Дифф_Исчисление_11
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»
Применение производных в экономике и исследование функций
Методические указания по курсу “Математика”
для студентов всех специальностей факультета экономики и управления
Екатеринбург 2013
1
УДК 517.1
Составители: О.Я. Шевалдина
Научный редактор: канд. физ.-мат. наук В.И. Максимов
Задачи экономики в курсе математического анализа: Методические указания по курсу «Математика», «Математический анализ» для студентов экономических / О.Я. Шевалдина. Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ – УПИ», 2008. 34 с.
Методические указания содержат кратко изложенный теоретический мате- риал, типовые задачи, рекомендации к их решению по теме «Исследование функ- ций с помощью производных. Приложение производной в экономической теории» курса «Математика». Приводятся простейшие приложения математики в экономи- ке (предельный анализ, эластичность функций, максимизация прибыли, оптимиза- ция налогообложения предприятий и др.). Предлагаются задачи для самостоятель- ной работы студентов (в том числе, с экономическим содержанием). Наряду с тра-
диционными упражнениями приводятся тестовые задания открытой и закрытой формы. Теоретические сведения, а также набор предлагаемых задач можно ис- пользовать в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов, при про- ведении контрольных работ, собеседований и экзаменов. Методические указания
предназначаются для студентов всех специальностей факультета экономики и управления.
Подготовлено кафедрой «Анализ систем и принятия решений»
ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ» , 2008
2
ЛЕКЦИЯ 8. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ØПроизводная функции в точке. Геометрический смысл. Уравнения касатель- ной (и нормали). Бесконечные производные. Односторонние производные
ØДифференцируемость функции одной переменной
üОпределение функции, дифференцируемой в точке
üНеобходимое и достаточное условие дифференцируемости
üТеорема о непрерывности дифференцируемой функции в точке Ø Правила вычисления производных
ØДифференцирование сложной функции
ØДифференцирование обратной функции
ØПроизводные некоторых элементарных функций (таблица производных)
8.1 Производная функции одной переменной
Производная функции в точке |
|
|
Пусть функция f : X → R определена на множестве Х и x0 X |
– предель- |
|
ная точка множества Х. Для любой точки x X приращение |
x определяется |
|
формулой x := x − x0 . Приращением функции y = f (x) в точке |
x0 |
называется |
функция аргумента x :
y = f (x0 ):= f (x0 + x)− f (x0 ).
Определение.
Если существует предел
lim |
y |
, |
x→0 |
x |
|
то значение этого предела называют производной функции y = f (x) в точке x0 ,
обозначают y'(x0 ) или f ′(x0 ) и говорят, что функция f имеет в точке x0 произ-
водную.
3
Используются и другие символические обозначения производной:
|
′ |
, f |
′ |
|
′ |
& |
|
|
|
dy |
, |
df (x) |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y |
(x), |
|
yx |
, yx , |
|
|
dx |
dx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Лагранж |
|
Ньютон |
|
Лейбниц |
|
|||||||||
(1736–1813) |
(1642–1727) |
(1646–1716) |
Жозеф – Луи Лагранж (1736–1813 гг.) – знаменитый французский математик и механик.
Ньютон
Лейбниц
Так как x = x − x0 , то x = x0 + x, и приращение функции f в точке x0 имеет вид Dy = Df (x0 )= f (x)- f (x0 ).
Определениепроизводной можно записать также в виде формулы
|
|
|
|
f ′(x0 )= |
lim |
|
f (x)− f (x0 ) |
|
, |
|
|
(8.1.1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
если предел (8.1.1) существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 8.1. Найдем производную функции y = sin x в любой точке x об- |
||||||||||||||||||
ласти определения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
+ |
Dx ö |
Dx |
|
||||
|
sin(x + Dx)- sin x é0 |
ù |
|
|
|
2 cosç x |
2 |
÷sin |
2 |
|
||||||||
¢ |
|
|
è |
|
|
|
ø |
= cos x . |
||||||||||
|
|
|
|
= ê |
|
ú = |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y (x) = lim |
|
Dx |
|
|
|
|
|
Dx |
|
|
||||||||
x→0 |
|
ë0 |
û |
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно, |
функция |
y = sin x имеет в каждой точке x производную |
(sin x)′ = cos x.
Экономисты используют для обозначения производной также символ
Mf (x0 ) (т. е. Mf (x0 ):= f '(x0 )) и термин маржинальное значение функции в точке
x0.
Физический смысл производной
Производная f ′(x0 ) – скорость изменения функции в точке x0 . В частности,
4
если x – время, y = f (x) – координата точки, движущейся по прямой в момент x ,
то f ′(x0 ) – мгновенная скорость точки в момент времени x0 .
