4комплексные_числа
.pdfМодуль 5. Комплексные числа
Определения. Основные понятия.
Комплексными числами называют числа вида z a bi ,
где a и b – действительные числа, которые называются: a – действительная часть комплексного числа (a Re z) ,
b - мнимая часть комплексного числа (b Im z) ,
i – мнимая единица (символ), причем i2=-1.
Множество комплексных чисел обозначают С. Любое действительное число а можно представить в виде комплексного: z=a+0·i
Отношения между комплексными числами
|
|
z1 |
a1 |
b1i, |
|
|
|
z1 и z2 - |
|
|
|
|
|
|
Комплексно - |
|
z2 |
a2 |
b2i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
противоположны, |
|
|
|
z 0 0 i 0 - |
|||||||
спряженные: |
|
|
|
z1 z2 |
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
если |
ноль, |
z 1 0 i 1 - |
||||||||
z1 a bi, |
если |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
z1 |
a bi, |
единица. |
|
||||||||
z2 a bi . |
|
|
a a |
|
, |
|
||||||||
|
|
|
z2 |
a bi . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
b1 b2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Геометрическая интерпретация |
|
|
|
|
|
||||||||
Комплексное число z=a+b·i можно изобразить: |
y |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
- |
точкой М(a;b) |
координатной плоскости; |
b |
|
|
|
М(a,b) |
|||||||
- |
радиус-вектором r=ОМ, проекции |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
r |
|
||||||||||
которого на координатные оси соответственно: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Ox a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Oy b; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хОу – комплексная плоскость; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ох – действительная ось; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оу – мнимая ось.
Модуль r комплексного числа z равен расстоянию от точки М(a;b) до начала координат
z r a2 b2 .
Аргумент комплексного числа – это угол, который образует радиус-вектор с положительным направлением оси Ох :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arg z, |
tg |
b |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||
Главное значение аргумента удовлетворяет условию |
―π < φ < π |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Формы записи комплексных чисел |
|
|
|||||||||||||
Алгебраическая |
|
|
|
|
|
|
Тригонометрическая |
|
|
|
Показательная |
||||||||||
z=a+b·i |
|
|
|
|
|
|
|
z=r(cosφ+i·sinφ) |
|
|
|
z= r· еiφ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы перехода. |
|
|
|
|
||||||||
a= r· cosφ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = r·sinφ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
a2 b2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos |
|
a |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
b |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a2 b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 b2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
r -модуль комплексного числа |
|
z |
|
r a 2 b2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
b |
, a 0; |
|
|
|
|||
a |
||||
φ - аргумент комплексного числа |
|
|
arctg b , a 0.
a
Алгоритм нахождения аргумента
1)определить, в какой четверти находится точка z=a+b·i (использовать геометрическую интерпретацию комплексного числа);
2)найти в этой четверти угол , решив уравнения
|
|
|
|
arctg |
|
b |
, |
|
a 0; |
|
|
|||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a |
|
|
|||||||||
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
arctg |
|
, |
|
a 0. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Действия над комплексными числами в алгебраической форме |
|||||||||||||
Пусть заданы два комплексных числа: z1 |
a1 |
b1i и |
z2 a2 b2i , тогда: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сумма |
z z1 z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
(a1 a2 ) (b1 b2 )i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z z1 z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
Разность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z z1 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z z1 z2 |
(a1 a2 ) (b1 b2 ). |
z |
2 |
z1 z2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Модуль |
| z1 z2 |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изображает расстояние между |
||||||||||
разности |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точками z1 и |
z2 . |
||||||||
(a1 |
a2 )2 |
(b1 b2 )2 . |
||||||||||||||||||||
| z z |
2 |
| |
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Произведение |
z1 z2 |
|
(a1a2 |
b1b2 ) |
Выполняют по правилу умножения |
|||||||||||||||||
|
z1 z2 |
|
(a b |
|
a |
2 |
b ) j. |
|
|
|
многочленов, причем i2 1. |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
комплексно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведение комплексно - |
||||||||
спряженных |
