§4. Этапы решения задачи и приемы их выполнения

Деятельность по решению задачи включает следующие этапы независимо от выбранного метода решения:

1. Анализ содержания задачи.

2. Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения.

3. Осуществление плана решения задачи.

4. Проверка решения задачи.

Рассмотрим более подробно каждый этап решения задачи.

1. Анализ содержания задачи. Основное назначение этапа – осмыслить ситуацию, отраженную в задаче; выделить условия и требования, назвать данные и искомые, выделить величины и зависимости между ними (явные и неявные). На этом этапе решения задачи можно использовать такие приемы:

а) представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче;

б) постановка специальных вопросов и поиск ответов на них;

в) «переформулировка» задачи;

г) моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных или графических моделей и др.

Первый прием – представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче, - выполняется фактически при чтении или слушании задачи. Вместе с тем мысленное воспроизведение всех объектов задачи и связей между ними может проводиться и позже. Цель такого воспроизведения – выявление основных количественных и качественных характеристик ситуации, представленной в задаче.

Второй прием – постановка специальных вопросов и поиск ответов на них – включает следующий «стандартный» набор вопросов, ответы на которые позволяют детально разобраться в содержании задачи:

1. О чем говорится в задаче?

2. Что известно в задаче?

3. Что требуется найти в задаче?

4. Что в задаче неизвестно? и др.

Пример 1.20. По линии водопровода уложены 23 трубы двух размеров: 470 см и 825 см. Участок, выложенный более короткими трубами, длиннее на 5 630 см. Сколько уложено тех и других труб?

Проведем анализ содержания задачи, используя прием постановки вопросов и поиска ответов на них:

1. О чем говорится в задаче?

В задаче говорится об укладке труб по линии водопровода.

2. Что известно в задаче?

В задаче известно: по линии водопровода уложены 23 трубы; использовались трубы двух размеров; длина короткой трубы – 470 см; длина длинной трубы – 825 см; участок, выложенный более короткими трубами, больше на 5 630 см.

3. Что требуется найти в задаче?

В задаче требуется найти, сколько уложено длинных и коротких труб.

Третий прием – переформулировка текста задачи – состоит в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим описанием, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Вся лишняя, несущественная информация при этом отбрасывается, текст задачи преобразуется в форму, облегчающую поиск пути решения. В ходе переформулировки выделяются основные ситуации, о которых идет речь в задаче, при необходимости строится вспомогательная модель задачи: краткая запись условия, таблица, рисунок, чертеж, диаграмма и т.п.

Моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных моделей или графических моделей является еще одним, четвертым, приемом анализа задачи.

Рассмотрим примеры вспомогательных моделей, которые могут быть представлены в виде схематического чертежа, чертежа, таблицы и краткой записи.

Пример 1.21. В первом бидоне краски в 2 раза больше, чем во втором. Если из первого бидона взять 2 л краски, а во второй добавить 5 л краски, то в обоих бидонах краски станет поровну. Сколько краски было в каждом бидоне первоначально?

Вспомогательная модель задачи (в виде схематического чертежа) показана на рисунке 1.3.

I

II

Рис. 1.3.

2. Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения. Назначение этапа – завершить установление связей между данными и искомыми величинами и указать последовательность использования этих связей.

Проведя анализ задачи, не всегда просто найти путь ее решения. Поиск пути решения задачи является довольно трудным процессом, для которого нет точного предписания. Укажем некоторые приемы, помогающие осуществлять этот этап.

Одним из приемов поиска пути решения задачи является анализ задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Поиск пути решения задачи можно осуществлять от вопроса задачи к данным (аналитический путь) или от данных к вопросу (синтетический путь).

В первом случае (аналитический путь) на основе анализа задачи необходимо уточнить, что требуется найти в задаче и определить, что достаточно знать для ответа на этот вопрос. Для этого следует выяснить, какие из нужных данных есть в условии задачи. Если они (или одно из них) отсутствуют, надо определить, что нужно знать, чтобы найти недостающие данные (или одно недостающее данное), и т.д., пока для определения очередного неизвестного оба данных будут известны.

Поиск пути решения заканчивается составлением плана решения задачи. Под что узнаем, выполнив то или иное действие, и указание по порядку выполнения арифметических действий. Приведем пример поиска решения задачи аналитическим путем.

Пример 1.22. В трех школах 1 072 ученика, во второй на 16 учеников больше, чем в третьей, и на 14 учеников меньше, чем в первой. Сколько учеников в каждой школе?

