- •Розділ 1 Постановка контактних задач і їх математична формалізація
- •1.1. Математична формалізація контактних задач
- •Розділ 2 основні рівняння плоскої задачі теорії пружності для масивних циліндричних тіл
- •2.1. Ізотропна пластинка з криволінійним отвором
- •2.2. Круглий ізотропний диск
- •2.3. Граничні умови контактних задач для нескінченної пластинки з криволінійним отвором і жорсткого диска
- •Розділ 3 взаємодія жорсткого диска з криволінійним отвором нескінченної пластинки при їх повному контакті
- •3.1. Передача моментного навантаження від жорсткого диска до нескінченної пластинки з криволінійним отвором
- •3.2. Передача силового навантаження від жорсткого диска до криволінійного отвору нескінченної пластинки.
- •Розділ 4 неповний контакт жорсткого диска з криволінійним отвором нескінченної пластинки
- •4.1. Передача моментного навантаження до нескінченної пластинки з криволінійним отвором
- •4.2. Передача силового навантаження до нескінченної пластинки з криволінійним отвором.
- •Розділ 5 контактна взаємодія нескінченної пластинки з криволінійним отвором і двозв’язних штампів з кутовими точками
- •5.1. Односторонній контакт двозв’язного штампа з кутовими точками і криволінійного отвору в нескінченній ізотропній пластинці
- •5.2. Двосторонній контакт криволінійного отвору в нескінченній пластинці і двозв’язних симетричних штампів з кутовими точками
- •Розділ 6 Вплив тертя на розподіл напружень при контакті гладких циліндричних тіл і штампів з кутовими точками
- •6.1. Нескінченна ізотропна пластинка з круговим отвором
- •6.2. Стискування пружного диска двома жорсткими штампами.
4.1. Передача моментного навантаження до нескінченної пластинки з криволінійним отвором
Нехай в криволінійний отвір виду (2.1) нескінченної ізотропної пластинки запресовано з натягом () жорсткий диск такої ж форми. В центрі диска прикладено пару сил з моментом , внаслідок чого на лінії розділу матеріалів пластинки і диска виникають зони контакту і відставання (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Розрахункова схема задачі
Як і в попередньому розділі, розв’язок задачі полягає у визначенні кута повороту диска, величини зони контакту та напруженого стану на контурі отвору.
4.1.1. Вивід інтегральних рівнянь. Систему прямокутних координат вибираємо так, як показано на рис. 4.1. При цьому
;
,
де , – полярні кути граничних точок ділянки контакту . Всі інші ділянки одержуються поворотом заданої на кут .
Вирази для компонент вектора зміщення (2.14), (2.15) при заданому навантаженні запишемо у вигляді
(4.1)
Тут , – образи кутів , при відображенні (2.1).
В (4.1) враховано формулу
яка одержана в результаті інтегрування за частинами.
Для визначення сталих , використаємо співвідношення (4.1) і умову симетричності зміщень (3.1). З врахуванням властивостей функцій , (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Графіки зміни на проміжку
; (4.2)
отримаємо
. (4.3)
Підставивши (4.3) в (4.1), знаходимо
(4.4)
Граничні умови задачі при наявності тертя в зоні контакту мають вигляд (2.41).
Функції і подамо інтегральними співвідношеннями
;
. (4.5)
Підставляючи (4.1), (4.3), (4.5) в граничні умови (2.41), одержимо систему двох сингулярних інтегральних рівнянь з логарифмічними ядрами для знаходження ,
;
. (4.6)
Величину кута повороту диска знаходимо з умови його граничної рівноваги (2.40), яку можна подати у вигляді
. (4.7)
Якщо функції , будуть відомі, то величини , визначимо за формулою
. (4.8)
4.1.2. Наближений розв’язок задачі. Знаходження точного розв’язку системи (4.6)-(4.7) пов’язано з значними математичними труднощами, тому будемо шукати його наближено модифікованим методом Мультоппа-Каландія. Для цього зведемо систему (4.6)-(4.7) до стандартного вигляду з проміжком інтегрування [-1; 1]. Це можна зробити заміною змінних
; ;
; .
Тоді
; ;
;
. (4.9)
Із врахуванням залежностей (4.9) інтеграли, які входять у перше рівняння системи (4.6)-(4.7), можна записати так
.
Введенням заміни
, (4.10)
систему (4.6) – (4.7) перетворимо до вигляду
;
; ;
. (4.11)
При цьому формула (4.8) приймає вигляд
. (4.12)
Поклавши , , , одержимо вирази
; ;
, . (4.13)
Оскільки при наближенні до границь зони контакту контактні зусилля будуть зменшуватися до нуля (зона контакту при відсутності у диска кутових точок плавно переходить в зону відставання), тому на підставі (2.3), (4.12) розв’язок системи (4.11), обмежений на кінцях , , шукатимемо у вигляді
; ; , (4.14)
де – обмежені і регулярні на функції. Для них побудуємо інтерполяційні поліноми Лагранжа, вибравши за вузли інтерполяції корені полінома Чебишева другого роду порядку
(4.15)
Тут – число точок колокації; , , .
Використовуючи рівності
, (4.16)
запишемо квадратурні формули для особливих і регулярних інтегралів з (4.11)
;
;
, (4.17)
де , , .
Підставляючи формули (4.17) у систему (4.11) при конкретному і надаючи послідовно значень , а – відповідно , одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення сталих і величини . Контактні , і кільцеві зусилля визначаються за формулами (2.3), (2.4), (4.12).
Зауважимо, що межі зон контакту, тобто кути , , які фігурують в системі (4.6), (4.7), невідомі. Їх можна визначити, розв’язуючи систему (4.11), взявши в якості початкових наближень довільні значення , і кожного разу уточнюючи їх. Для цього на кожному кроці ітераційного процесу потрібно перевіряти значення в крайніх точках (на кінцях зони контакту) і, якщо ці значення додатні, то зону контакту звужують, в іншому разі – розширюють. Ітераційний процес продовжують доти, поки не буде досягнуто необхідної точності.
4.1.3. Контакт криволінійного отвору і жорсткого диска з кутовими точками. Допустимо, що в криволінійний отвір виду (2.1) запресовано з натягом абсолютно жорсткий диск, який має рівномірно розміщених по контуру однакових вирізів, що розділяють зону контакту (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Розрахункова схема задачі
В центрі диска прикладено пару сил з моментом . Визначення контактних зусиль в зоні запресовки та кута повороту диска зводиться до інтегрування системи (4.11).
Оскільки зона контакту розімкнена, то ця задача також розв’язується методом колокації.
В залежності від величини можна розглянути різні модифікації задачі. Нехай – натяг, при якому відбувається розмикання ділянки контакту лише в одній точці . Тоді до системи (4.11) необхідно приєднати умову рівності нулю в цій точці контактного тиску (3.14). Якщо , то зона контакту фіксована і співпадає з проміжком . Наближений розв’язок такої задачі, необмежений на торцях, шукаємо у вигляді
; ; . (4.18)
Тут – регулярні і обмежені при . Їх вибираємо у вигляді (4.15). При цьому формули для обчислення сингулярних і регулярних інтегралів, які входять в (4.11), з урахуванням (4.13) та квадратурної формули Гауса
,
запишуться так
; ;
; (4.19)