1 раздел вопросов к экзамену
.docxЭллипс
Определение: геометрическое место точек т.ч. сумма расстояний до 2 фиксированных точек есть величина постоянная, большая, чем расстояние между (обозначается 2а)
- фокусы эллипса; || - фокусное расстояние (обознач. 2с)
a>c; – фокальные радиусы;Декартова прямоугольная с/к. (Рисунок на обороте)
Теорема. В декартовой с/к каноническое уравнение эллипса имеет вид
Покажем, что нет лишних точек.
=
Свойства эллипса, вытекающие из канонического уравнения
1» Оси Ох, Оу – оси симметрии ()a и b – полуоси эллипса
2» – точки эллипса не выходят за прямоуг. Касательные ⊥
3»Эллипс симметричен относительно Ох
Определение: эксцентриситет ;; если = 0 => окружность; ;Определение: директриса эллипса
Теорема: Эллипс, не являющийся окружностью есть геометрическое место точек, для которых отношение расстояний до фиксированной точки F к расстоянию до фиксированной прямой d, не проходящей через данную точку F, есть величина постоянная < 1; (Рисунок)
Доказательство Пусть
Гипербола
Определение: гиперболой называется геометрическое место точек для которых абсолютная величина разности расстояний до 2-х фиксированных точек есть величина большая, чем расстояние между (обозначается 2а) - фокусы гиперболы; || - фокусное расстояние (обознач. 2с)
a>c; – фокальные радиусы;
Каноническая с/к – декартова прямоугольная с/к. Рис.7
Теорема: В канонической с/к уравнение гиперболы имеет вид
;
Свойства гиперболы, вытекающие из канонического уравнения
1»Ох, Оу – оси симметрии, т. О – центр симметрии; - т. пересечения с осями; Точек пересечения с Оу нет; Ох – вещественная ось, Оу – мнимая.
2»; ; Рис.8
Определение ;Рис.9
Гипербола есть геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до точки к расстоянию до данной прямой , не проходящей через , есть величина постоянная .
Парабола
Геометрическое место точек, для которых расстояние до некоторой фиксированной т. равно расстоянию до фиксированной прямой , не проходящей через т. ; ;F - фокус параболы; d – директриса параболы; p – расстояние от F до d(фокальный параметр параболы)
Каноническая с/к. Рис.10; Теорема: В канонической с/к каноническое уравнение параболы имеет вид ;; Рис.11
Свойства
1»Ох – ось симметрии; т.О – вершина параболы
2»
Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы
Рис.1,Рис.2,Рис.3,Рис.4,Рис.5 ;Общее уравнение ;Рис.6
Общее уравнение линий 2-го порядка. Преобразование коэффициентов уравнения линии 2-го порядка при параллельном переносе и повороте декартовой с/к
Преобразование коэффициентов линии 2-го порядка при переходе к новой с/к
1»Параллельный перенос
2»Поворот на
;
Инварианты уравнения линии 2-го порядка. Понятие типа линии 2-го порядка.
Определение: инвариантом уравнения линии 2-го порядка относительно преобразования декартовой с/к называется такая, зависящая от коэффициентов уравнения линии 2-го порядка, значение которой не меняется при переходе к новой декартовой с/к;
Теорема: Величины – инварианты для линий 2-го порядка
;;
Доказательство для - очевидно, т.к. не меняется
=
Доказательство для поворота
;; – не зависит от
– эллиптический тип; – параболический тип;- гиперболический тип
Упрощение уравнения линий 2-го порядка.
1»Параллельный перенос
⇔- уравнение центра
Если - центр симметрии; центральные линии.
2»Поворот
⇒
Упрощение уравнения центральной линии 2-го порядка. Классификация центральных линий.
; - центр
; Теорема: пусть уравнение эллиптического типа и уравнение нормировано т.ч. , тогда при - уравнение эллипса, – точка, – уравнению не удовлетворяет ни одна точка – мнимый эллипс.
Упрощение линий параболического типа. Классификация линий параболического типа.
линия параболического типа. Для докажем. Пусть , ; ; - линия 2-го порядка(противоречие)
1» Преобразование поворота(стандартное упрощение)
А)Если ничего делать не надо
Б)⇒поворот один из них 0
;
;
Уравнение параболического типа; – представляет собой параболу, при – пара параллельных действительных прямых(которые могут совпадать) или пару мнимых параллельных прямых. Доказательство:
1» или ;=0;
2» ;
A» – пара слившихся прямых
Б» – пара параллельных прямых
В»- пара мнимых параллельных прямых
Понятие поверхности 2-го порядка. Центр поверхности 2-го порядка. Понятие центральной поверхности 2-го порядка.
1»Параллельный перенос
2»Стандартные упрощения
Классификация центральных поверхностей 2-го порядка
Параллельный перенос + стандартное упрощение
1) – одного знака
A»(>0) – мнимый эллипсоид
Б»противоположен по знаку эллипсоид
В» - вырожденный эллипсоид
2»– одного знака, – противоположного. – двухполостной гиперболоид
3» – одного знака, противоположного - однополостной гиперболоид
4» – одного знака, противоположного конус 2-го порядка
Классификация нецентральных поверхностей 2-го порядка
– гиперболический параболоид; – стандартное упрощение; один из ненулевых обращается в 0; 1»
А»; ; – пара пересек. плоскостей, – пара мнимых пересек. плоскостей
Б»; - эллиптический цилиндр; – гиперболический цилиндр
В» – параболоид; – эллиптический гиперболоид
– гиперболический параболоид
2)из ,