|
z1 z1 |
a |
2 |
b |
2 |
. |
|
спряженных чисел равно сумме |
|||||||||||||
z1 |
a bi |
|
|
|
|
квадратов действительной и мнимой |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
части комплексного числа. |
|||||||||
z1 |
a bi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частное |
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
a1a2 |
b1b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домножают числитель и знаменатель |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
на число, комплексно-спряженное к |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2b1 |
a1b2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
i. |
|
|
|
|
знаменателю. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
b |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пусть заданы два комплексных числа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
r1 (cos 1 |
i sin 1 ) , |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
r2 (cos2 |
i sin 2 ) . |
|
|
|
||||||||
|
Произведение |
|
|
|
z z1 |
z2 |
|
r1 |
r2 |
(cos( 1 2 ) |
|
При умножении модули |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
перемножаются, а аргументы |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z z1 z2 |
|
|
|
|
i sin( )) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
складываются. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Частное |
|
|
|
|
|
|
|
z |
z1 |
|
r1 |
|
(cos( |
|
) |
|
При делении модули делят, |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
z |
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
r |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а аргументы отнимают. |
|
||||||||
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
i sin( 1 |
|
2 )) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При возведении в степень, |
|
||||
|
|
z n |
|
|
|
|
|
|
|
|
z n |
r n (cos n i sin n ) |
|
|
модуль возводят в степень, а |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аргументы умножают на |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
показатель степени. |
|
|
|
||
|
Формула |
|
|
|
|
|
|
(cos i sin )n cosn |
|
r 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Муавра. |
|
|
|
|
|
|
i sin n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Корень n-й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точки, которые |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствуют разным |
|
|
||||||||
|
степени из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
z n |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значениям корня, |
|
|
|
|||||||||||||
|
числа z 0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
2k |
размещаются в вершинах |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n r |
|
|
|
|
|
|
|
i sin |
правильного n - угольника с |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||
|
z0 r0 (cos 0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
центром в точке О и имеют |
|
|||||||||||||||
|
i sin 0 ) |
|
|
|
k 0,1,2,...,n 1. |
|
|
|
|
|
|
|
полярные |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
где z0 zn , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты: (n |
|
, 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
n |
) . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действия над комплексными числами в показательной форме |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
r e j 1 |
, |
|
|
|
z |
2 |
r e j 2 |
, |
|
e 2,7182818 |
... иррационал ьное число . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Эйлера: еiφ=(cosφ+i·sinφ).
|
Следствия: |
cos |
e j |
e j |
sin |
e j |
e j |
|
|||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 j |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведение |
|
|
|
|
z |
= z1 · z2 = r1· r2· ei( 1 2 ) . |
|||||||||||||
z = z1 · z2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Частное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
r1 |
|
|
|
||
z |
z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
ei ( 1 2 ) |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
r2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Возведение в степень. |
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
|
r nein . |
|
|||||||
Извлечение корня n-й степени |
|
|
|
|
|
|
|
ei |
2k |
|
|
|
|||||||
|
|
n r ein |
n |
r |
|
|
n , |
k 0,1,2,..., (n 1). |
Пример І. Изобразить на комплексной плоскости данные числа z1 , z 2 , z3 и выполнить
действия: 1) 3z3 2z2 z1 ; 2) z1 z2 ; 3) z3 : z2 , если z1 5 6i ; z2 2 5i ; z3 4 4i .
Решение
Чтобы построить комплексное число z1 5 6i необходимо на оси Ох отложить 5 –
действительную часть комплексного числа; на оси Оу отложить 6 – мнимую часть (рис. 1). Потом построить вектор, который идет с начала координат к полученной точке. Этот вектор и будет изображением комплексного числа z1 . Аналогично строим z 2 и z3 .
