4.2. Передача силового навантаження до нескінченної пластинки з криволінійним отвором.

4.2.1 Односторонній контакт абсолютного жорсткого диска з криволінійним отвором нескінченної пластинки. Розглянемо нескінченну ізотропну пластинку з гладким криволінійним отвором (2.1), в який із натягом вставлено абсолютно жорсткий диск. В центрі диска прикладена сила, яка напрямлена вздовж осі його симетрії (рис.4.4)

Внаслідок гладкої взаємодії пластинки і диска на контурі виникають дві зони: – зона контакту; – зона відставання.

Розв’язок задачі полягає у визначенні напружень на контурі отвору та величини зони контакту.

Рис 4.4. Розрахункова схема задачі

Вивід інтегродиференціальних рівнянь. Враховуючи симетричність задачі відносно осі Ох, основні співвідношення (2.2), (2.4) при заданому навантаженні запишемо у вигляді

(4.20)

де – образ зони контакту при відображенні (2.1).

Граничні умови задачі при відсутності тертя в зоні контакту запишемо у вигляді рівності кривин контуру пластинки і диска. З врахуванням (3.15) їх можна подати у вигляді

(4.21)

Підстановка (4.20) з врахуванням (2.47) в граничні умови (4.21) приводить до системи двох сингулярних інтегродиференціальних рівнянь з ядрами Гільберта для визначення в зоні контакту величин

(4.22)

Тут .

Крім системи (4.22) повинна виконуватися умова рівноваги диска

(4.23)

яка служить для визначення величини зони контакту.

Наближений розв’язок задачі. Точний розв’язок системи (4.22), (4.23) пов’язаний із значними математичними труднощами. Наближений її розв’язок, обмежений на кінцях зони контакту, будемо шукати модифікованим методом Мультоппа-Каландія у вигляді

(4.24)

де інтерполяційний поліном Лагранжа; − число точок колокації;

(4.25)

За вузли інтерполяції вибрані корені полінома Чебишева другого роду порядку (−парне число).

В точках величини (4.24) мають вигляд

(4.26)

а сингулярні і регулярні вирази, які входять в (4.22), (4.23), запишуться так

(4.27)

причому

(4.28)

Аналогічні вирази від одержуємо із (4.27) заміною A_n на B_n.

Підстановка (4.26) – (4.28) при в (4.22), (4.23) приводить до системи лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення A_n , B_n. В цій системі невідома величина входить нелінійно. Для її визначення поступимо так. Розв’язуємо систему (4.22) для фіксованого значення і перевіряємо виконання умови (4.23). Якщо права частина (4.23) менша ніж ліва, то наступне значення вибираємо на проміжку , якщо навпаки – то Найбільш ефективним є послідовний поділ проміжків або пополам. Такий спосіб дозволяє визначити граничний кут контакту із наперед заданою точністю.

В роботах Панасюка В.В.,Теплого М.Й. запропоновано інший метод визначення граничного кута для пластинки з круговим отвором. Якщо із рівняння (4.23) визначити силу Р₀ і підставити в (4.22), то відповідна система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно A_n, B_n буде однорідною. Прирівнявши до нуля визначник цієї системи, одержимо трансцендентне рівняння для визначення . Недоліком такого підходу є те, що для великого числа точок колокації важко записати відповідне рівняння в явному вигляді.

4.2.2 Двосторонній контакт абсолютно жорсткого диска з криволінійним отвором нескінченної пластинки. Нехай в криволінійний отвір виду (2.1) нескінченної пластинки вставлений із зазором або натягом жорсткий диск такої ж форми. При дії на пластинку навантаження, яке показано на рис.4.5, на ділянках і виникає двосторонній контакт між пластинкою і диском.

На інших ділянках контуру напруження відсутні. Якщо посадку диска в отвір пластинки здійснено з гарантованим натягом, то зони і можуть змикатися.

