- •Раздел 1.Векторная алгебра.
- •2)Определение линейной зависимости векторов.
- •4)Теоремы о линейной зависимости векторов.
- •6)Декартова система координат.
- •8)Геометрический смысл координат вектора.
- •10)Геометрический смысл линейной зависимости 3-х векторов.
- •12)Скалярное произведение векторов. Определение.
- •14)Вычисление угла между векторами.
- •28)Задача о вычислении объема пирамиды с помощью смешанного произведения.
- •30)Условие компланарности векторов.
- •Раздел2.Аналитическая геометрия.
- •32)Смешанное произведение векторов в декартовом базисе.
- •34)Векторное уравнение плоскости.
- •36)Уравнение плоскости в «отрезках на осях».Геометрический смысл коэффицентов.
- •38)Условие совпадения 2-х плоскостей.
- •48)Угол между прямыми на плоскости.
- •50)Условие совпадения двух прямых в пространстве.
- •52)Условие скрещивающихся прямых в пространстве.
- •54)Условие параллельности прямой и плоскости.
- •56)Условие ортогональности прямой и плоскости.
- •Раздел3.Алгебра.
- •58)Матрица.Виды матриц.
- •60)Сложение матриц.Свойства операции сложения матриц.
- •62)Операция умножения матриц.Правило умножения матриц.
- •64)Свойства определителя матрицы.
- •66)Минор порядка k.Определение.
- •68)Условие существования и единственности обратной матрицы.
- •72)Ранг матрицы. Определение.
- •74)Системы линейных алгебраических уравнений. Общие понятия.
- •76)Теорема Кронекера-Капелли.
- •78)Каноническое уравнение окружности.
- •80)Каноническое уравнение параболы. Геометрический смысл коэффициентов.
- •82)Формулировка основной теоремы алгебры.
- •Раздел 4.Комплексные числа.
- •92)Операция умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.
- •94)Операция возведения в степень комплексного числа в тригонометрической форме.
- •96)Формула Эйлера.
- •98)Операция умножения комплексных чисел в показательной форме.
- •100)Операция возведения в степень комплексного числа в показательной форме.
Раздел 4.Комплексные числа.
84)Алгебраическая форма комплексного числа.
Запись комплексного числа Z в виде x+iy,x,y принадлежат R называется алгебраической формой комплексного числа.
Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что
i^2=-1.
86)Операция сложения комплексных чисел в алгебраической форме.
Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов; учитывая при этом, что i^2=-1;i^3=-I;i^4=i.
Суммf комплексных чисел
Правило сложения. При сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части соответственно.
88)Комплексно сопряженные числа. Изображение на комплексной плоскости.
Если комплексное число z=x+iy, то число z= x-iy называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также z* ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.
90)Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа.
юбое комплексное число а + bi можно представить в виде:
а + bi = r (cos φ + i sin φ), (1)
где r = √a2 + b2 , а угол φ определяется из условия:
Такая форма записи комплексных чисел называется тригонометрической.
Число r в формуле (1) называется модулем, а угол φ — аргументом, комплексного числа а + bi .
Если комплексное число а + bi не равно нулю, то модуль его положителен; если же а + bi = 0, то а = b = 0 и тогда r = 0.
Модуль любого комплексного числа определен однозначно.
Если комплексное число а + bi не равно нулю, то аргумент его определяется формулами (2) однозначно с точностью до угла, кратного 2π. Если же а + bi = 0, то а = b = 0. В этом случае r = 0. Из формулы (1) легко понять, что в качестве аргумента φ в данном случае можно выбрать любой угол: ведь при любом φ
0 • (cos φ + i sin φ) = 0.
Поэтому аргумент нуля не определен.
Модуль комплексного числа r иногда обозначают | z |, а аргумент arg z. Рассмотрим несколько примеров на представление комплексных чисел в тригонометрической форме.
92)Операция умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются
94)Операция возведения в степень комплексного числа в тригонометрической форме.
В частности, имеет место формула Муавра:
(cosj +sinj )n=cos nj +sin nj .
Если n – целое положительное число, то извлечение корня n-й степени из комплексного числа z=r(cosj+isinj ) осуществляется по формулам:
Заметим, что если положить
(это соотношение называют формулой Эйлера), то приходим к показательной форме записи комплексного числа
z=reij .
Как легко проверить, для eij выполняются правила операций со степенями, и тогда формулы умножения, возведения в натуральную степень и извлечения корня приобретают вид:
n – целое;
– целое положительное число, k=0,1,..., n–1.