Краткая запись задачи показана на рисунке 1.4 .

I

II

III

Рис. 1.4

Поиск пути решения. Чтобы определить число учащихся в каждой школе, надо сначала узнать число учащихся в одной из школ и разность между этим числом и числом учащихся других школ.

В условии дана разность числа учащихся второй и третьей школ и разность числа учащихся первой и второй школ. Поэтому в первую очередь удобнее определять число учащихся второй школы; для этого приравняем число учащихся первой и третьей школ к числу учащихся второй школы. Чтобы узнать, сколько было бы учащихся в трех школах, если бы в каждой школе было столько, сколько во второй, надо знать настоящее число учащихся трех школ (дано в условии) и на сколько учеников оно увеличится или уменьшится при предполагаемом изменении числа учащихся первой и третьей школ. Последнее число определим, зная, что число учащихся первой школы надо уменьшить на 14 учеников (чтобы уравнять со второй школой), а число учащихся третьей школы увеличить на 16.

План решения.

1. На сколько учеников увеличилось бы общее число учащихся трех школ, если бы в каждой школе число учеников было бы таким же, как во второй?

2. Сколько учеников было бы в трех школах, если бы число учеников в каждой школе было бы таким же, как во второй школе?

3. Сколько учеников во второй школе?

4. Сколько учеников в первой школе?

5. Сколько учеников в третьей школе?

Во втором случае (синтетический путь) решающий выделяет в тексте задачи два каких-либо данных и на основе связи между ними, установленной при анализе, определяет, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого действия. Затем, считая полученное число данным, решающий опять выделяет два взаимосвязанных данных и определяет, какое неизвестное может быть найдено по ним и с помощью какого действия, и т.д., пока выполнение очередного действия не приведет к определению искомого.

Пример 1.23. У трех братьев была некоторая сумма денег: у первого и второго вместе 600 р., у второго и третьего вместе 500 р., у третьего и первого 700 р. Сколько денег было у каждого брата в отдельности?

Решение. Краткая запись задачи показана на рисунке 1.5.

I и II - 600 р.

II и III - 500 р.

I и III - 700 р.

Сколько денег было у каждого брата в отдельности?

Рис.1.5

Поиск пути решения. Зная, что у первого и второго братьев вместе 600 р, а у второго и третьего вместе 500 р., можем найти, на сколько денег у первого брата больше, чем у третьего.

По сумме и разности денег первого и третьего узнаем, чему равно удвоенное количество денег третьего брата, а затем, сколько денег имеет каждый из них. После этого можно найти, сколько денег у второго.

План решения.

1. На сколько рублей у первого брата больше, чем у третьего?

2. Чему равно удвоенное количество денег третьего брата?

3. Сколько денег имел третий брат?

4. Сколько денег имел первый брат?

5. Сколько денег имел второй брат?

При решении задач анализ и синтез в рассуждениях, как правило, переплетаются. Осуществляя поиск решения задачи синтетически, анализ часто производят «про себя». В то же время, каким бы приемом мы ни вели поиск пути решения составной задачи, ее предварительный анализ (хотя бы подсознательный) неизбежен.

Еще одним из приемов поиска пути решения задачи является разбиение задачи на смысловые части. Сущность этой работы заключается в том, чтобы научиться различать в данной задаче отдельные, менее сложные задачи, последовательное решение которых позволяет получить ответ на требование данной.

3. Осуществление плана решения задачи. Название этапа найти ответ на требование задачи. Немаловажную роль при решении задач играет запись найденного решения. Прежде всего остановимся на используемых сокращениях при записи действий с именованными числами. При записи именованных чисел, выраженных в метрических мерах, используются наименования, принятые в международной системе единиц СИ, например, «м» - метр, «км/ч» - километров в час. Названия таких мер, как квадратный метр, кубический метр, записываются «м²», «м³». Все названия метрических мер, употребляемых без чисел, записываются полностью словами, например: «сколько гектаров земли…», а не «сколько га земли…». Принято названия метрических мер выписывать полностью и в случае буквенной символики, например, «а литров», «b метров» и т.д. Однако часто этого не делают, а используют более удобную запись «х км/ч», «у м³» и т.д. Что касается других наименований, то здесь нет общеустановленных условных обозначений. Вместе с тем в последнее время, как правило, вместо «руб.» принято писать «р.», вместо «коп.» - «к.» и др.

