- •Тема 1. Природа эконометрики
- •1.1. Общие понятия эконометрических моделей
- •1. 2. Типы эконометрических моделей
- •1. 3. Типы данных
- •Тема 2. Корреляционный анализ в эконометрических исследованиях
- •2.1. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости
- •2.2. Понятие о двумерном корреляционном анализе
- •2.3. Понятие о многомерном корреляционном анализе
- •2.4. Ранговая корреляция
- •Тема 3. Регрессионный анализ в эконометрических исследованиях
- •3.1. Задача регрессионного анализа
- •3.2. Идентификация модели регрессии
- •3.3. Линейная парная регрессия и оценка параметров
- •3.4. Проверка значимости параметров линейной парной регрессии
- •3.5. Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии
- •3.6. Нелинейная регрессия
- •3.7. Корреляционное отношение и индекс корреляции
- •3.8. Множественный регрессионный анализ
- •4.9. Ковариационная матрица и ее выборочная оценка
- •4.10. Определение доверительных интервалов для коэффициентов и функции множественной регрессии
- •4.11. Мультиколлинеарность
- •Тема 5. Методы и модели анализа динамики экономических процессов
- •5.1. Понятия экономических рядов динамики
- •5.2. Предварительный анализ динамических рядов экономических показателей
- •5.3. Сглаживание динамических рядов
- •4.3. Расчет показателей динамики развития эконометрических процессов
- •4.4. Тренд-сезонные экономические процессы и их анализ
- •Тема 5. Модели прогнозирования экономических процессов
- •5.7. Трендовые модели на основе кривых роста
- •5.2. Оценка адекватности и точности трендовых моделей
- •5.3. Прогнозирование экономической динамики на основе трендовых моделей
- •5.4. Адаптивные модели прогнозирования
- •Лучшая модель ар(1,1)
- •Характеристика остатков
- •Тема 8. Системы взаимозависимых эконометрических моделей
- •8.1. Особенности систем взаимозависимьех моделей
- •8.2. Формы представления систем взаимозависимых эконометрических моделей
- •8.3. Косвенный метод оценки коэффициентов структурной формы систем взаимозависимых эконометрических моделей
- •8.4. Оценивание параметров структурной формы на основе двухшагового мнк с использованием инструментальных переменных
- •1. На первом шаге конструируются новые значения зависимых
- •2. На втором шаге значения используются вместо значений
- •8.5. Оценки параметров системы взаимозависимых эконометрических моделей с использованием трехшагового мнк
3.8. Множественный регрессионный анализ
Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости одной зависимой переменной Y от нескольких объясняющих переменных . Эта задача решается с помощьюмножественного регрессионного анализа.
Множественное линейное уравнение регрессии имеет вид:
(3.49)
где неизвестные параметры модели;случайная ошибка модели, обусловленная влиянием неучтенных факторов в модель, а также случайными ошибками наблюдении.
Для определения неизвестных параметров модели множественной регрессии из генеральных совокупностей сформированы две выборки объемами n:
Подставляя эти выборки в модель регрессии (3.49) получим систему уравнении множественной линейной регрессии:
(3.50)
Включение в регрессионную модель новых объясняющих переменных (факторов) усложняет получаемые формулы и вычисления. Это приводит к целесообразности использования матричных обозначений. Матричное описание регрессии облегчает как теоретические концепции анализа, так и необходимые расчетные процедуры.
Введем обозначения: вектор столбец, значений зависимой переменной размера n;
— матрица значений объясняющих переменных, или матрица плана размера ;
вектор столбец, параметров размера (k+1);
вектор столбец, возмущений (случайных ошибок, остатков) размера п.
Тогда в матричной форме модель (3.50) примет вид:
. (3.51)
Оценкой этой модели по выборке является уравнение
, (3.52)
где ,.
Для оценки вектора неизвестных параметров применимметод наименьших квадратов. Так как произведение транспонированной матрицы на саму матрицу
то условие минимизации остаточной суммы квадратов запишется в виде:
. (3.53)
Учитывая, что при транспонировании произведения матриц получается произведение транспонированных матриц, взятых в обратном порядке, т.е. , получим после раскрытия скобок:
. (3.54)
Произведение есть матрица размера , т.е. величина скалярная, следовательно, оно не меняется при транспонировании:. Поэтому условие минимизации (3.54) примет вид:
.
