§5. Моделирование в процессе решения текстовых задач

Для решения многих научных и практических задач широко используется метод моделирования. Реальные объекты или процессы иногда бывают настолько сложны и многогранны, что их изучение невозможно без построения и исследования модели, отображающей лишь какую-то сторону этого процесса или объекта и потому более простую, чем эта реальность. Например, в медицине многие лекарственные препараты, разрабатываемые для лечения людей, первоначально испытывают на животных, которые в этом случае и выступают в качестве модели человека.

Под моделью (от лат. modelus – мера) понимают мысленно представимую или материально реализованную систему, которая, отражая и воспроизводя объект исследования, способна замещать его при определенных условиях так, что изучение ее дает новую информацию об этом объекте.

Модель в самом широком смысле – это любой мысленный или знакомый образ моделирующего объекта (оригинала). В качестве модели могут выступать изображения, описания, схемы, чертежи, графики, уравнения, планы, карты, копии оригинала (уменьшенные или увеличенные), компьютерные программы и т. п. При этом следует помнить, что модель всегда является лишь отображением оригинала, она в каком-либо отношении должна быть не только удобна для изучения свойств исследуемого объекта, но и позволяла бы перенести полученные при ее изучении знания на исходный объект.

Обычно модель строится с таким расчетом, чтобы охватить только те свойства оригинала, которые существенны в данной ситуации и требуют изучения.

Так, например, для изучения поведения проектируемого caмолета в воздухе строят его модель, уменьшенную во много раз и помещают ее в аэродинамическую трубу. Затем по поведению этой модели в различных воздушных потоках, создаваемых в трубе, судят о том, как будет вести себя в полете настоящий самолет. Многие детские игрушки, представляющие собой модели реальных объектов (автомобилей, поездов, животных и т.п.), позволяют ребенку познавать определенные свойства окружающих его предметов и явлений.

Моделирование - это процесс построения моделей, а также

изучения на них соответствующих явлений, процессов, систем

объектов (оригиналов). Он заключается в том, что для исследования какого-либо явления или объекта выбирается или строится

другой объект (модель), в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объем. Моделирование применяется в тех случаях, когда по каким-либо причинам затруднительно или невозможно изучить оригинал в естественных условиях, когда необходимо облегчить процесс исследования того или иного объекта. Модель всегда обладает только некоторыми, существенными в данных условиях, свойствами моделируемого объекта.

При решении любой текстовой задачи неотъемлемой частью этого решения является построение модели задачи. Исследование этой модели служит средством для получения ответа на требование задачи. Как правило, это бывает математическая модель, под которой понимают описание задачи на языке математических понятий, формул и отношений. В ходе решения задачи выбранным методом строится «своя» математическая модель: запись решений по действиям с объяснением или выражение, если задача решается арифметическим методом; уравнение или система уравнений и неравенств, если задача решается алгебраическим метода (в этом случае математическую модель называют алгебраической моделью задачи); диаграмма или график, если она решается геометрическим методом, и т.д.

Пример 1.33. Во время весеннего паводка на трех островках разместились 63 зайца, причем на втором островке зайцев было в 2 раза больше, чем на первом, и в 3 раза меньше, чем на третьем. Сколько зайцев разместилось на каждом островке?

Математической моделью задачи является выражение: 63: (1 + 1 • 2 + 2 • 3).

Пример 1.34. Масса двух синих шаров и одного зеленого равна массе красного шара. Два красных и один зеленый весят столько же, сколько весят пять синих шаров. Красный шар и синий шар вместе весят 5 кг. Определите массу каждого шара.

Математической моделью задачи является система уравнений:

Пример 1.35. На соревнованиях по стрельбе предлагается сделать 10 выстрелов. За каждое попадание в цель участнику в его актив добавляется 12 очков, а за каждый промах — списывается 8 очков. Сколько попаданий в цель было у спортсмена, который при окончательном подсчете получил 60 очков?

Математической моделью задачи является график

функции, выражающей зависимость числа полученных

очков от числа попаданий (рис. 1.7). В данном случае рис. 1.7

аргумент (число точных выстрелов) принимает только целые

значения (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10).

В процессе решения задачи выделяют три этапа математического моделирования.

I. Построение математической модели: анализ задачи и перевод условия задачи на математический язык, т. е. выделение исходных данных и искомых величин, описание связей между ними.

Решение задачи в рамках выбранной математической модели: нахождение значения выражения, выполнение действий,

решение уравнений и неравенств.

Интерпретация результатов: перевод полученных решений

на естественный язык, получение значений искомых величин.

Пример 1.36. С одного склада, на котором хранится 38 т зерна, каждый день вывозят 2 т зерна. На второй склад, на котором хранится 8 т зерна, каждый день привозят 3 т зерна. Через сколько дней количество зерна на обоих складах будет одинаково?