При відсутності тертя в зонах контакту розв’язок задачі полягає у визначенні зусиль вздовж і та величини зони контакту.

Позначимо через образи і при відображенні (2.1). Встановимо умови, яким повинні задовольняти зусилля p i q, щоб мав місце двосторонній контакт жорсткого диска з контуром отвору пластинки при їх спряженні з нульовим зазором. Це можливо тоді, коли від зовнішнього навантаження «на нескінченності» в контурних точках, що належать осі Ох, будуть мати різні знаки, причому .

Рис. 4.5. Розрахункова схема задачі

Якщо пластинка ізотропна, то на підставі (2.14), маємо

(4.29)

Із системи (4.29) визначаємо

(4.30)

Граничні умови задачі при відсутності тертя в зоні контакту запишемо так

(4.31)

Нескінченна ізотропна пластинка з криволінійним отвором, в який вставлений із зазором абсолютно жорсткий диск. Розглянемо нескінченну ізотропну пластинку з криволінійним отвором, в який із зазором вставлено абсолютно жорсткий диск. Зовнішнє навантаження на систему пластинка–диск показано на рис.4.5. Вважаємо, що величина має порядок пружних зміщень точок пластинки, а умова двостороннього контакту пластинки і диска (4.30) виконується.

Деформації контуру L пластинки при заданому навантаженні, на підставі (2.2), (2.4), визначаються формулами

(4.32)

Зауважимо, що інтеграли з ядром сингулярні, якщо належить одночасно одному з проміжків або .

Введенням заміни

(4.33)

співвідношення (4.32) можна записати у вигляді

(4.34)

Граничні умови (2.49) запишуться так

(4.35)

де

Підставляючи (4.34) в (4.35) з врахуванням (2.47) одержимо систему двох сингулярних інтегродиференціальних рівнянь з ядрами Гільберта для визначення величин в зоні контакту

(4.36)

Оскільки зовнішнє навантаження на пластинку симетричне, то умови рівноваги диска виконується тотожно.

Зона контакту (величини ) наперед невідома, тому для її визначення необхідно записати додаткові умови сумісного деформування пластинки і диска. Якщо посадку диска в отвір пластинки здійснено із зазором

(4.37)

де , то ці умови можна записати так

(4.38)

Випадок k=0 відповідає посадці диска з нульовим зазором. Якщо , то контакт між отвором пластинки і диском відсутній.

З врахуванням (4.33) із (4.36) знаходимо

(4.39)

Система (4.39) і умова (4.30) визначають розв’язок задачі про двосторонній контакт жорсткого диска з криволінійним отвором в нескінченній ізотропній пластинці.

Оскільки величини обмежені на кінцях зони контакту , то для наближеного розв’язку системи (4.30), (4.39) застосуємо метод колокації, запропонований в попередній задачі. При цьому для обчислення інтегралу використаємо заміну .

Тоді

. (4.40)

Залежності (4.40) показують, що всі інтегральні і диференціальні вирази, які входять в (4.30), (4.39) в точках колокації можуть бути обчислені за формулами (4.27), (4.28).

Враховуючи вищесказане, наближений розв’язок задачі вибираємо у вигляді

. (4.41)

(4.42)

Для спрощення записів враховано, що число точок колокації на ділянках однакове. Позначення для такі ж самі, як і в (4.24), (4.25).

Підстановка (4.41), (4.42) з врахуванням (4.26), (4.27) і (4.40) в (4.39) приводить до системи алгебраїчних рівнянь відносно , Коефіцієнти цієї системи нелінійно залежать від Як і в попередній главі, величини зон контакту будемо задавати довільно (в допустимих межах) і уточнювати за допомогою умов (4.38). При цьому відповідна система алгебраїчних рівнянь стає лінійною і розв’язується одним із наближених методів.

Якщо величини стануть відомими, то компоненти напруженого стану на контурі визначаються за формулами (2.5), (2.6).