На основании необходимого условия экстремума функции нескольких переменных , представляющей(3.55), необходимо приравнять к нулю частные производные по этим переменным или в матричной форме — вектор частных производных
. (3.55)
Таким образом, встает задача найти минимум этой функций. Для этого выражение (3.55) следует продифференцировать по векторному аргументу и полученное выражение приравнять к нулю, то есть:
Отсюда получается следующее выражение:
Данная система уравнений называется нормальной системой уравнений регрессии. Требуется ввести обозначения: матрица коэффициентов нормальных уравнений,вектор-столбец свободных членов нормальных уравнений регрессии.
С учетом введенных обозначений нормальная система уравнений регрессии перепишется в окончательном виде:
(3.56)
Для решения матричного уравнения (3.56) относительно вектора оценок параметров необходимо ввести предпосылку для множественного регрессионного анализа: матрица является неособенной,т.е. ее определитель не равен нулю. Следовательно, ранг матрицы равен ее порядку, т.е. . Из матричной алгебры известно, что , значит, , т.е. ранг матрицы плана равен числу ее столбцов.
Кроме того, полагают, что число имеющихся наблюдений (значений) каждой из объясняющих переменных превосходит ранг матрицы , т.е. или , ибо в противном случае в принципе невозможно получение сколько-нибудь надежных статистических выводов.
Если матрица коэффициентов нормальных уравнений хорошо обусловлена и обратима, то можно получить решение системы (3.56), например, в виде:
(3.57)
где - обратная матрица, соответствующая условиям:
где - единичная матрица соответствующих размеров.
Зная вектор, модель уравнения множественной регрессии можно представить в виде:
(3.58)
Преобразуем вектор оценок (13.26) с учетом (13.23) получим:
,
Откуда
, (3.59)
т. е. оценки параметров (3.59), найденные по выборке, будут содержать случайные ошибки.
Пример 13.4. Имеются следующие данные (условные) о сменной добыче угля на одного рабочего Y(t), мощности пласта Х\ (м) и уровне механизации работ Х2 (%), характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах.
Таблица 13.6
1 2 3 4 5 |
8 11 12 9 8 |
5 8 8 5 7 |
5 10 10 7 5 |
6 7 8 9 10 |
8 9 9 8 12 |
8 6 4 5 7 |
6 6 5 6 8 |
Предполагая, что между переменными , и существует линейная корреляционная зависимость, найти ее аналитическое выражение (уравнение регрессии , по и .
Решение. Обозначим
, ,
(напоминаем, что в матрицу плана X вводится дополнительный столбец чисел, состоящий из единиц).
Решение системы уравнении найдем методом псевдонормального решения:
, (3.60)
где псевдообратная матрица к исходной матрице .
Псевдообратную матрицу найдем по рекурсивному алгоритму (№№№) и она равна:
Тогда по формуле (13.29) найдем вектор столбец параметров регрессии:
.
С учетом (13.27) уравнение множественной регрессии имеет вид:
. (13.30)
Уравнение множественной регрессии (13.30) показывает, что при увеличении только мощности пласта (при неизменном ) на 1 м, добыча угля на одного рабочего Y увеличивается в среднем на 0,854 т, а при увеличении только уровня механизации работ на 1% (при неизменной ) в среднем на 0,367 т.
Добавление в регрессионную модель новой объясняющей переменной изменило коэффициент регрессии (Y по ) с 1,016 для парной регрессии (см. пример 13.1) до 0,854 — для множественной регрессии. В этом никакого противоречия нет, так как во втором случае коэффициент регрессии позволяет оценить прирост зависимой переменной Y при изменении на единицу объясняющей переменной в чистом виде, независимо от . В случае парной регрессии учитывает воздействие на Y не только переменной , но и косвенно корреляционно связанной с ней переменной . ►
На практике часто бывает необходимо сравнение влияния на зависимую переменную различных объясняющих переменных, когда последние выражаются разными единицами измерения. В этом случае используют стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности :
. (13.31)
. (13.32)
Стандартизованный коэффициент регрессии показывает, на сколько величин изменится в среднем зависимая переменнаяY при увеличении только j-й объясняющей переменной на , а коэффициент эластичности на сколько процентов (от средней) изменится в среднем Y при увеличении только на 1%.