Геометрический смысл производной. Связь с существованием
касательной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть Γ − график функции y = f (x); A (x0, f (x0 )), |
B (x0 + x, f (x0 + x)) – |
||||||||
две точки графика функции Γ (рис. 8.1). |
|
|
|
|
|||||
Угол между секущей АВ и осью Ох обозначим ϕ( |
x). |
||||||||
|
y |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
B |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ0 |
ϕ( |
x) |
|
|
x |
|
|
||
|
|
x0 + |
|
|
|||||
|
0 |
x0 |
|
|
x |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
Рис. 8.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если существует lim ϕ( |
x)= ϕ |
0 |
, |
то прямая l |
с угловым коэффициентом |
||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k = tg ϕ0 , проходящая через точку A (x0 , f (x0 )), называется касательной к графи-
ку функции y = f (x) в точке A.
ТЕОРЕМА. График функции f имеет в точке A (x0 , f (x0 )) касательную то-
гда и только тогда, когда функция y = f (x) имеет в точке x0 производную f ′(x0 ).
Доказательство.
Необходимость. Пусть lim ϕ( |
x) = ϕ |
0 |
. Так как функция tg ϕ непрерывна, |
x→0 |
|
|
|
|
5 |
|
|
то lim tgϕ( x) = tg ϕ |
0 |
. Но |
y = tgϕ( x). Поэтому lim |
y |
, то есть функция |
f |
|||||
x→0 |
|
x |
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
имеет в точке x0 конечную производную f ′(x0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Достаточность. |
|
Если |
существует |
f ′(x |
|
), то |
есть lim |
y , |
то |
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
→0 |
x |
|
lim tg ϕ( x). Так как функции tg t , arctgt |
непрерывные, то lim ϕ( |
x), то есть |
|||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
существует касательная к графику функции в точке (x0 , f (x0 )).
Замечание. Так как |
y |
= tg ϕ( x), то при x → 0 получаем f ′(x0 )= tgϕ0 . |
|
x |
|||
|
|
|
|
Таким образом, f ′(x0 ) |
|
– это тангенс угла наклона касательной к графику |
|
функции y = f (x) в точке (x0 , |
f (x0 )). |
||
|
|
|
|
Уравнения касательной и нормали
Найдем уравнение касательной. Будем искать его в виде y = kx + b . Так как
A Γ, то f (x0 )= kx0 + b , откуда b = f (x0 )− k x0 . Поскольку угловой коэффициент касательной k = f ′(x0 ), то ее уравнение имеет вид
y = f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 ) .
Определение.
Нормалью к графику функции f (x) в точке x0 называется прямая, прохо-
дящая через точку M (x0 , f (x0 )) перпендикулярно касательной в этой точке.
Угловой коэффициент нормали связан с угловым коэффициентом касатель-
ной формулой
kн = − |
1 |
|
. |
|
f ′(x0 ) |
||||
|
|
Уравнение нормали к графику функции в точке M (x0 , f (x0 )) :
6
|
|
y = - |
1 |
|
(x - x )+ f (x ) |
. |
|
||||
|
f ¢(x0 ) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бесконечные производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если функция f |
непрерывна в точке x |
0 |
и |
lim |
|
y |
равен + ∞ или − ∞, то |
||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 Dx |
|
|||
говорят, что функция |
y = f (x) имеет в точке |
|
x0 |
бесконечную производную (рав- |
ную + ∞ или − ∞ соответственно). В этом случае касательная к графику функции
в точке A параллельна оси Oy ( tg ϕ0 = ∞ ) и ее уравнение x = x0 (так как она про- ходит через точку (x0 , f (x0 ))).
Пример 8.2. Рассмотрим функцию |
y = |
|
|
x |
|
|
, x0 = 0 . Имеем |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
Dx |
|
|
- 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y (0) = lim |
|
|
|
|
|
|
= ¥ Þ x = 0 – вертикальная касательная к графику функции |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Dx |
|||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 8.2).
у
y
1
0 |
1 8 |
1 |
х |
|
-1 |
0 |
1 |
x |
|
Рис. 8.2 Рис. 8.3
Пример |
|
8.3. Рассмотрим функцию |
f (x) = 3 |
|
, x = 0. Имеем: |
|||
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
||
3 |
|
- 0 |
|
|
|
|
||
Dx |
|
|
|
|
||||
¢ |
|
|
|
|
= +¥ . Следовательно, прямая |
x = 0 – вертикальная касатель- |
||
|
|
|
|
|||||
y (0)= lim |
|
Dx |
||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
ная к графику функции (рис. 8.3).
