- •Раздел 10. Числовые и функциональные ряды
- •Глава 1. Числовые ряды
- •§ 3. Основные свойства сходящихся рядов
- •Глава 2. Cходимость числовых рядов с неотрицательными членами
- •§ 2. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами
- •§ 3. Интегральный признак Коши
- •§ 4. Признак Даламбера и радикальный признак Коши
- •Глава 3. Сходимость знакопеременных рядов
- •§ 2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
- •Свойства абсолютно сходящихся рядов
- •Глава 4. Функциональные ряды. Степенные ряды
- •§ 1. Понятие функционального ряда, его области сходимости
- •§ 2. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости
- •§ 3. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
- •§ 4. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Маклорена
Раздел 10. Числовые и функциональные ряды
Теория рядов – один из важнейших разделов математики. В нём исследую-тся вопросы, связанные с перенесением свойств элементарных алгебраических операций, а также правил дифференцирования и интегрирования (известных для конечного числа слагаемых) на случай бесконечного числа слагаемых.
Теория рядов широко используется в приближённых вычислениях. С её по-мощью составляются таблицы значений функций, вычисляются определённые интегралы от функций, у которых первообразные не являются элементарными функциями, находятся решения классов дифференциальных уравнений, весьма важных для физики, техники и экономики.
Глава 1. Числовые ряды
§ 3. Основные свойства сходящихся рядов
Свойство 1. Пусть ряд
(3.1)
сходится, S − его сумма, а c – некоторое вещественное число. Тогда ряд
(3.2)
тоже сходится, и его сумма равна cS.
Свойство 2. Если ряды и сходятся, а A и B – их суммы, то ряд , называемый суммой (разностью) данных рядов, тоже сходится, и его сумма равна A B.
Замечание 3.1. Раскрывать скобки в сходящемся ряде, вообще говоря, нельзя. Например, ряд (1 1) (1 1) (1 1) сходится, и его сумма S 0; если же раскрыть скобки, то получится расходящийся ряд: 1 1 1 1 .
Докажем, например, свойство 1.
►Пусть Sn и − n-е частичные суммы рядов (3.1) и (3.2) соответственно. Имеем: ca1 can c(a1 an) cSn. По условию ряд (3.1) сходится к сумме S, поэтому . Но тогда ряд (3.2) сходится, его сумма равна cS.◄
Замечание 3.2. Если ряд сходится, а ряд расходится, то сумма этих рядов есть ряд расходящийся. Действительно, если предположить сходимость ряда , то по свойству 2 сходящихся рядов будет сходиться ряд , а по условию он расходится;
Замечание 3.3. Из расходимости рядов и расходимость ряда не следует. Так, если , , ряды и расходятся, а ряд сходится. Однако, если , , то ряд будет расходиться.
Определение 3.1. Пусть дан ряд (3.1) и любое натуральное число m. Ряд
am1 am2 amk = (3.3)
называется остатком ряда (3.1) после m-го члена.
Теорема 3.1. Ряд (3.1) и его остаток (3.3) после m-го члена сходятся или расходятся одновременно.
►Обозначим n-ю частичную сумму ряда (3.1) через , а k-ю частичную сумму ряда (3.3) – через . При имеем:
. (3.4)
Здесь Sm − некоторое число, так как m фиксировано.
Пусть ряд (3.1) сходится, и его сумма равна S. Из этого следует, что существует конечный . Но тогда из (3.4) следует, что существует конечный , причём . Последнее означает, что ряд (3.3) сходится и его сумма равна S − Sm. Итак, из сходимости ряда (3.1) следует сходимость ряда (3.3).
Пусть теперь ряд (3.3) сходится и его сумма равна . Это означает, что существует конечный . Переходя в (3.4) к пределу при k получаем
,
следовательно, ряд (3.1) сходится, и его сумма S равна . Итак, из сходимости ряда (3.3) следует сходимость ряда (3.1).
Вторая часть теоремы доказывается от противного. Пусть один из рядов (3.1), (3.3) расходится. Требуется доказать, что тогда расходится и другой ряд. Допустим, что он сходится. Но тогда, по доказанному выше должен сходиться и первый ряд, что противоречит условию. Значит, ряды (3.1) и (3.3) расходятся одновременно.◄
Следствие 1 из теоремы 3.1. Отбрасывание любого числа первых членов ряда не влияет на его сходимость.
Следствие 2 из теоремы 3.1. Для того, чтобы сходился ряд (3.1) необходимо и достаточно чтобы его остаток после n-го члена стремился к нулю при .