1. Типовые задачи с решениями
Задача 1.1.
Построить образ треугольника
при гомотетии с центром
и коэффициентом
.
Решение.
Для построения образа
треугольника
следует воспользоваться определением
гомотетии. При гомотетии
точка
перейдет в такую точку
,
что
;
точка
− в такую точку
,
что
;
а точка − в такую точку , что
.
Построим образ точки .
Так как
,
то точка
лежит между точками
и
.
Так как
,
то отрезок
составляет
отрезка
.
Учитывая все эти выводы, строим точку
(рис. 22).
Проводя аналогичные рассуждения для точек и , строим эти точки (рис. 22).
.
Задача 1.2.
Найти координаты образа
и прообраза
точки
в гомотетии с центром
и коэффициентом
.
Решение. Воспользуемся аналитическим выражением гомотетии:
Чтобы найти
координаты
и
образа
точки
,
надо положить
.
Тогда
.
Чтобы найти
координаты
прообраза
точки
(которая для
является образом), можно записать формулы
данной гомотетии в виде:
Полагая
,
находим
и
:
.
Ответ:
.
Задача 1.3.
Через точку
внешнего касания двух окружностей
и
неравных радиусов проведены две прямые
и
,
,
.
Доказать, что четырехугольник
есть трапеция.
Р
ешение.
Чтобы доказать, что
− трапеция, достаточно доказать, что
и
(так как если бы
,
то четырехугольник
был бы параллелограммом) (рис. 23).
Так как
,
то удобно воспользоваться гомотетией.
Рассмотрим гомотетию
с центром в точке
и коэффициентом
.
Так как
,
то
,
а так как отношение радиусов окружностей
и
равно
,
то
.
Так как
,
то
и
(по свойству гомотетии).
,
.
Тогда
.
Отсюда и из того, что
,
следует, что
.
Аналогично
доказывается, что
(предлагаем читателю проделать это
самостоятельно).
Таким образом,
.
Так как
,
то
(по свойству гомотетии).
Так как
,т.е.
,
то
(данная гомотетия не является движением).
Следовательно, − трапеция.
2. Задачи для решения на практическом занятии
2.1.
Построить образ луча
при гомотетии с центром в точке
,
не лежащей на прямой
,
и коэффициентом
.
2.2.
Построить образы окружности
,
где
,
при гомотетиях
и
,
если
.
2.3.
Найти уравнения образа
и прообраза
прямой
в гомотетии с центром в начале координат
и коэффициентом
,
если: а)
;
б)
.
2.4.
Даны две прямые
и
.
Найти координаты точек
и
таких, что
,
и
.
2.5. Даны
точки
и
.
Найти центр
гомотетии
,
переводящей
в
.
2.6.
Через точку
внешнего касания двух окружностей
и
неравных радиусов проведены две прямые
и
,
,
,
,
,
- середина отрезка
,
– середина отрезка
.
Доказать, что
и точки
,
и
лежат
на одной прямой.
2.7.
– медиана треугольника
,
прямая
параллельна
,
,
.
Доказать, что точка пересечения отрезков
и
является серединой
.
3. Задачи для самостоятельного решения
3.1.
Построить образ угла
в гомотетии
(центр гомотетии
не лежит на сторонах угла), если: а)
;
б)
.
3.2.
Даны точки
и
.
Найти центр
гомотетии
,
переводящей
в
.
3.3.
Найти координаты образа и прообраза
точки
при
гомотетии с центром
и коэффициентом
.
3.4.
,
и
– середины сторон
,
и
треугольника
соответственно. Доказать, что треугольники
и
гомотетичны. Где расположен центр этой
гомотетии и чему равен ее коэффициент?
3.5. Две окружности неравных радиусов имеют только одну общую точку. Через нее проведена произвольная секущая. Доказать, что касательные в точках пересечения этой секущей с каждой из окружностей параллельны. Рассмотреть два случая, сделав два чертежа.