12. Определение ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

Минором окаймляющим Н порядка К матрицы А называется всякий минор порядка L больше чем К этой матрицы содержащий минор М.

Определение:

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля его минор порядок которого равен порядку матрицы.

Замечание: Для ненулевой матрицы существует неединственный базисный минор, если в матрице А имеется минор М порядка r отличный от нуля, а все миноры матрицы А окаймляющей минор Ь=0 то ранг матрицы rA=r

13. Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Если при этом ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное ре­шение, если он меньше числа неизвестных, решений -множество.

14. Понятие вектора. Линейные операции над векторами.

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X₁,X₂,...X_n} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X₁,X₂,X₃). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. а+b=b+а

2. (а +b) +с=а + (b +с),

3. λ1 • (λ2 •а) =λ1 •λ2 •а,

4. (λ1 +λ2) •а =λ1 •а +λ2 •а,

5. λ • (а +b) =λ •а+λ •b.

15. Координаты вектора.

На плоскости координаты вектора v относительно данного базиса (a, b) – это такая пара чисел (x; y), что v = xa + yb. Любой вектор имеет однозначно определенные координаты относительно любого базиса.

При сложении векторов складываются их соответственные координаты; при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число. Скалярное произведение векторов с координатами (x; y) и (x'; y') равно сумме произведений соответственных координат: xx' + yy'.

Чтобы вычислить координаты вектора   , зная координаты (x₁; y₁) его начала A и координаты (x₂; y₂) его конца B, нужно из координат конца вычесть координаты начала: (x₂ – x₁; y₂ – y₁).

Все сказанное справедливо и для случая пространства с той разницей, что базис в пространстве состоит из трех векторов, а наборы координат векторов и точек – из трех чисел.

16. .Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.

1. 

2. 

3. 

4. 

17.Выражение скалярного произведения через координаты( перемножаемых векторов)

Теорема: Скалярное произведение двух векторов a=(x₁,y₁,z₁) и вектора b=(x₂,y₂,z₂)

Выражается формулой: (a,b)= x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Длинна вектора

|a|=

Приложение скалярного произведения

cosϕ

Замечание: в координатной форме необходимым и достаточным условием является выполнение условия.

18.Векторное произведение векторов и его свойства.

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

1. Перпендикулярен векторам и .

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на векторах и .

, где

3. Векторы , и образуют правую тройку векторов.

Свойства:

1. 

2. 

3. 

4. 

19. выражение векторного произведения через координаты

3)   (распределительное свойство).

Выражение векторного произведения   через проекции векторов   и   на координатные оси прямоугольной системы координат дается формулой

     (27)

которую можно записать с помощью определителя

     (28)

Проекции векторного произведения на оси прямоугольной системы координат вычисляются по формулам

     (29)

и тогда на основании (4)

     (30)

Механический смысл векторного произведения состоит в следующем: если вектор   - сила, а вектор   есть радиус-вектор точки приложения силы, имеющий свое начало в точке O, то момент силы   относительно точки O   есть вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора   точки приложения силы на силу  , т. е.

20. Смешанное произведение векторов и его свойства.

Смешанное произведение записывают в виде: .

Смысл смешенного произведения: сначала два вектора векторно перемножают, а затем полученный скалярно перемножают с третьим вектором. Смешанное произведение представляет собой число – число. Результат смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами.

Свойства.

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей:

2. Смешанное произведение не изменится при перемене местами векторного и скалярного произведения.

3. Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей.

4. Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Три вектора называются компланарными, если результат смешанного произведения равен нулю.