- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица основных интегралов
- •1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой
- •1.5. Интегрирование по частям
- •1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •1.7.1. Интегрирование простейших дробей
- •1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби
- •1.8. Интегрирование иррациональных функций
- •2. Интегралы вида
- •3. Интегралы вида
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •1. Интегралы вида , где r – рациональная функция
- •2. Интегралы вида
- •5. Тригонометрические подстановки
- •6. Интегралы вида
- •1.10. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
- •2. Интеграл по мере области
- •2.1. Понятие интеграла по мере области
- •2.2. Основные свойства интеграла по мере области
- •2.3. Вычисление определенного интеграла
- •2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница
- •2.3.2. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки
- •2.3.3. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям
- •2.4. Приближенное вычисление определённых интегралов. Понятие о численном интегрировании
- •2.4.1. Формула прямоугольников
- •2.4.2. Формула трапеций
- •2.4.3. Формула парабол (Симпсона)
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •3.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
- •3.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
- •4. Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом
- •5. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
- •6. Понятие о гамма-функции
- •7. Вычисление кратных интегралов
- •7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •7.3. Замена переменных в кратных интегралах
- •7.3.1. Общая формула замены переменных
- •7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •7.3.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат
- •8. Криволинейные интегралы
- •8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой
- •8.2. Криволинейные интегралы по координатам
- •8.2.1. Понятие о векторном поле
- •8.2.2. Определение криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.3. Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.4. Формула Грина
- •8.2.5. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования
- •9. Приложения кратных интегралов
- •9.1. Геометрические приложения кратных интегралов
- •9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения
- •9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением
- •9.2.2. Объём тела вращения
- •9.2.3. Площадь поверхности вращения
- •9.3. Механические приложения кратных интегралов
- •9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов
2.2. Основные свойства интеграла по мере области
Аддитивность относительно подынтегральной функции
(при этом каждый интеграл должен существовать).
Для доказательства достаточно учесть, что
2. Однородность
, С = const.
Это свойство следует из очевидного равенства
Объединяя свойства 1 и 2, можно сказать, что интеграл по мере области является линейным функционалом.
3. Если f (P) 1, то
.
Доказательство следует из определения интеграла по мере (формула (2.1)).
Конкретизируем это важное свойство:
– длина отрезка ;
– длина линии L;
– площадь области D;
– площадь поверхности Q;
– объём тела Т.
4. Если , то
.
Например:
1) двойной интеграл по области G, которая является дугой кривой;
2) определенный интеграл, когда областью является точка, т. е. отрезок .
5. Аддитивность относительно области интегрирования
, если .
Доказательство
Рассмотрим область в пространстве R2. Тогда
.
6. Теорема о знаке интеграла по мере.
Если .
Доказательство следует из определения интеграла по мере (формула (2.1)).
7. Если , то
.
Доказательство
Так как , то . Проинтегрируем обе части этого неравенства по области G:
.
Тогда
.
Из этого свойства следует, что неравенства можно почленно интегрировать.
8. Если , то
.
Доказательство следует из свойств 3 и 7.
Это свойство определяет двустороннюю оценку интеграла по мере.
9. Оценка модуля интеграла по мере области
.
Доказательство
По определению интеграла по мере имеем
.
Воспользуемся свойством модуля , тогда
.
Таким образом, получаем
.
10. Теорема о среднем значении функции в области с ненулевой мерой. Если функция f(P) непрерывна на замкнутой ограниченной фигуре G, то найдется такая точка , что
.
Доказательство
Так как фигура G ограничена и функция f(P) непрерывна, то функция f(P) принимает на G свои наибольшее и наименьшее значения, т. е.
.
Проинтегрируем это неравенство
.
Воспользуемся свойством 8
.
Разделим неравенство на :
,
т. е. величина заключена между и . Функция f(P) непрерывна и принимает значения между и . Значит, она должна принять и это значение в некоторой точке P0. Таким образом,
.
2.3. Вычисление определенного интеграла
2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница
Пусть . Как было показано ранее, определенным интегралом от функции f(x) по отрезку называется
, (2.8)
п ричем а называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования.
Если то величину определенного интеграла естественно принять за площадь криволинейной трапеции (рис. 2.7).
Формула, найденная Ньютоном и Лейбницем (независимо друг от друга), устанавливает связь между определённым и неопределённым интегралами. Она позволяет эффективно вычислять определенные интегралы и является основной формулой интегрального исчисления.
Разобьем отрезок на n частей (не обязательно равных по длине). Абсциссы границ полученных частей обозначим через :
.
Очевидно, справедливо равенство
(2.9)
Пусть Тогда по теореме Лагранжа
и формуле (2.9) можно придать вид
(2.10)
Формула (2.10) показывает, что при соответствующем выборе точек величина интегральной суммы при любом n постоянна и равна Поэтому при получим формулу
,
которую называют формулой Ньютона − Лейбница.
Определённый интеграл равен приращению первообразной от подынтегральной функции на отрезке интегрирования.
Для обозначения приращения функции на отрезке часто используют знак двойной подстановки
Формулу Ньютона − Лейбница можно вывести и другим способом.
Рассмотрим определённый интеграл
.
Для его существования необходимо, чтобы функция . Очевидно, что интеграл зависит от пределов интегрирования а и b.
Если закрепить а, а верхнюю границу сделать переменной, то интеграл
будет представлять некоторую функцию от х. Вычислим производную этой функции по переменной х. Для этого найдем
.
Тогда
.
Применим теорему о среднем
.
Перейдем к пределу при
,
так как при .
Итак, мы доказали теорему Барроу.
Теорема. Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, вычисленной на верхнем пределе.
Эта теорема является одной из основных теорем математического анализа и вскрывает глубокую связь между операциями определенного интегрирования и дифференцирования.
Следствие. Любая функция f(x), непрерывная на , имеет первообразную, выражаемую формулой
.
Исходя из геометрического смысла определённого интеграла как площади криволинейной трапеции, заметим, что соотношение
выражает переменную площадь криволинейной трапеции с основанием .
Теорема Барроу позволяет установить простой метод вычисления определённого интеграла.
Мы установили, что является первообразной для f(x). Первообразная имеет вид
.
Пусть х = а, тогда
.
Тогда . Подставим значение С в определение первообразной
.
Пусть теперь х = b, тогда
.
Получили формулу Ньютона – Лейбница, которая устанавливает связь между определённым и неопределённым интегралами от непрерывной функции f(x).