Арифметический метод. Осуществление плана решения задачи в этом случае может выполняться устно или письменно. При устном решении называются арифметические действия и даются соответствующие пояснения к ним. При письменном решении используют три формы записи решения: 1) запись решения в виде отдельных действий (так называемое решение по действиям); 2) запись решения в виде выражения; 3) запись решения с объяснением.

Рассмотрим примеры.

1. Запись решения в виде отдельных действий. Запись решения в виде отдельных действий может осуществляться в трех вариантах.

А. Без записи пояснений

Пример 1.24. В двух поселках было 24 600 жителей. Когда население первого поселка увеличилось в 1 раза, а население второго поселка уменьшилось на своего числа, в первом поселке оказалось в 2 раза больше жителей, чем во втором. Определите первоначальное число жителей каждого поселка.

Решение. Примем за единицу первоначальное число жителей первого поселка:

1) 1· 1 = ; 4) 1 + ;

2) 5) 24 600 : =14 350;

3) 6) 14 350 · =10250.

Ответ: в первом поселке – 14 350 жителей, во втором – 10 250 жителей.

Б. С записью пояснений

Пример 1.25. С двух участков земли общей площадью 8,5 га собрано всего 58 ц льноволокна. С каждого гектара первого участка собрано в среднем ц, с каждого гектара второго участка – 5,6 ц. Определите площадь каждого решения.

Решение.

1) (ц) – предполагаемый сбор льноволокна;

2) (ц) – снижение сбора со всей площади за счет 2-го участка;

3) (ц) – на столько центнеров каждый гектар 2-го участка снижал сбор;

4) (га) - площадь второго участка;

5) 8,5 – 5 = 3,5 (га) – площадь первого участка.

Ответ: 3,5 га; 5 га.

В. С записью пояснений в вопросительной форме

Пример 1.26. Переднее колесо экипажа на некотором расстоянии сделало на 120 оборотов больше заднего. Найдите это расстояние, если окружности колес экипажа соответственно равны 2 м и 3 м?

Решение. Наименьшее расстояние, которое пройдет экипаж, а колеса сделают целое число оборотов, равно 6 м.

Далее рассуждаем так.

1. Сколько оборотов сделает переднее колесо на расстоянии 6 м?

6 : 2 = 3 (об.)

2. Сколько оборотов сделает заднее колесо на расстоянии 6 м?

6 : 3 = 2 (об.)

3. На сколько больше оборотов сделает переднее колесо, чем заднее, на расстоянии 6 м?

3 – 2 = 1 (об.)

4. Во сколько раз больше оборотов сделает переднее колесо, чем заднее, на искомом расстоянии?

120 : 1 = 120 (раз).

5. Чему равно расстояние?

6 · 120 = 720 (м).

Ответ: 720 м.

2. Запись решения в виде выражения. В этом случае сначала записываются отдельные шаги в соответствии с планом, затем составляется выражение и находится его значение.

Пример 1.27. Набор двух томов сочинения, содержащих каждый по 340 страниц, по 36 строк на странице и по 45 букв в строке, был поручен двум наборщикам – каждому по одному тому. Первый набирал по 900 букв в час и закончил работу на 153 ч раньше своего напарника. Сколько букв в час набирал второй наборщик?

Решение.

45 · 36 (б.) – число букв на странице;

45 · 36 · 340 (б.) – число букв в книге;

(45 · 36 · 340) : 900 (ч) – работал первый наборщик;

((45 · 36 · 340) : 900 + 153) (ч) – работал второй наборщик;

(45 · 36 · 340) : ((45 · 36 · 340) : 900 + 153) = 720 (б) – набирал в час второй наборщик;

Ответ: второй наборщик набирал 720 букв в час.

3. Запись решения с объяснением. Эта запись решения встречается реже, чем две предыдущие.

Пример 1.28. Найти шестизначное число по следующим условиям. Число оканчивается цифрой 2. Если эту цифру переставить с последнего места на первое, то получится число втрое меньше искомого.

Решение. По условию число, полученное при перестановке цифр, втрое меньше искомого. Значит, искомое число можно рассматривать как произведение некоторого шестизначного числа, у которого первая цифра 2, на число 3, т.е. (2** ***) · 3 = *** **2.

Искомое шестизначное число оканчивается цифрой 2. Цифра 2 могла получиться только в результате умножения 3 на 4, следовательно, в первом сомножителе цифра единиц равна 4. Так как по условию последнюю цифру 2 искомого числа переставили на первое место, то в искомом числе цифра 4 означает число десятков, т.е. (2** **4) · 3 = *** *42.

