- •Основные зависимости в плитах
- •Основные допущения теории плит
- •Анализ статической стороны задачи. Выражения внутренних усилий через напряжения в плитах
- •Дифференциальные уравнения равновесия
- •Анализ геометрической стороны задачи. Выражение перемещений и деформаций через прогибы
- •Выражение напряжений через деформации
- •Выражение напряжений через прогибы
- •Выражение изгибающих и крутящих моментов через прогибы
- •Выражение напряжений через изгибающие и крутящие моменты
- •Выражение поперечных сил через прогибы плиты
- •Основное уравнение изгиба плит
- •Постановка задачи
- •Определение опорных реакций плит
- •Формулировка граничных условий в плитах
- •Изгиб прямоугольных плит, шарнирно опертых по всему контуру. Решение Навье
Лекции 9,10,11. Техническая теория изгиба плит
Основные зависимости в плитах
Плитой называют плоское упругое тело, два размера которого велики по сравнению с третьим, называемым толщиной плиты. Плиты воспринимают нагрузку, перпендикулярную своей плоскости и передают ее на опоры, сосредоточенные в отдельных точках (изолированные) или распределенные вдоль некоторой линии – опорного контура. Нагрузка передается на опоры за счет изгиба плит из своей плоскости. Излагаемая ниже теория изгиба плит применима для тонких плит, у которых отношение толщины к другому наименьшему размеру менее, чем 0,1. Если соотношение в размерах плиты не отвечает приведенному условию, то такая плита считается толстой.
Геометрическое место точек, равноудаленных от верхней и нижней наружных поверхностей плиты, называют срединным слоем. Изогнутое положение точек срединного слоя будем называть изогнутой срединной поверхностью.
Основные допущения теории плит
Гипотеза прямых нормалей – прямоугольный материальный элемент, перпендикулярный к срединному слою и заключенный между верхней и нижней наружными поверхностями плиты в процессе изгиба не искривляется и остается перпендикулярным к изогнутой срединной поверхности плиты. Это допущение аналогично гипотезе плоских сечений в теории изгиба балок. Считается, прямолинейный элемент при изгибе сохраняет свою длину.
Гипотеза нейтрального срединного слоя – срединный слой, деформируясь из своей плоскости, в своей плоскости деформаций не претерпевает. Сетка линий, мысленно нанесенная на срединный слой, при изгибе плиты не испытывает удлинения (укорочения) и сдвигов. Аналогичная гипотеза используется в теории балок.
Гипотеза плоского напряженного состояния – нормальные напряжения и относительные деформации, перпендикулярные срединному слою, весьма малы по сравнению с напряжениями и деформациями, параллельными срединному слою, и ими можно пренебречь. Таким образом, каждый бесконечно тонкий слой пластинки, параллельный срединной поверхности, находится в условиях плоского напряженного состояния. В теории изгиба балок используется гипотеза о том, что продольные волокна балок находятся в условиях одноосного напряженного состояния.
Гипотеза малости перемещений – перемещения точек срединного слоя происходят по перпендикуляру к нему и они малы по сравнению с толщиной плиты (менее трети толщины).
Схема решения задачи изгиба плит
Анализ статической стороны задачи: выражение внутренних усилий через напряжения, дифференциальные уравнения равновесия, выяснение статической неопределимости.
Анализ геометрической стороны задачи: выражение перемещений и деформаций через прогибы.
Анализ физической стороны задачи: выражение напряжений через прогибы плиты, выражение внутренних усилий через прогибы плиты, раскрытие статической неопределимости – выражение условий равновесия через прогибы.
Формулировка граничных условий: выражение статических граничных условий через прогибы плиты.
Изучение методов расчета плит
Анализ статической стороны задачи. Выражения внутренних усилий через напряжения в плитах
Рассмотрим элемент плиты размером в плане единица на единицу. Оси и расположим в срединной плоскости, ось направим вниз (Рис. 25). На расстоянии от срединного слоя рассмотрим слой толщиной с действующими на нем напряжениями.
Рисунок 25
Тогда выражение вида
(1)
представляет собой дифференциал момента, изгибающего ось . Полный изгибающий момент, действующий в сечении единичной ширины, представляет собой интеграл по толщине плиты от выражения (1), т.е.
(2)
Аналогично получается погонный изгибающий момент в направлении оси
(3)
Если рассматривать выражения, аналогичные (1), для касательных напряжений, то получим крутящие моменты в направлении осей и :
(4)
(5)
В силу закона парности касательных напряжений равны друг другу и погонные крутящие моменты, т.е. .
Равнодействующие вертикальных касательных напряжений по граням, выделенного на рисунке 25 элемента, дают погонные поперечные силы, действующие в плоскостях с нормалями и
(6)
(7)
Все внутренние усилия изображены на рисунке 25-б. Правило знаков внутренних усилий в плитах: положительные усилия должны вызывать положительные напряжения в положительном октанте. Все усилия (Рис. 25-б) положительны.
Размерности усилий в плитах. Поперечные силы имеют размерность силы, деленной на длину. Размерности погонных изгибающих и крутящих моментов равны размерности моментов,деленной на длину, т.е.