- •23.Дифференцирование функции комплексного переменного. Теорема Коши-Римана Определение
- •1 . Необходимость
- •2. Достаточность
- •25.Понятие конформного отображения
- •26.Понятие интеграла функции комплексного переменного и его свойства
- •27.Теорема Коши для односвязной и многосвязной области
- •28.Первообразная функции комплексной переменной. Формула Ньютона-Лейбница
- •29.Интегральная формула Коши
- •Доказательство
- •30.Ряд Лорана
- •Свойства
- •Теорема Лорана
- •31. Изолированные особые точки
- •Критерии устранимости
- •32.Вычеты и их применение
- •Вычисления определённых интегралов от тригонометрических функций
- •Вычисление несобственных интегралов
- •33.Преобразование Лапласа. Связь с преобразованием Фурье.
- •Обратное преобразование Лапласа
- •3 4.Основные теоремы об оригиналах и изображениях
- •35.Свертка оригиналов
- •36.Применение операционного исчисления
- •3 7.Вычисление оригиналов по известному изображению
23.Дифференцирование функции комплексного переменного. Теорема Коши-Римана Определение
П роизводная для комплексной функции одного аргумента определяется так же, как и для вещественной: (здесь — комплексное число). Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой или голоморфной. При этом
Следует учитывать одну важную особенность: поскольку комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела означает, что он одинаков при стремлении к с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент и определяет их жёсткую взаимосвязь через Т Кощи-Римана: Для того чтобы функция , определённая в некоторой области комплексной плоскости, была дифференцируема в точке как функция комплексного переменного , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части и были дифференцируемы в точке как функции вещественных переменных и и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:
Е сли условия Коши — Римана выполнены, то производная представима в любой из следующих форм:
Доказательство
1 . Необходимость
По условию теоремы существует предел ,
не зависящий от способа стремления к нулю. Положим и рассмотрим выражение
.
И з существования предела комплексного выражения следует существование действительной и мнимой его частей. Поэтому в точке существуют частные производные по x функций u(x,y) и v(x,y) и имеет место формула
Полагая , находим
Сравнивая две последние формулы, убеждаемся в справедливости условий Коши-Римана.
2. Достаточность
По определению дифференцируемости, приращения функций и в окрестности точки могут быть записаны в виде
,
,
где функции и стремятся к нулю при , быстрее, чем и , , . Составим теперь разностное соотношение , где и преобразуем его к виду
.
Заметим, что при стремлении к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первые остаются неизменными. Поэтому существует предел , что и доказывает дифференцируемость функции в точке .
24. Аналитическая функция комплексной переменной.функция комплексного переменного (где и — вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в каждой точке некоторой области , называемой областью аналитичности, выполняется одно из трёх равносильных условий:
1 .Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке выполняются условия Коши — Римана (аналитичность в смысле Коши — Римана);
2.Ряд Тейлора функции в каждой точке сходится и его сумма равна (аналитичность в смысле Вейерштрасса);
3.Интеграл для любой замкнутой кривой (аналитичность в смысле Коши)
Свойства
Арифметические свойства
Если и аналитичны в области
Функции , и аналитичны в .
Если в области не обращается в ноль, то будет аналитична в
Если в области не обращается в ноль, то будет аналитична в .
Аналитическая функция бесконечно дифференцируема в своей области аналитичности. Обратное в общем случае неверно.