В состав 4 (цифры разряда десятков искомого числа) входит число 1, добавленное в число десятков после умножения 4 единиц на 3. поэтому число десятков 4 – 1 = 3. Число 3 могло получиться от умножения на 3 только 1. Отсюда число сотен искомого числа равно 1, т.е. (2** *14) · 3 = *** 142.

В разряде сотен 1 могла получиться лишь от умножения 7 на 3. Значит, число тысяч искомого числа 7, т.е. (2** 714) · 3 = **7 142.

В число тысяч входит число 2, добавленное в число тысяч от умножения семи сотен на 3. Следовательно, от умножения числа тысяч на 3 получается в произведении число, последняя цифра которого 5 (7 – 2 = 5). Число 5 может получиться лишь от умножения 5 на 3, значит, в искомом числе десятков тысяч пять, т.е. (2*5 714) · 3 = *57 142.

В состав 5 входит число 1, добавленное от умножения 3 на 5. Отсюда от умножения только десятков тысяч получилось произведение, оканчивающееся на 4 (5 – 1 = 4). Число 4 могло получиться от умножения на 3 только 8, следовательно, сотен тысяч всего восемь, т.е. 285 714 · 3 = 857 142.

Итак, искомое число 857 142, а получилось оно в результате умножения 285 714 на 3.

Ответ: 857 142.

Алгебраический метод. Осуществление плана решения задачи выполняется письменно. В этом случае описывают выбор неизвестного (неизвестных) и его обозначения; записывают, как выражаются другие величины через неизвестные и заданные числа; а также определяют соотношения, лежащие в основе математической модели задачи. Затем составляется уравнение (система уравнений и неравенств), выполняется его решение, в результате чего находится ответ на требование задачи.

Пример 1.29. Сплавлено два слитка, содержание золота в которых 64 и 84% соответственно. Полученный сплав весит 50 г и содержит 76% золота. Сколько весил каждый из сплавленных слитков?

Решение. Пусть х г весит первый слиток, у г – второй. Тогда золота в первом слитке будет (х · 64%) : 100% = 0,64 х (г), во втором - (у · 84%) : 100% = 0,84 у (г). Количество золота в сплаве (50 · 76%) : 100% = 38 (г). Следовательно, по условию задачи имеем систему уравнений:

.

Умножим почленно первое уравнение системы на 64, а второе на 100.

Тогда система запишется в виде:

Вычитая из второго уравнения первое, получим уравнение 20у = 600, решив которое найдем у = 30. Подставив значение у в первое уравнение, найдем х = 20.

Ответ: первый слиток весил 20 г, второй – 30 г.

Геометрический метод. Осуществление плана решения задачи выполняется письменно. Обычно в этом случае описывают и выполняют построение графика или диаграммы. Затем ответы на требование задачи считываются с чертежа (если используется конструктивный прием) или находятся в результате аналитического решения задачи (если используется графико-вычислительный прием).

Пример 1.30. Имеются два сплава золота и серебра; в одном количество этих металлов находится в отношении 2 : 3, в другом – в отношении 3 : 7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5 : 11?

Решение. Математическую модель задачи представим в виде диаграммы (рис. 1.6). По горизонтали будем откладывать массу сплава (в килограммах), по вертикали – число долей серебра в сплаве.

Рассмотрим вначале доли какого-либо одного металла в сплаве, например, доли серебра. Серебро составляет 3/5 первого сплава, 7/10 второго и 11/16 искомого. Общий знаменатель этих дробей – 80. следовательно, на каждые 80 частей в первом сплаве приходится 48 частей серебра, во втором – 56 частей, в искомом – 55 частей.

Проведем горизонтальный отрезок АВ, изображающий 8 кг (массу искомого сплава). По вертикали для уменьшения размера чертежа наносим на луче АС деления, начиная не с нуля, а с 48 (48 – наименьшее число долей серебра в сплавах).

Соединяем прямолинейным отрезком точки В (8 кг) и С (56 долей серебра) и проводим через точку с отметкой 55 горизонтальную прямую до пересечения с ВС в точке D, а через D – вертикальную прямую до пересечения с АВ в точке Е. Отрезки АЕ и ЕВ указывают ответ: надо взять 1 кг первого сплава (отрезок АЕ) и 7 кг второго сплава (отрезок ЕВ).

Ответ: 1 кг; 7 кг.

Логический метод. Осуществление плана решения задачи может выполняться устно или письменно. Для нахождения ответа на требования задачи строится алгоритм, который может быть представлен в любой форме: словесно, в виде блок-схемы и т.д.

