Гиперболическая регрессия

Уравнение регрессии, будем искать в виде:

y=a+b/x

линеализуется при замене: z=1/x

Тогда y=a+b*z

Где параметры a и b рассчитываем:

b=(Y*z)_ср.-Y_ср.*z_ср./(z²)_ср.-(z_ср.)²

a=Y_ср.* (z²) _ср-(Y*z) _ср*z_ср/(z²)_ср.-(z_ср.)²

Для расчётов используем данные таблицы.

Рассчитаем параметры a и b:

a=(825,44*1,35119Е-06 - 0,001162211*0,959204808)/(1,35119Е-06 - 0,001162211²)=1158,670777

b=(0,959204808-825,44*0,001162211)/( 1,35119Е-06 - 0,001162211²)=-286721,3163

Получим линейное уравнение:Ŷ=1158,6707777-286721,3163*z

Полученный коэффициент регрессии b=-286721,3163 показывает, что при увеличении фактора xна 1 единицу от своего среднего уровня, результативный показатель y уменьшится на 286721,3163 от своего среднего уровня.

Другими словами, при увеличении денежных расходов на душу населения на 1 единицу от своего среднего уровня, потребительские расходы на душу населения уменьшаются на 286721,3163 единиц от своего среднего уровня.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r_x*y=b*σ_x/σ_y=-286721,3163* 2,13712Е-05/15,0574367=-0,406947315

Связь умеренная, обратная.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения x, определим теоретические (расчётные) значения Ŷ_x.

Найдём величину средней ошибки аппроксимации A:

A=1/n*∑A_i=1/n*∑│y- Ŷ │/у*100%=1/25*0.35240728*100%=1,409629122

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 1,409629122%.

Рассчитаем F-критерий: F_факт.=r²*(n-2)/1- r²

F_факт.= (-0,406947315)²*(25-2)/1-(-0,406947315²)=4,564919257

F_табл.=4,24

Полученное значениеF_{фактич.}>F_табл.

Значит, модель считается статистически значимой.

Рассчитаем коэффициент эластичности:

Э=b*z_ср./y_ср.

Э=-286721,3163*0,001162211/825,44=-0,40370079

Полученное значение коэффициента эластичности Э=0,40370079% показывает, что при увеличении фактора xна 1% от своего среднего значения, результативный показатель y увеличится на 0,40370079% от своего среднего значения.

Другими словами при увеличении денежных расходов на душу населения на 1% от своего среднего уровня, потребительские расходы на душу населения увеличиваются на 0,40370079% от своего среднего уровня.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,406947315
R-квадрат	0,165606117
Нормированный R-квадрат	0,129328123
Стандартная ошибка	14,33978659
Наблюдения	25
Дисперсионный анализ
	df		SS	MS		F		Значимость F
Регрессия	1		938,6819709	938,6819709		4,564919257		0,043496854
Остаток	23		4729,478029	205,6294795
Итого	24		5668,16
	Коэффициенты		Стандартная ошибка	t-статистика		P-Значение		Нижние 95%
Y-пересечение	1158,670777		155,9918713	7,427763814		1,49569E-07		835,9770053
Переменная X 1	-286721,3163		134197,193	-2,136567167		0,043496854		-564329,3609

	Апроксимация	Fрасч	Э	r
Линейная	1,409158905	4,590694761	0,404182845	0,407903931
Показательная	294841,9349	4,585448858	0,060133846	0,407709564
Степенная	11399,37482	4,572765852	0,40612123	0,407238956
Гиперболическая	1,409629122	4,564919257	-0,40370079	-0,406947315

По показателям апроксимации показательная и степенная модели отвергаются, т.к. они неадекватны, т.е. А › 12.

Все модели являются статистически значимыми, т.к. Fтабл=4,24 , Fрасч ›Fтабл.

В гиперболической модели наблюдается слабая связь r‹ 0,4.

В линейной модели наблюдается умеренная прямая связь 0,4 ‹ r ‹ 0,75.

Судя по всем показателям линейная модель получается и адекватной А ‹ 12, и статистически значима, и имеет самый наилучший показатель эластичности Э=0,404182845% среди всех моделей.

Таким образом, выбираем среди всех моделей линейную модель, которая имеет вид

y = 491,8113123 + 0,387615819x

Полученный коэффициент регрессии b=0,387615819 показывает, что при увеличении фактора xна 1 единицу от своего среднего уровня, результативный показатель y увеличится на 0,387615819 от своего среднего уровня.

Другими словами, при увеличении денежных расходов на душу населения на 1 единицу от своего среднего уровня, потребительские расходы на душу населения увеличиваются на 0,387615819 единиц от своего среднего уровня.

Полученное значение коэффициента эластичности Э=0,404182845% показывает, что при увеличении фактора xна 1% от своего среднего значения, результативный показатель y увеличится на 0,404182845% от своего среднего значения.

Другими словами при увеличении денежных расходов на душу населения на 1% от своего среднего уровня, потребительские расходы на душу населения увеличиваются на 0,404182845% от своего среднего уровня.

	А	Fрасч.	Э	r
линейная	1,256459931	898,6754501	1,0570998	0,987443895
степенная	6210,244489	936,340616	1,06619405	0,987939876
показательная	10401,92486	852,3096021	0,222638979	0,986774332
гиперболическая	1,634637948	641,0898309	-1,01429604	-0,982530479