построению базиса () вектор х разлагается по

2. Пусть утверждение справедливо для высоты m

3. Докажем справедливость утверждения для высоты ( m+1)

Пусть - произвольный вектор высоты ( m+1) рассмотрим , очевидно что а поэтому .По построению() любой вектор в подпространстве разлагается по базисным векторам из т.е. найдутся векторы такие что но векторы из имеют m присоединенных векторов и для m-ых векторов справедливо

тогда => вектор

т.е. имеет высоту m и по предположению индукции разлагается по базисным векторам системы (2) отсюда и вектор х разлагается по векторам системы (2) #

Th 1: Подпространство R в котором задано нильпотентное преобразование А разлагается в прямую сумму подпространства циклических относительно оператора А

Док-во: По леммам 4 и 5 строится базис R являющийся объединением циклических базисов. Линейная оболочка каждой цепочки из (2)-циклическое подпространство т.е. , где #

33. (1 из 3) Разм циклич-х прямых слагаемых. Вид матрицы нильпотент пре­образ в жордановом базисе.

33. (2 из 3) Разм циклич-х прямых слагаемых. Вид матрицы нильпотент пре­образ в жордановом базисе.

Разложение из теоремы 1 не единственно однако общее число слагаемых (ненулевых) в прямой сумме и их размерности находятся однозначно.

Лемма 6:

Если пространство R двумя способами разлагается в прямую сумму циклических подпространств то число (ненулевых) слагаемых в обоих разложениях одинаково.

Док-во:

Пусть (3) где , ,

рассмотрим

=т.к.

, поэтому (по следствию 4 из леммы 1)

То же самое справедливо и для .По лемме 1 имеем , тогда или n-p=n-s откуда p=s #.

Th 2: Пусть подпространство R двумя способами (3) разлагается в прямую сумму подпространств, циклических относительно нильпотентного оператора А. Тогда число слагаемых t какой-либо размерности k одинаково в обоих разложениях.

Док-во: Доказываем методом математической индукции по размерности циклических подпространств.

1) Пусть k₁ – минимальная из размерностей циклических подпространств z_i иU_i, т.е. . Пусть для определенности в левой части равно t₁ слагаемых размерности k₁. Применим оператор A^k1; получим .

В левой части (p-t₁) ненулевых слагаемых, согласно Лемме 6 в правой части будет столько же ненулевых слагаемых. Значит, и в правой части (3) будет равно t₁ слагаемых размерности k₁ (по следствию 5 из Леммы 1).

2) Пусть утверждение доказано для размерностей меньших чем (k-1) т.е. (k-1>k₁).

3) Докажем справедливость утверждения для размерности k. Пусть левая часть (3) содержит t подпространств с размерностью k. На соотношение (3) подействуем оператором A^k:

Эта операция занулит все слагаемые с размерностями (по следствию 5 из Леммы 1). Тогда по Лемме 6 число ненулевых слагаемых в последнем равенстве с размерностями больше k будет одинаково. Тогда количество слагаемых с размерностями меньше или равно k будет в (3) также одинаково. По предположению индукции число слагаемых в правой части с размерностью k будет равно t. #

Вид матрицы нипотентного преобразования в жордановом базисе.

Def: 5: (по Леммам 4,5).

Система векторов (2) – базис в корневом подпространстве R, который является объединением циклических базисов z_i. Этот базис

33. (3 из 3) Разм циклич-х прямых слагаемых. Вид матрицы нильпотент пре­образ в жордановом базисе.

34. (1 из 3) Теорема Жордана. Построение жорданова базиса.

называется жордановым базисом подпространства R для нильпотентного оператора A.

Пусть А – нильпотентный оператор , z – его циклические подпространства, dim z = r.

Выберем в качестве базиса в подпространстве z следующий : при этом и рассмотрим - инвариантное подпространство). Тогда матрица оператора в этом базисе имеет вид (4) - это квадратичная матрица порядка r

Возьмем теперь в корневом подпространстве R базис (2). Тогда, так как - инвариантное подпространство, то матрица А оператора А будет иметь вид , где - жорданова клетка вида (4) порядка h_i = dim z_i = r_i + 1 (смотри (2)).