Пример 1.31. Хотят поскорее поджарить три ломтика булки. На сковороде умещается лишь два ломтика, причем на поджаривание одной стороны ломтика затрачивается 1 мин. Как за 3 мин можно поджарить с обеих сторон три ломтика?

Решение. Вначале следует на сковороду положить два ломтика. Через 1 мин один ломтик надо перевернуть, а второй снять и вместо него положить третий ломтик. Через минуту снять первый, перевернуть третий и положить неподжаренной стороной второй. Таким образом, за 3 мин все три ломтика будут поджарены с обеих сторон.

4. Проверка решения задачи. Назначение этапа – установить, правильно ли понята задача, и выяснить, не противоречит ли полученный ответ всем другим условиям задачи. Этот этап является обязательным при решении задач. Следует помнить, что логичные рассуждения на других этапах решения задачи не гарантируют правильности ее решения.

Пример 1.32. На первом складе было 180 т муки, на втором – 203 т. Ежедневно с первого склада вывозят по 8,3 т, со второго – 9,3 т. Через сколько дней на складах муки останется поровну?

Решение.

1) 203 – 180 = 23 (т) – на столько больше было муки на втором складе, чем на первом;

2) 9,3 – 8,3 = 1 (т) – на столько больше ежедневно вывозили муки со второго склада, чем с первого;

3) 23 : 1 = 23 (дн.) – через столько дней муки на складах останется поровну.

Рассуждения при решении данной задачи логичные (они могут использоваться при решении большой группы подобных задач) и на первый взгляд может показаться, что уж в этом-то случае нет нужды проверять полученный ответ. Однако это не так. Число, полученное в результате (23 дня), не соответствует действительности, потому что, если каждый день с первого склада вывозить по 8,3 т муки, то за 23 дня будет вывезено 190,9 т, а на складе их всего лишь 180 т. без проверки можно было бы этого не заметить и получить неверный ответ.

Ответ: при заданных условиях на складах не может остаться муки поровну.

Рассмотренные примеры демонстрируют необходимость осуществления проверки. Проверку решения задачи можно проводить различными способами. Перечислим их.

I. Установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи и данными в условии задачи.

II. Составление и решение задачи, обратной данной.

III. Решение задачи различными способами.

IV. Решение задачи различными методами.

V. Прикидка (грубая проверка).

Остановимся на каждом из них подробнее.

I. Проверка решения задачи способом установления соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными в условии задачи заключается в следующем: числовые значения искомой величины, полученные в ответе на вопросы задачи, вводятся в текст задачи и устанавливается, не возникают ли при этом противоречия, а затем выполняются арифметические действия с числовыми значениями величин согласно их связи между собой, которые заданы в условии задачи. Если при этом получаются числа, данные в условии задачи, то делается заключение о верном ее решении.

II. Проверка решения задачи способом составления и решения задачи, обратной данной, заключается в том, что после решения задачи составляется обратная по отношению к данной задача. Если при ее решении в ответе получится значение величины, которое было задано в условии данной задачи, то можно считать, что она решена правильно.

III. Проверить решение задачи можно, решив ее различными способами. Напомним, что задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей. Получив при решении задачи различными способами один и тот же результат, делают вывод о том, что задача решена верно.

IV. Проверку решения задачи можно выполнить, решив задачу различными методами (арифметическим, алгебраическим, геометрическим и др.). В этом случае, получив один и тот же результат, делают вывод о том, что задача была решена верно.

V. Проверка решения задачи прикидкой правильного ответа. Суть этого способа состоит в установлении границ для искомого числа. Он позволяет грубо оценить правильность решения задачи, и если в результате прикидки мы не выясним, что некоторые значения искомых не удовлетворяют условию задачи, то необходимо провести проверку каким-либо другим способом.

В процессе решения задач необходимо проверять полученный ответ на требование задачи, выбрав наиболее рациональный способ, учитывающий специфику задачи. Например, задачу на встречное движение удобно проверять, решив ее различными способами, а задачу на нахождение неизвестных по двум разностям – способом установления соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и числами, данными в условии задачи.

Следует помнить, что выполняя проверку задачи любым из указанных способов, необходимо выяснить, не противоречит ли полученный ответ всем условиям задачи. На практике это означает, что при решении обратной задачи или при решении задачи другими методами логика рассуждений должна быть отличной от логики рассуждений, применяемой в ходе решения данной задачи. Несоблюдение этого может привести к тому, что ошибочное решение не будет обнаружено.