- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица основных интегралов
- •1.4. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование подстановкой
- •1.5. Интегрирование по частям
- •1.6. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
- •1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •1.7.1. Интегрирование простейших дробей
- •1.7.2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби
- •1.8. Интегрирование иррациональных функций
- •2. Интегралы вида
- •3. Интегралы вида
- •1.9. Интегрирование тригонометрических функций
- •1. Интегралы вида , где r – рациональная функция
- •2. Интегралы вида
- •5. Тригонометрические подстановки
- •6. Интегралы вида
- •1.10. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
- •2. Интеграл по мере области
- •2.1. Понятие интеграла по мере области
- •2.2. Основные свойства интеграла по мере области
- •2.3. Вычисление определенного интеграла
- •2.3.1. Формула Ньютона − Лейбница
- •2.3.2. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки
- •2.3.3. Вычисление определённых интегралов путём интегрирования по частям
- •2.4. Приближенное вычисление определённых интегралов. Понятие о численном интегрировании
- •2.4.1. Формула прямоугольников
- •2.4.2. Формула трапеций
- •2.4.3. Формула парабол (Симпсона)
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •3.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
- •3.3. Теоремы о сходимости несобственных интегралов
- •4. Интеграл как функция пределов интегрирования. Понятие о специальных функциях, определяемых интегралами с переменным верхним пределом
- •5. Понятие об интегралах, зависящих от параметра
- •6. Понятие о гамма-функции
- •7. Вычисление кратных интегралов
- •7.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •7.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •7.3. Замена переменных в кратных интегралах
- •7.3.1. Общая формула замены переменных
- •7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •7.3.3. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •7.3.4. Запись тройного интеграла в сферической системе координат
- •8. Криволинейные интегралы
- •8.1. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги кривой
- •8.2. Криволинейные интегралы по координатам
- •8.2.1. Понятие о векторном поле
- •8.2.2. Определение криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.3. Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •8.2.4. Формула Грина
- •8.2.5. Независимость криволинейного интеграла от формы кривой интегрирования
- •9. Приложения кратных интегралов
- •9.1. Геометрические приложения кратных интегралов
- •9.2. Вычисление геометрических характеристик тел вращения
- •9.2.1. Объём тела с заданным поперечным сечением
- •9.2.2. Объём тела вращения
- •9.2.3. Площадь поверхности вращения
- •9.3. Механические приложения кратных интегралов
- •9.4. Примеры физических приложений определённых интегралов
1.9. Интегрирование тригонометрических функций
1. Интегралы вида , где r – рациональная функция
Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки .
В результате этой подстановки имеем
; ;
.
2. Интегралы вида
Выделим два случая решения такого интеграла:
1) если n – нечетное положительное число, то применяется подстановка ; если же m – нечетное положительное число, то подстановка ;
2) если оба показателя степени m и n – четные положительные числа, то следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул
,
,
.
3. Интегралы вида и , где m – целое положительное число
При нахождении таких интегралов применяются формулы
или ,
с помощью которых последовательно понижается степень тангенса или котангенса.
4. Интегралы вида , ,
Тригонометрические формулы
,
,
дают возможность представить произведение тригонометрических функций в виде суммы.
5. Тригонометрические подстановки
Интегралы вида , , приводятся от рациональной относительно и функции с помощью тригонометрических подстановок:
- или ;
- или ;
- или .
6. Интегралы вида
Интеграл данного вида может быть преобразован к интегралу вида , который был рассмотрен в п. 1.9.5.
Произведем преобразования трехчлена, стоящего под корнем:
.
Сделаем замену переменной, положив . Тогда
.
Рассмотрим все возможные случаи.
Пусть , . Введем обозначения , . В этом случае будем иметь
.
Пусть , . Тогда , . Следовательно,
.
Пусть , . Тогда , . Следовательно,
.
Пусть , . В этом случае есть комплексное число при любом x.
Таким образом, данный интеграл преобразуется к одному из следующих типов интегралов:
, , ,
которые сводятся к интегралам, рассмотренным в п. 1.9.5.
1.10. Функции, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции
В п. 1.1 отмечалось, что всякая функция f(x), непрерывная на интервале (a, b), имеет на этом интервале первообразную, т. е. существует такая функция F(x), что Однако не всякая первообразная, даже тогда, когда она существует, выражается в конечном виде через элементарные функции. Таковы первообразные, выраженные интегралами , , , , , и многие другие.
Во всех подобных случаях первообразная представляет собой некоторую новую функцию, которая не сводится к комбинации конечного числа элементарных функций. Так, например, та из первообразных , которая обращается в нуль при x = 0, называется функцией Лапласа и обозначается Ф(х). Таким образом,
, если Ф(0) = 0.
Эта функция хорошо изучена. Составлены подробные таблицы ее значений при различных значениях х.
Та из первообразных , которая обращается в нуль при x = 0, называется эллиптическим интегралом и обозначается Е(х), т. е.
, если Е(0) = 0.
Для этой функции также составлены таблицы значений при различных значениях х.