7
Односторонние производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пусть f : X → R определена на множестве X и |
x0 |
– предельная точка |
|||||||||||||||||
X I {x X : x < x0 ( X I {x X : x > x0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если существует |
|
lim |
|
y |
= |
lim |
f (x)− f (x0 ), то его называют левой про- |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→−0 x |
x |
→ x0 −0 |
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
изводной функции |
f |
в точке x0 и обозначают |
f−′(x0 )= f ′(x0 − 0). |
|
|
||||||||||||||
Аналогично |
f |
′ |
(x |
|
)= f |
′ |
|
+ 0) := lim |
y |
. Число |
f |
|
′ |
(x )= f |
′ |
(x + 0) (если |
|||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
+ |
|
0 |
|
|
0 |
|
x |
→+0 |
x |
|
|
+ |
|
0 |
|
0 |
|
оно существует), называется правой производной функции |
f |
|
|
в точке x0 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
ТЕОРЕМА. Пусть x0 |
– предельная точка X . Функция f (x) |
|
имеет произ- |
водную в точке x0 тогда и только тогда, когда f−′(x0 ), f+′(x0 ), причем f−′(x0 )= f+′(x0 ).
Пример 8. 4. f (x) = x . x0 = 0 .
Имеем: lim |
|
|
x |
|
− 0 |
= −1 = f ′(0), |
lim |
|
|
|
|
x |
|
− 0 |
= +1 = f ′(0). |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x→−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
x→+0 |
|
|
|
|
|
x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Так как f−′(0)¹ f+′ (0), функция |
|
x |
|
не имеет производной в нуле. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 8.5. Пусть y := x |
|
x |
|
. Выясним, существует ли производная этой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции в точке x0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Имеем: y'(x ) = lim |
(x0 + |
|
x) |
x0 + |
x |
|
− x0 |
|
x0 |
|
= lim |
x |
|
x |
|
|
|
= lim |
|
x |
|
= 0. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x |
x→0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Итак, функция y = x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
в точке x0 = 0 имеет производную |
y (0)= 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Пример 8.6. |
f (x) = íïx sin |
|
|
|
, x ¹ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î0, x = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
lim xsin |
|
1 |
= 0 = f (0), то есть |
f (x) непрерывна в точке x = 0. Однако |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Dx sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
¢ |
|
|
Dx |
|
= lim sin |
|
|
|
не существует. |
Действительно, если |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
f (0) = lim |
Dx |
|
|
|
Dx |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
= p n Þ sin |
1 |
= 0, а если |
|
1 |
|
= |
π + 2pn Þ sin |
|
1 |
|
=1, следовательно, предел по |
|||||||||||||
|
Dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Dx |
|
|
|
|
Dx |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Гейне не существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
8.2 Дифференцируемость функции одной переменной |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Определение функции, дифференцируемой в точке |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
Функция |
|
f : X → R, определенная на множестве |
X R , |
называется диф- |
||||||||||||||||||||
ференцируемой в точке x0 X , предельной для множества X , |
если существует |
||||||||||||||||||||||||||
такая линейная относительно приращения |
x = x − x0 функция A× Dx ( A – некото- |
||||||||||||||||||||||||||
рое число), что приращение |
f (x0, |
x) функции |
|
f |
представимо в виде |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Df (x0 , Dx)= A× Dx + a(Dx)Dx, |
|
Dx ® 0 |
(8.2.1) |
|||||||||||||
где |
lim α( x)= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Так как α( x) x = o( x), то (8.2.1) можно записать в виде |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dy = Df (x0 )= A× Dx + o(Dx), Dx ® 0 . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
ТЕОРЕМА. Для того чтобы функция |
f |
была дифференцируемой в точке |
x0 , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производ-
ную.
9
Доказательство.
Необходимость. Пусть функция |
f дифференцируема в точке x0 . Тогда ее |
|||
приращение можно представить в виде (8.2.1). Имеем |
||||
lim Dy |
= lim |
A× Dx + a(Dx)Dx |
= lim (A + a(Dx))= A . |
|
|
||||
x→0 Dx |
x→0 |
Dx |
|
x→0 |
Следовательно, производная f ′(x0 ) существует и f ′(x0 )= A.
Достаточность. Пусть конечная производная f ′(x0 )= A. Тогда по опреде-
лению производной lim Dy = A . Положим
x→0 Dx
ìDy |
|
|
|
|
|
a(Dx):= íïDx |
- A, |
Dx ¹ 0, |
(8.2.2) |
||
ï |
0, |
Dx = 0. |
|
||
î |
|
Функция α(x) |
является бесконечно малой при |
x → 0. Действительно, |
||
lim a(Dx)= |
æ Dy |
ö |
из |
(8.2.2) вытекает |
lim ç |
- A÷ = A - A = 0 . Кроме того, |
|||
x→0 |
x→0è Dx |
ø |
|
|
Dy = A× Dx + a(Dx)Dx . |
Тем самым доказано, что функция |
f |
дифференцируема в |
|
точке x0 . |
|
|
|
|
ТЕОРЕМА о непрерывности дифференцируемой функции в точке
Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x0 , |
то она непрерывна в |
этой точке. |
|
|
|
Доказательство. |
|
Из (8.2.1) вытекает lim Dy = 0, то есть функция f (x) |
непрерывна в точке |
x→0 |
|
x0 . |
|
10