Im |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
6 |
5 |
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4 |
|||||
|
|
|
|
|||||||
- 2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Re z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
- 4
Рис. 1
Выполним следующие действия над комплексными числами z1 , z 2 , z3 :
1.Сложение, вычитание и умножение на число комплексных чисел в алгебраической
форме выполняется по правилам алгебры.
3(4 4i) 2( 2 5i) (5 6i) 12 12i 4 10i
5 6i 3 8i .
2.Умножение двух комплексных чисел выполняется по правилам алгебры, учитывая, что
i2 1:
z1 z2 (5 6i) ( 2 5i) 10 12i 25i 30i2 40 13i .
3. Чтобы поделить два комплексного числа в алгебраической форме нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число, спряженное к знаменателю (комплексноспряженные числа - это такие числа, которые отличаются знаками только мнимой
части). z |
|
: z |
|
(4 4i) : ( 2 5i) |
4 4i |
|
|
|
(4 4i)( 2 5i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 5i |
|
|
( 2 5i)( 2 5i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
8 8i 20i 20i 2 |
|
28 12i |
|
28 |
|
12 |
|
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4 25i 2 |
29 |
29 |
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Нужно учесть, что произведение двух комплексно-спряженных чисел равно сумме |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
квадратов |
соответствующей |
действительности |
и |
коэффициента |
мнимой части, то |
|||||||||||||||||||||||||||||
есть (a bi) (a bi) a 2 b2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 2. Заданы два комплексных числа z |
|
|
3 3i |
, z |
|
|
5 |
|
. |
5 |
|
i |
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. Перейти от алгебраической к тригонометрической и показательной формам |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
комплексного числа; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Выполнить следующие действия: 1) z |
|
|
z |
|
|
|
z |
|
: z |
; 3) (z )6 , 4) 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
; 2) |
|
2 |
z |
2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z a bi , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||
2. |
Тригонометрическая – z r (cos i sin ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||||||||||||
3. |
Показательная – z r ei . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
Чтобы перейти от алгебраической к тригонометрической и показательной форме, нужно определить модуль r и аргумент ( ) комплексного числа по формулам:
r | z | a2 b2 ,
|
b |
, åñëè a 0, |
|
||
arctg |
|
|
|||
a |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
, åñëè a 0 è b 0, |
(5) |
||
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
, åñëè a 0 è b 0, |
|
||
arctg |
|
|
|||
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
где a - действительная часть комплексного числа, b - мнимая часть комплексного числа. |
|
||||
Перейдем |
|
от |
алгебраической формы комплексного числа z1 3 3i к |
||
тригонометрической и показательной форме. |
|
Сначала запишем a 3 , b 3 . По формуле (4) определим модуль комплексного числа z1 :
r1 | z1 | ( 3)2 32 18 32 .
Изобразим комплексное число z1 на комплексной плоскости (рис. 2).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|
Im |
|
|
z |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Из рисунка видно, что аргумент |
|
|
|
3 |
. Найдем значение аргумента по формуле(5). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поскольку a 3 0, то |
|
|
arctg |
b |
|
|
arctg |
3 |
|
arctg1 |
3 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
По формулам |
(2) |
|
и |
(3) соответственно |
запишем |
|
z1 |
в тригонометрической и в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
показательной форме z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
i sin |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
2 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
3 |
|
|
|
|
2 e |
|
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Аналогично представим число z |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
в тригонометрической и в показательной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
форме (рис. 3) a |
|
|
5 |
, b |
|
|
5 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
5 |
|
2 |
|
10 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
| z |
|
|
| |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 53 0 ,
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
arctg |
|
|
|
arctg |
|
|
: |
|
arctg 3 |
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 i |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
z |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
e |
3 . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2.Выполним действия:
1)z1 z2 в тригонометрической форме.
Чтобы умножить два комплексных числа в тригонометрической форме, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z z |
2 |
3 |
2 |
|
cos |
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
i sin |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
10 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3 |
2 |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10 |
|
2 cos |
|
|
i sin |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) z2 : z1 в показательной форме.
