Тема 10. Аффинные преобразования плоскости
Типовые задачи с решениями
Задача 1.1. Аффинное
преобразование плоскости задано тремя
парами соответственных точек
и
,
и
,
и
(рис. 24). Построить образ точки
.
Решение.
Пусть
– образ точки
,
.
Проводим прямую
и строим точку
так, чтобы (
.
.
Проводим прямую
и строим точку
так, чтобы
.
– образ точки в данном аффинном преобразовании.
Задача 1.2.
Найти аналитическое выражение аффинного
преобразования
,
переводящего репер
в репер
,
если
,
,
в системе координат
,
,
.
Определить род аффинного преобразования
.
Решение. Аналитическое выражение аффинного преобразования имеет вид:
Тогда
,
следовательно,
– аффинное преобразование первого
рода.
Задача 1.3.
Построить образ отрезка
в родстве
,
заданном осью
и парой соответственных точек
.
Решение.
Построим образы
и
концов отрезка
.
а) С одной стороны,
точка
принадлежит прямой
,
проходящей через точку
и параллельной
(по свойству
родства) (рис. 25).
С другой стороны,
если
,
то точка
принадлежит прямой
(по свойству
родства).
Следовательно,
.
б) Аналогично строится образ точки . Опишите это построение самостоятельно (см. рис. 25).
Итак,
.
2. Задачи для решения на практическом занятии
2.1. Будут ли два любых параллелограмма аффинно-эквивалентными и почему?
2.2.
Аффинное преобразование плоскости
задано тремя парами соответственных
точек
и
,
и
,
и
.
Построить образ: а) данной точки
;
б) данной прямой
(рис. 26).
Рис. 26
2.3. Можно ли аффинным преобразованием перевести произвольный четырехугольник в четырехугольник, у которого диагонали перпендикулярны и равны? Ответ обосновать.
2.4. Дано аналитическое выражение преобразования плоскости:
а) Доказать, что – аффинное преобразование;
б) Определить род преобразования ;
в) Найти координаты
точки
,
если
;
г) Найти аналитическое
выражение преобразования
.
2
.5.
Построить образ прямой
в родстве
,
заданным осью
и парой соответственных точек
(рис. 27).
2.6.
Родство
задано осью
и парой соответственных точек
.
Построить образ
и прообраз
данной точки
,
если
.
2.7.
Родство
задано осью
и парой соответственных точек
.
Построить точки
и
так, чтобы
и
,
где
и
– данные прямые.
3. Задачи для самостоятельного решения
3.1.
Построить образ и прообраз точки
при перспективно-аффинном преобразовании
,
заданном осью
и парой соответственных точек
,
если:
а) – косое сжатие;
б) – косая симметрия;
в) – сжатие к прямой ;
г) – сдвиг.
В каждом из заданий а) – г) рассмотреть различные случаи расположения точек , и относительно прямой .
3.2. Аффинное преобразование плоскости задано формулами:
а) Определить род преобразования ;
б) Найти формулы обратного преобразования ;
в) Найти уравнение
образа
и прообраза
прямой
.
3.3.
Дана ось
родства и две пары соответственных
прямых
и
.
Построить образ и прообраз данной точки
.