- •Раздел 1.Векторная алгебра.
- •2)Определение линейной зависимости векторов.
- •4)Теоремы о линейной зависимости векторов.
- •6)Декартова система координат.
- •8)Геометрический смысл координат вектора.
- •10)Геометрический смысл линейной зависимости 3-х векторов.
- •12)Скалярное произведение векторов. Определение.
- •14)Вычисление угла между векторами.
- •28)Задача о вычислении объема пирамиды с помощью смешанного произведения.
- •30)Условие компланарности векторов.
- •Раздел2.Аналитическая геометрия.
- •32)Смешанное произведение векторов в декартовом базисе.
- •34)Векторное уравнение плоскости.
- •36)Уравнение плоскости в «отрезках на осях».Геометрический смысл коэффицентов.
- •38)Условие совпадения 2-х плоскостей.
- •48)Угол между прямыми на плоскости.
- •50)Условие совпадения двух прямых в пространстве.
- •52)Условие скрещивающихся прямых в пространстве.
- •54)Условие параллельности прямой и плоскости.
- •56)Условие ортогональности прямой и плоскости.
- •Раздел3.Алгебра.
- •58)Матрица.Виды матриц.
- •60)Сложение матриц.Свойства операции сложения матриц.
- •62)Операция умножения матриц.Правило умножения матриц.
- •64)Свойства определителя матрицы.
- •66)Минор порядка k.Определение.
- •68)Условие существования и единственности обратной матрицы.
- •72)Ранг матрицы. Определение.
- •74)Системы линейных алгебраических уравнений. Общие понятия.
- •76)Теорема Кронекера-Капелли.
- •78)Каноническое уравнение окружности.
- •80)Каноническое уравнение параболы. Геометрический смысл коэффициентов.
- •82)Формулировка основной теоремы алгебры.
- •Раздел 4.Комплексные числа.
- •92)Операция умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.
- •94)Операция возведения в степень комплексного числа в тригонометрической форме.
- •96)Формула Эйлера.
- •98)Операция умножения комплексных чисел в показательной форме.
- •100)Операция возведения в степень комплексного числа в показательной форме.
Раздел3.Алгебра.
58)Матрица.Виды матриц.
Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Виды матриц: единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.
60)Сложение матриц.Свойства операции сложения матриц.
Операция сложения определена ТОЛЬКО ДЛЯ МАТРИЦ ОДНОГО ПОРЯДКА. Другими словами, нельзя найти сумму матриц разной размерности и вообще нельзя говорить о сложении матриц разной размерности. Также нельзя говорить о сумме матрицы и числа или о сумме матрицы и какого-нибудь другого элемента.
Свойства операции сложения матриц.
Для матриц А, В и С одного порядка характерно свойство ассоциативности сложения А + (В + С) = (А + В) + С.
Для матриц данного порядка существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевая матрица. То есть, справедливо свойство А + О = А.
Для ненулевой матрицы А данного порядка существует матрица ( – А ), их суммой является нулевая матрица: А + ( - А ) = О.
Для матриц А и В данного порядка справедливо свойство коммутативности сложения А + В = В + А.
62)Операция умножения матриц.Правило умножения матриц.
Операция умножения двух матриц А и В определена, когда ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ А РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ В. Произведением матрицы А порядка p*n на матрицу В порядка n*q является такая матрица С порядка p*q каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В.
64)Свойства определителя матрицы.
Свойство № 1:
Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждую строку столбцом с тем же номером, и наоборот (Транспонирование).
|А| = |А|Т. Следствие:Столбцы и строки определителя матрицы равноправны, следовательно, свойства присущие строкам выполняются и для столбцов.
Свойство № 2:
При перестановке 2-х строк или столбцов определитель матрицы изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину.
Свойство № 3:
Определитель матрицы, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
Свойство № 4:
Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя матрицы можно вынести за знак определителя.
Свойство № 5:
Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя матрицы равны нулю, то сам определитель матрицы равен нулю.
Свойство № 6:
Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель матрицы можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле:
Свойство № 7:
Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель матрицы не изменит своей величины.