Пусть - лин опер, - все его собств знач с кратн равными соответственно , - соотв корневые подпространства, - индуцированный нильпотентн опер A_i на инвар-м корн подпр-ве .

Def: 6: Жордановым базисом пр-ва V для опер-ра наз-ся объединение жордановых базисов корн подпр-в построен для .

Имеем: , где .

Фиксируем циклическое подпространство и рассмотрим индуцированный линейный оператор на инвариантном подпространстве z. Так как , то φ(z)  z - инвариантное подпространство. Найдем матрицу оператора в циклическом базисе z: , это квадратная матрица, ее порядок равен dim z = h. Эта матрица называется жордановой клеткой порядка h для собственного значения λ_i. Если , то эту матрицу обозначим . Размер

жордановой клетки . Так как , то матрица A линейного оператора φ в базисе подпространства имеет вид: , тогда матрица линейного оператора φ в жордановом базисе V имеет вид:

(5).

34. (2 из 3) Теорема Жордана. Построение жорданова базиса.

34. (3 из 3) Теорема Жордана. Построение жорданова базиса.

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Утв: 2: матрица линейного оператора в жордановом базисе – клеточно-диагональная. На ее диагонали располагаются жордановы клетки размеров, равных размерам циклических подпространств, на которые распадаются корневые подпространства соответствующие собственным значениям оператора φ.

Def: 7: матрицу вида (5), описанную в утверждении 2 называют жордановой матрицей. Нахождение матрицы линейного оператора φ в его жордановом базисе называется приведением матрицы оператора φ к жордановой нормальной форме.

Th 3 (Жордана):

Для любого линейного оператора , имеющего собственные значения с кратностями существует базис, в котором матрица A_φ имеет жорданову нормальную формулу J. При этом жорданова нормальная форма J однозначно определена для оператора φ с точностью до порядка расположения диагональных клеток.

Док-во: возьмем жорданов базис в пространстве V. По утверждению 2 матрица A_φ оператора φ имеет в этом базисе жорданову нормальную форму. Докажем единственность J. Для построения J нужны корни характеристического

уравнения с кратностями . Кроме того нужны размерности циклических подпространств. Характеристический многочлен - инвариант. Размерности циклических подпространств по теореме 2 определяются однозначно. Следовательно J – единственно (с точностью до порядка расположения диагональных клеток). #

Построение жорданова базиса и жордановой нормальной формы J линейного оператора φ, заданного матрицей A.

1) находим корни характеристического уравнения и их кратности n₁, n₂, …, n_k.

2) Для каждого составляем матрицу и вычисляем rang(), если rang()>, то вычисляем , и т.д., пока не найдется минимальная степень такая, что rang=.

3) Рассмотрим столбцы, в которых расположен базисный минор матрицы . Их линейная оболочка очевидно есть Im. Найдем подпространство =ImKer. В находим базис – это те собственные векторы, с которых начинаются жордановы цепочки максимальной длины, равной , если общее число векторов в этих цепочках равно , по процесс прекращается. Если же длина цепочек <, то рассматриваем = ImKer и дополн уже выбранные векторы (из ) до базиса . Вновь добавленые собств в-ры служат началом жордановых цепочек максимальной длины . Если общая длина цепочек <, то продолжаем построение новых собств в-ров из (дадут цепочки длиной ).И так далее, пока общ длина цепочек не окаж равн .

4) Жорданов базис получается при объединении жордановых базисов корневых подпространств.

5) Жорданова нормальная форма J матрицы A имеет клеточно-диагональный вид и может быть выписана непосредственно или получена по формуле , где T- матрица перехода от исходного базиса (e) к жорданову базису. В столбцах матрицы T стоят координаты базисных векторов жорданова базиса.

Замечание: Последовательно присоединенные к векторы находятся, как решения системы линейных ур-й вида:

, где .

35. (1 из 3) Многочлены от матрицы.

35. (2 из 3) Многочлены от матрицы.

