Угловая скорость и угловое ускорение

Угловая скорость характеризует интенсивность вращения материальной точки и твердого тела и вычисляется как первая производная угла поворота по времени:

Угловое ускорение, определяющее быстроту изменения угловой скорости, есть:

Принято приписывать величинам ω и ε определенные направления (считать их псевдовекторами). Вектор угловой скорости перпендикулярен плоскости, в которой происходит вращение точки, а направление его определяется правилом правого винта (буравчика), рис. 3

Угловое ускорение может быть направлено либо в ту же сторону, что и угловая скорость(при ускоренном вращении ), либо в противоположную вектору сторону - при замедленном вращении.

Рассмотренные величины связаны соотношением:

где - сумма моментов внешних сил, действующих на тело.

Так как угловое ускорение , можно записать:

или

Это соотношение называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела.

Векторная величина - момент импульса твердого тела.

Описание установки

Рассмотрим установку, изображенную на рис. 4. На валу насажено массивное маховое колесо К и шкив III с намотанной нитью. Нить переброшена через легкий неподвижный блок Б. К другому концу нити подвешены груз m. Опускаясь вниз с высоты h₁, груз m приводит во вращение маховое колесо. При этом потенциальная энергия груза переходит в кинетическую энергию его поступательного движения, махового колеса и работу по преодолению силы трения в опорах вала.

Здесь

v – скорость поступательного движения груза,

I – момент инерции колеса, характеризующий инертность его при

вращательном движении,

ω – угловая скорость махового колеса,

А₁ – работа против сил трения, произведенная во время опускания груза.

Когда груз дойдет до нижней точки, моховое колесо, вращаясь по инерции начинает наматывать нить на шкив, в результате чего груз снова начинает подниматься. Но т.к. существуют силы трения в опорах, то он поднимается на высоту h₂ < h_1. При этом кинетическая энергия вращательного движения колеса и поступа­тельного движения груза перейдет в потенциальную энергию и ра­боту против сил трения в опорах вала, т.е.

где А₂ - работа против сил трения, совершаемая при движении груза

наверх

или (2)

Вычитая из равенства (I) равенство (2) почленно, получим:

(3)

т.е. работа по преодолению сил трения равна разности потенциальных энергий груза. Но

;

где ℓ₁; ℓ₂ – пути, проходимые трущимися участками вала при движении

груза вниз и вверх соответственно,

- суммарная сила трения в опорах вала.

Очевидно, что

где r_в - радиус рала,

N₁ - число оборотов, которое вал сделал за время опускания груза

N₂ - число оборотов, которое вал сделал за время движения груза

наверх

При этом шкив тоже сделал соответственно N₁ и N₂ оборотов за те же промежутки времени.

Точка на окружности шкива прошла пути

Здесь r_ш - радиус шкива,

h₁ и h₂ - длина смотанной и намотанной нити, равная соответственно высоте поднимания и опускания груза, т.к. нить можно считать упругой и нерастяжимой.

Отсюда ; ;

; ;

Подставляя в равенство (3) имеем: ;

Откуда (4)

По этой формуле мы можем вычислить суммарную силу трения в опорах на валу махового колеса.

Подставляя это выражение для силы трения в равенство (I), мы мо­жем определить момент инерции махового колеса I.

(5)

Однако, момент инерции мехового колеса можно определить еще путем следующих рассуждений:

На груз при его движении вниз действуют силы тяжести и натяжения нити Т. Эти силы по второму закону Ньютона сообщают грузу ускоренное движение с ускорением а. В проекциях на направление движения имеем:

откуда (6)

Если пренебречь моментом инерции блока (т.к. его масса значительно меньше массы махового колеса и груза), а нить считать упругой и нерастяжимой, то этa же сила натяжения будет приложена к шкиву III, создавая вращающий момент.

(7)

Существует противоположно направленный момент, создаваемый силами трения по отношению к валу:

(7)

Согласно второму закону Ньютона для вращательного движения:

Считая направление вращающего момента положительным и учитывая, что угол между и , а также и равен ,

имеем:

или

здесь ε – угловое ускорение махового колеса.

Его можно выразить через тангенциальное ускорение точек шкива, считая, что оно равно ускорению груза ā :

Т.к. с этим ускорением за время t груз проходит путь h₁, то

и

Подставляя значение а и ε в уравнение (8) и, решая его относительно I с учетом силы трения (4), подучим:

(5)