4комплексные числа
.doc
Модуль 5. Комплексные числа
Определения. Основные понятия.
Комплексными числами называют числа вида ,
где a и b – действительные числа, которые называются:
a – действительная часть комплексного числа ,
b - мнимая часть комплексного числа ,
i – мнимая единица (символ), причем i2=-1.
Множество комплексных чисел обозначают С. Любое действительное число а можно представить в виде комплексного: z=a+0·i
Отношения между комплексными числами
Комплексно - спряженные: . |
, если |
и - противоположны, если . |
- ноль, - единица. |
Геометрическая интерпретация
Комплексное число z=a+b·i можно изобразить:
-
точкой М(a;b) координатной плоскости;
-
радиус-вектором r=ОМ, проекции
x
хОу – комплексная плоскость;
Ох – действительная ось;
Оу – мнимая ось.
Модуль r комплексного числа z равен расстоянию от точки М(a;b) до начала координат
.
Аргумент комплексного числа – это угол, который образует радиус-вектор с положительным направлением оси Ох :
Главное значение аргумента удовлетворяет условию ―π < φ < π
Формы записи комплексных чисел
Алгебраическая |
Тригонометрическая |
Показательная |
z=a+b·i |
z=r(cosφ+i·sinφ) |
z= r· еiφ |
Формулы перехода.
a= r· cosφ |
b = r·sinφ |
; |
|
; |
, |
r -модуль комплексного числа
φ - аргумент комплексного числа
Алгоритм нахождения аргумента
-
определить, в какой четверти находится точка z=a+b·i (использовать геометрическую интерпретацию комплексного числа);
-
найти в этой четверти угол , решив уравнения
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Пусть заданы два комплексных числа: и , тогда:
Сумма
|
|
|
Разность
|
|
|
Модуль разности |
Изображает расстояние между точками и . |
|
Произведение |
Выполняют по правилу умножения многочленов, причем |
|
Произведение комплексно-спряженных |
. |
Произведение комплексно - спряженных чисел равно сумме квадратов действительной и мнимой части комплексного числа. |
Частное |
Домножают числитель и знаменатель на число, комплексно-спряженное к знаменателю. |
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
Пусть заданы два комплексных числа:
,
.
Произведение |
При умножении модули перемножаются, а аргументы складываются. |
|
Частное |
При делении модули делят, а аргументы отнимают. |
|
При возведении в степень, модуль возводят в степень, а аргументы умножают на показатель степени. |
||
Формула Муавра. |
|
|
Корень n-й степени из числа
где |
Точки, которые соответствуют разным значениям корня, размещаются в вершинах правильного n - угольника с центром в точке О и имеют полярные координаты:. |
Действия над комплексными числами в показательной форме
.
Формула Эйлера: еiφ=(cosφ+i·sinφ).
Следствия:
Произведениеz = z1 · z2 |
z = z1 · z2 = r1· r2· . |
Частное . |
. |
Возведение в степень. |
|
Извлечение корня n-й степени |
Пример І. Изобразить на комплексной плоскости данные числа , , и выполнить действия: 1) ; 2); 3) , если ; ; .
Решение
Чтобы построить комплексное число необходимо на оси Ох отложить 5 – действительную часть комплексного числа; на оси Оу отложить 6 – мнимую часть (рис. 1). Потом построить вектор, который идет с начала координат к полученной точке. Этот вектор и будет изображением комплексного числа . Аналогично строим и .
Рис. 1
Выполним следующие действия над комплексными числами ,,:
1. Сложение, вычитание и умножение на число комплексных чисел в алгебраической форме выполняется по правилам алгебры.
.
2. Умножение двух комплексных чисел выполняется по правилам алгебры, учитывая, что :
.
3. Чтобы поделить два комплексного числа в алгебраической форме нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число, спряженное к знаменателю (комплексно-спряженные числа - это такие числа, которые отличаются знаками только мнимой части).
.
Нужно учесть, что произведение двух комплексно-спряженных чисел равно сумме квадратов соответствующей действительности и коэффициента мнимой части, то есть.
Пример 2. Заданы два комплексных числа , .
1. Перейти от алгебраической к тригонометрической и показательной формам комплексного числа;
2. Выполнить следующие действия: 1) ; 2) ; 3) , 4) .
Решение
1. Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид
, (1)
2. Тригонометрическая – , (2)
3. Показательная –. (3)
Чтобы перейти от алгебраической к тригонометрической и показательной форме, нужно определить модуль и аргумент комплексного числа по формулам:
, (4)
(5)
где - действительная часть комплексного числа, - мнимая часть комплексного числа.
Перейдем от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и показательной форме.
Сначала запишем , . По формуле (4) определим модуль комплексного числа :
.
Изобразим комплексное число на комплексной плоскости (рис. 2).
Рис. 2.
Из рисунка видно, что аргумент . Найдем значение аргумента по формуле(5). Поскольку , то .
По формулам (2) и (3) соответственно запишем в тригонометрической и в показательной форме ,
.
Аналогично представим число в тригонометрической и в показательной форме (рис. 3) , .
.
Рис. 3
,
.
.
2. Выполним действия:
1) в тригонометрической форме.
Чтобы умножить два комплексных числа в тригонометрической форме, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить:
.
2) в показательной форме.
Чтобы поделить два комплексных числа в показательной форме, нужно поделить их модули, а аргументы отнять.
.
3) в тригонометрической форме.
Чтобы возвести комплексное число в -ю степень, используется формулу Муавра .
.
В примере учтено то, что ; .
4) в показательной форме.
Чтобы извлечь корень - й степени из комплексного числа, используется формула , где .
.
, .
Если , то ;
; то .
то .
Пример 2. Найти действительные числа из условия равенства двух комплексных чисел:
Решение
.
Выделим в обеих частях равенства действительные и мнимые части:
Используя условие равенства двух комплексных чисел, составим систему:
Ответ:
Пример 3. Найти модуль и главные значения аргумента комплексных чисел:
Решение
а) , так как вектор, изображающий комплексное число, лежит на положительной полуоси Оу;
б) так как вектор, изображающий комплексное число, лежит на отрицательной полуоси Оу;
в)
г)
д)
или
е)
є)
.
Пример 4. Вычислить:
а) |
в) |
б) |
г) |