7.4. Расчет электрических цепей несинусоидального тока с использованием разложения в ряд Фурье

Пусть требуется рассчитать ток в электрической цепи под действием периодической несинусоидальной ЭДС

, (7.10)

где – амплитуда n-й гармоники ЭДС. В линейных электрических цепях токи в ветвях находятся методом наложения (суперпозиций), путем суммирования токов, создаваемых каждым из слагаемых ЭДС (7.10). Для случая цепи, состоящей из последовательного соединения R, L, С элементов (рис. 7.13), имеем

,

г

Рис. 7.13. Последовательный колебательный контур

де – амплитуда n-й гармоники тока,

– полное сопротивление цепи на частоте , .

Сопротивление цепи на постоянном токе равно , поэтому постоянная составляющая тока . При увеличении номера гармоники, т.е. с увеличением частоты , индуктивное сопротивление возрастает , а емкости уменьшаются , поэтому полное сопротивление цепи является функцией частоты . Если при некотором значении n выполняется условие , на частоте возникает резонанс напряжения.

Расчет разветвленной цепи периодического несинусоидального тока ведется для каждой гармоники в символической форме. Полный ток находится суммированием мгновенных значений гармоник тока в ветвях, так как векторы комплексных токов имеют различную частоту вращения.

7.5. Действующее значение и мощность периодического несинусоидального тока

Действующее значение периодических токов (напряжений) определяется выражением

. (7.11)

Для синусоидального тока действующее значение тока вычисляется по формуле

.

В случае периодического несинусоидального тока вычисления по формуле (7.11) с использованием разложения в ряд Фурье дают результат

. (7.12)

Так как – квадрат действующего значения n-й гармоники, (7.12) можно записать в виде

. (7.13)

Таким образом, действующее значение периодического несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадратов действующих значений гармоник, включая постоянную составляющую. Активная мощность периодического несинусоидальго тока также может быть рассчитана с использованием разложения в ряд Фурье. Известно, что активная мощность равна среднему значению мощности за период

. (7.14)

При разложении периодических токов и напряжений в ряд Фурье средняя мощность каждой гармоники рассчитывается по формуле

, (7.15)

где _n – сдвиг фазы между током и напряжением n-й гармоники. Интегрирование по формуле (7.14) с учетом ортогональности гармонических функций дает

. (7.16)

Из (7.16) следует, что активная мощность в цепях периодического несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник и мощности постоянной составляющей. Для несинусоидальных токов также используют такие параметры, как коэффициент формы, коэффициент амплитуды и коэффициент гармоник. Коэффициент формы определяется как отношение действующего значения тока к среднему значению:

. (7.17)

Для синусоидального тока . Коэффициент амплитуды определяется как отношение максимального значения к действующему значению:

. (7.18)

Для синусоидального тока .

Коэффициент гармоник определяется выражением

. (7.19)

Коэффициент гармоник используется для оценки степени соответствия периодического тока синусоидальному току.