I. Построение математической модели.

Обозначим через х число дней, через которое количество зерна Ш обоих складах будет одинаково. Тогда с первого склада за это время вывезут 2х т зерна, а на второй склад за это время привезут Зх т зерна. Так как на обоих складах зерна стало поровну, то можно записать уравнение

38 - 2х = 8 + Зх.

Полученное уравнение — математическая модель данной задачи.

II. Решение задачи в рамках выбранной математической модели.

2х + Зх = 38 - 8; 5х = 30; х = 6.

III. Интерпретация результатов.

Используем полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи:

через 6 дней количество зерна на обоих складах будет одинаково.

Ответ: через 6 дней.

Если задача решается арифметическим методом и решение запи-

сывается по действиям, то невозможно четко провести границу

между первым (запись решения по действиям) и вторым (выпол-

нение действий) этапами. |

Первый этап математического моделирования, связанный с выявлением зависимостей между искомыми и данными, а также данных между собой, является наиболее сложным и часто вызывает затруднения. Для облегчения процесса решения задачи и скорейшего нахождения пути решения сначала от словесной модели ситуации, описанной в задаче, переходят к вспомогательной (делают рисунки, строят схемы, составляют таблицы, краткую запись условия и т.п.), а уже затем — к математической модели.

При построении вспомогательных моделей задач происходит

углубленный анализ задачи, и само построение вспомогатель-

ных моделей выступает в качестве эффективного средства такого

анализа. Любая вспомогательная модель задачи должна: 1) стро-

иться на основании анализа текста задачи и максимально при-

ближать абстрактные понятия к реальности; 2) нести информа-

цию лишь о существенных в данной ситуации признаках объек-

тов задачи; 3) давать возможность непосредственно обнаружи-

вать зависимости между величинами, о которых идет речь в зада-

че, и допускать практические преобразования. В качестве вспо-

могательных моделей могут выступать схематизированные и зна-

ковые модели.

Схематизированные модели подразделяются на вещественные (предметные) и графические. Вещественные модели обеспечивают физическое действие с предметами — палочками, пуговицами, полосками бумаги и т.п. К этому виду моделей относят и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче.

Графическими моделями являются рисунок, условный рисунок, чертеж, схематичный чертеж (схема).

Пример 1.37. У Оли 7 тетрадей, а у Сережи на 2 тетради меньше. Сколько тетрадей у Сережи?

В этом случае рисунок в качестве графической модели показан на рисунке 1.19 а, условный рисунок – на рисунке 1.19 б, чертеж – на рисунке 1.19 в, схематический чертеж – на рисунке 1.19 г.

К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, относят краткую запись задачи, таблицу.

Пример 1.38. Мальчик купил 7 открыток, а девочка 11 таких же открыток. Девочка заплатила на 12 р. больше мальчика. Сколько заплатила; открытки девочка и сколько мальчик?

К этой задаче можно построить вспомогательную модель в виде таблицы

(рис. 1. 9).

Количество

Цена

Стоимость

м. Д.

7

11

Одинаковая

?

? на 12 р. больше, чем заплатил мальчик

Рис. 1. 9.

К знаковым моделям, выполненным на математическом языке (они же являются математическими моделями), относят запись решения задачи по действиям, запись выражения, составление уравнений или систем уравнений и неравенств.

Не любая краткая запись, рисунок или чертеж, выполненные для данной задачи, являются ее моделями. Вспомогательные модели текстовых задач должны отражать все ее объекты, все отношения между ними, указывать требования. Эти модели строятся в ходе анализа задачи.

В заключение отметим, что по условию одной и той же задачи можно составить несколько вспомогательных моделей, каждая из которых позволяет найти свой способ решения.

Пример 1.39. Во время первой семидневной экспедиции на Марс экипаж космического корабля готовил 3 капсулы с пробами грунта за один день. Во время второй семидневной экспедиции, имея более совершенное оборудование, экипаж стал готовить 5 капсул за один день. На сколько больше капсул с грунтом заготовлено во время второй экспедиции, чем во время первой?

Решение.

I. Пользуясь вспомогательной моделью, представленной на рисунке , получаем следующее арифметическое решение:

1) 5 – 3 = 2 (капс.) – на столько больше капсул ежегодно заготавливалось во время второй экспедиции, чем во время первой;

2) 2 · 7 = 14 (капс.) - на столько больше капсул заготавливалось во время второй экспедиции, чем во время первой.

II. Вспомогательная модель в виде чертежа показана на рисунке .

Арифметическое решение может быть таким:

1) 3 · 7 = 21 (капс.) - заготовлено во время первой экспедиции;

2) 5 · 7 = 35 (капс.) - заготовлено во время второй экспедиции;

3) 35 – 21 = 14 (капс.) – на столько больше капсул заготовлено во время второй экспедиции, чем во время первой.