Рассмотрим вещественную квадратную матрицу A порядка n имеющую все вещественные собственные значения. Отметим еще раз (см. пар 1 гл.8), что (SN).

Согласно теории семинарских занятий 8-9 (см выше) для любой матрицы A линейного оператора φ существует невырожденная матрица T (detT ≠ 0) такая, что J = T ^-1AT, отсюда можно записать, что A = TJT ^-1. Обозначим z₊ - множество целых положительных чисел, включающее и число ноль.

Лемма 1: Для любого справедливо равенство A ^S = T J ^S T ^-1.

Док-во: Доказывать будем методом математической индукции по показателю степени S.

1) - очевидно

2)

3) Пусть утв. справедливо при

4) Докажем справедливость утв. при : #

Рассмотрим жорданову нормальную форму:

, тогда Пусть жорданова клетка порядка h имеет вид :

, где ,

,...,,(|) ,тогда /здесь ЕВ=ВЕ=В по лемме о единичной матрице/==

и если

Из леммы 1 вытекает.

Следствие:

кроме того . Из формул получаем:

35. (3 из 3) Многочлены от матрицы.

36. (1 из 3) Функции от матрицы. Интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестра.

Вывод:

Элементы матрицы однозначно определены значения многочлена Р(t) и его производных до порядка включительно в точке где - характеристическое число (собственное значение линейного оператора ), отвечающее жордановой клетке , - размер жордановой клетки. Отсюда непосредственно следует, что из равенства не вытекает тождество , а лишь равенство

(1)

справедливые для любого собственного значения - max размер жордановой клетки, отвечающей

Def: 1:

Если для 2-х многочленов P(t) и Q(t) выполняются равенства (1), то говорят, что многочлены P(t) и Q(t) совпадают на спектре матрицы A.

Def: 1:

Пусть даны функция и A – вещественная квадратичная матрица порядка n; - все ее вещественные собственные значения. Будем говорить, что определена на спектре матрицы A, если существует набор этих чисел будем называть значениями функции f(t) на спектре матрицы A. Здесь -max размер жордановой клетки, соответствует собственному значению . Пусть – функция, определенная на спектре матрицы A и пусть P(t) – многочлен, значения которого на спектре матрицы A совпадает с соответствующими значениями функции f(t). Тогда полагаем, что f(A)=P(A).

Таким образом, функцию f(A) от матриц. A можно определить по следующей формуле: , где , ,

здесь - размер жордановой клетки (индекс – зафиксирован и опущен).

Замечание 1:

Выражение для функции от матрицы не зависит от вида матрицы T

36. (2 из 3) Функции от матрицы. Интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестра.

36. (3 из 3) Функции от матрицы. Интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестра.

Th 1 (о существовании интерполяционного многочлена Лагранжа - Сильвестра):

Пусть f(t) определена на спектре матрицы A. Тогда существует

единственный многочлен степени меньшей чем степень минимального многочлена матрица A и совпадающей на спектре матрица A с функцией f(t).

Док-во: Без доказательства

Def: 2:

Многочлен из теоремы 1 называется интерполяционным многочленом Лагранжа -Сильвестра функции f(t).

Вывод:

По определению функции от матрицы имеем .

Замечание 2:

Из Вывода следует, что функцию от матрицы можно находить также с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа - Сильвестра.

Th 2:

Пусть характеристический многочлен матрицы A имеет только простые (некратные) корни. Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа - Сильвестра имеет вид: , где - характеристически числа (собственные значения) вещественной матрицы A порядка n.

Док-во: Без доказательства

Отметим, что в условии теор.2 минимальный многочлен . Если обозначить , то формула для принимает вид:

Th 3:

Пусть - минимальный многочлен матрицы A; - все ее характеристические числа. Обозначим . Если функция f(t) определена на спектре матрица A, то интерполяционный многочлен Лагранжа - Сильвестра имеет вид:

Док-во: Без доказательства

Замечание 3:

В последней формуле выражение в фигурных скобках – сумма первых членов разложения функции по формуле Тейлора в окрестностях .