Дифференциальные уравнения равновесия

Рассмотрим элемент плиты размерами в плане . Усилия на двух смежных гранях будут мало отличаться друг от друга, т.е. на величину полного дифференциала (Рис. 26). Верхняя поверхность плиты загружена распределенной по поверхности нагрузкой интенсивностью ,

Рисунок 26

Уравнения равновесия выделенного элемента требуют, чтобы , и . Составим первое из условий равновесия:

.

После раскрытия скобок и выполнения преобразований получим

Аналогично получаем второе условие равновесия, которое имеет вид

Сумма проекций на вертикальную ось всех сил, действующих на рассматриваемый элемент, дает

,

или после преобразований

Окончательно записываем вместе все три дифференциальных условия равновесия

(8)

В три дифференциальные уравнения равновесия входят 5 неизвестных функций: погонные изгибающие моменты , , погонные крутящие моменты , погонные поперечные силы и . Задача изгиба плит статически неопределима и требует для своего решения рассмотрения геометрической и физической сторон.

Анализ геометрической стороны задачи. Выражение перемещений и деформаций через прогибы

В силу гипотезы плоского напряженного и деформируемого состояния

, но по формуле Коши , следовательно, функция прогибов не зависит от координаты , т.е. прогибы на всем прямолинейном нормальном к поверхности плиты элементе одинаковы. Иными словами, функция прогибов

. На рисунке 27 прогиб точки «» есть отрезок « ». Прогибы всех точек, лежащих на нормали «» одинаковы.

Рисунок 27

В силу гипотезы прямых нормалей нет сдвигов между нормалью и срединной изогнутой поверхностью, т.е.

Разделяя переменные в выше приведенных соотношениях и интегрируя по  в пределах толщины плиты, получим выражения перемещений через прогибы

Для определения функций, полученных при интегрировании и воспользуемся гипотезой нейтрального срединного слоя: при , тогда и . Таким образом, окончательно выразили перемещения через прогибы в плитах

, (9)

Эти соотношения легко иллюстрируются (Рис. 27). Перемещение точки «» по оси  равно произведению расстояния от точки до нейтрального слоя на тангенс угла наклона нормали к вертикали (тангенс угла наклона касательной к оси ).

Используя формулы Коши и зависимости (9), получим выражение деформаций через прогибы

(10)

Имея эти соотношения, можем выразить напряжения через прогибы плиты.

Выражение напряжений через деформации

Закон Гука для относительных линейных деформаций при плоском напряженном состоянии имеет вид

,

(11)

Умножая вторую зависимость (11) на  и складывая с первой (или умножая первую на  и складывая со второй), получим

(12)

Касательные напряжения выражаются через деформации сдвига следующим образом

, (13)

Выражение напряжений через прогибы

Подставим в (12) и (13) выражение деформаций через прогибы и получим

(14)

Выражение изгибающих и крутящих моментов через прогибы

Подставим полученные выражения напряжений в (2) и получим выражение изгибающего момента через прогибы плиты

(15)

В этом выражении введено обозначение момента инерции в плитах

(16)

Аналогично получаем выражение для изгибающего момента в направлении оси 

(17)

Выражение крутящих моментов через прогибы получим, используя (14)

(18)

Во всех этих выражениях рационально ввести обозначение цилиндрической жесткости (или жесткости плит и оболочек при изгибе)

(19)

С учетом принятых обозначений выражения (15), (17) и (18) принимают вид

(15-а)

(17-а)

(18-а)