Чтобы поделить два комплексных числа в показательной форме, нужно поделить их модули, а аргументы отнять.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
i |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z : z |
|
|
|
|
e |
|
3 |
|
: 3 2e 4 |
|
|
|
|
|
: 3 2 |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
12 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) |
(z )6 |
в тригонометрической форме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы возвести комплексное число в n -ю степень, используется формулу Муавра |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z n r n (cos n i sin n ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(z ) |
|
(3 2) |
|
cos 6 |
|
|
|
|
|
|
|
j sin 6 |
|
|
18 |
|
cos |
|
|
|
j sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
18 |
3 |
|
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
cos |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
В примере учтено то, что cos |
|
|
|
|
|
|
cos 4 |
|
|
|
cos |
|
; |
sin |
|
|
|
|
sin |
4 |
|
|
sin |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4) |
3 z |
2 |
|
|
в показательной форме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы извлечь корень n - й степени из комплексного числа, используется формула
n 3 , k 0,1,2 .
Если k 0 , то
k 1 ; то 1 3 10 3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
z n |
r e |
|
|
n |
|
|
|
, где k 0,1,2,...,(n 1) . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
e |
|
|
10 |
|
||||||||
|
|
3 z |
2 |
|
|
3 |
3 i |
3 |
|
e |
|
3 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
3 |
|
|
|
|
9 i ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
3 |
|
10 |
e |
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
11 |
|||
|
|
|
|
10 |
|
|
10 |
|
||||||||
k 2 то |
2 |
3 |
|
e |
|
3 |
3 |
|
e |
9 |
i . |
|||||
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 2. Найти действительные числа из условия равенства двух комплексных |
||||||||||||||||
чисел: z1 2 5 jx 3 jy; |
|
z2 9 j 2x 4 y. |
Решение
2 5 jx 3 jy 9 j 2x 4y .
Выделим в обеих частях равенства действительные и мнимые части:
2 (5x 3y) j 2x 4 y 9 j.
Используя условие равенства двух комплексных чисел, составим
2x 4 y 2, |
x 3, |
|
систему: |
|
|
|
5x 3y 9; |
y 2. |
|
|
Ответ: x 3, |
y 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Пример 3. Найти модуль и главные значения аргумента комплексных чисел: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z j; |
z 5 j; |
z 1 y; |
z 2 2 j; z 1 3 j; |
|
|
z 3 3 j; |
|
|
z 5. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, так |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
z j |
a 0, |
b 1, z |
|
a2 |
b2 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
как вектор, изображающий комплексное число, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
лежит на положительной полуоси Оу; |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
z 5 j |
a 0, |
b 5. |
| z | |
|
|
02 ( 5)2 |
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 , так как вектор, изображающий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
комплексное число, лежит на отрицательной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
полуоси Оу; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) z 1 j a 1, |
b 1. r | z | 12 12 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
M (1;1) |
|
|
|
||||
|
|
arctg |
arctg 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) |
z 2 2 j a 2, |
b 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
22 ( 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
r | z | |
|
2 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
arctg |
|
2 |
arctg( 1) ; |
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
д) |
z 1 3 j a 1, |
|
|
b |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
r | z | ( 1)2 ( |
|
3)2 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
arctg |
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
|
|
|
|
|
х |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
или |
|
3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
е) |
z 3 3 j a 3, |
|
b 3. |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
r | z | ( 3)2 |
( 3)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
18 3 |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
arctg 3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
є) |
z 5 a 5, |
b 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r | z | |
5 |
2 |
|
0 |
2 |
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
X |
||||
|
Пример 4. Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
а) j16 j 4 4 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) ( j)7 j 7 j 4 3 ( j) j; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
б) j 25 j 4 6 1 j; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) ( j)8 j 8 j 4 2 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|