28.Степінь та Показникова функція
.docxПлан-конспект уроку
З алгебри та початків аналізу
Для групи С-21
Тема уроку. Узагальнення поняття степеня. Показникова функція, її графік і властивості.
Мета уроку: Формування поняття степеня з раціональним показником, степінь з ірраціональним показником. Засвоєння учнями поняття показникової функції, її властивостей і графіка.
Обладнання. Таблиця «Показникова функція».
Хід уроку
II. Повторення і систематизація знань учнів про степінь з натуральним і цілим показником.
Повторення і систематизацію знань учнів про степінь із натуральним і цілим показником рекомендується провести шляхом бесіди з використанням таблиці 17.
Таблиця 17
Степені
|
|
з натуральним показником: а1 = а (а R) аn = а · а · ... · а п N, п > 2
|
з цілим показником а0 = 1, а ≠ 0 а-n = , а ≠ 0, n N
|
Властивостіаm · аn = am + n аm : аn = am – n (аm)n = аmn (аb)n = anbn ; |
III. Формування поняття:
1. Степеня з дробовим показником.
Введемо поняття степеня з дробовим показником. Вводячи це поняття, хотілося би, щоб степінь з раціональним показником мав ті самі властивості, що й степінь із цілим показником. Зокрема, n-й степінь числа повинен дорівнювати аm. Якщо ця властивість виконується, то – а це означає (за означенням кореня п-го степеня), що число повинно бути коренем п-го степеня із числа аn.
!Степенем числа а > 0 з раціональним показником , де mZ, пN (п>1) називається число .
Отже, = .
Виконання вправ
1. Подайте вирази у вигляді степеня з раціональним показником:
а) ; б) ; в) ; г) .
Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) .
2. Подайте вирази у вигляді кореня із числа чи виразу:
а) ; б) 5; в) 6; г) 3.
Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) .
3. Обчисліть:
а) ; б) ; в) ; г) .
Відповідь: а) 3; б) 3; в) 4; г) 27.
2. Вивчення властивостей степенів з раціональним показником.
Для будь-яких раціональних чисел р і q і будь-яких додатних а і b справедливі рівності:
аp · аq = ap +q; аp : аq = ap – q ; (аp)q = аpq ; (аb)p = apbp; . |
Для доведення цих властивостей треба скористатися означенням степеня з раціональним показником і властивостями коренів. Доведемо першу рівність: нехай , , тоді
Останні рівності доводяться аналогічно.
Виконання вправ: №283, 286.
3. Сприймання поняття про степінь з ірраціональним показником.
Розглянемо степінь з ірраціональним показником . Ірраціональне число можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу.
Розглянемо послідовність наближень числа :
1 < < 2,
1,4 < < 1,5,
1,41 < < 1,42,
1,414 < < 1,415,
1,4142 < < 1,4143,
…
За допомогою калькулятора знайдемо наближені значення степенів числа 10 з недостачею і надлишком, тоді матимемо:
10 = 101 < < 102 = 100,
25,119 101,4 < < 101,5 31,623,
25,704 101,41 < < 101,42 26,303,
25,942 101,414 < < 101,415 26,002 ,
25,953 101,4142 < < 101,4143 25,960 ,
Наведені значення з недостачею і надлишком наближаються до одного і того самого числа = 25,9..., яке і прийнято вважати степенем числа 10 з показником .
Таким чином, ми розширили поняття степеня на будь-які дійсні показники, зберігаючи при цьому властивості степенів.
4. Сприймання поняття про показникові функцію.
!Функція виду у = ах, де а > 0, а ≠ 1, називається показниковою (з основою а).
Властивості показникової функції записати в робочому зошиті у вигляді таблиці 19
Таблиця 19
Показникова функція у = ах, а > 0, а ≠ 1
|
|
а > 1 |
0 < а < 1 |
1. D(y) = R 2. Е(у) = (0; + ) 3. Зростає x1 > x2 > 4. Якщо х = 0, то у = 1 5. Якщо х < 0, то у < 1 6. Якщо х > 0, то у > 1 |
1. D(y) = R 2. E(y) = (0; +). 3. Спадає x1 > x2 < 4. Якщо х = 0, то у = 1 5. Якщо х < 0, то у > 1 6. Якщо х > 0, то у < 1 |
Враховуючи вищезазначене, можна зробити висновки.
1. Область визначення показникової функції — множина R дійсних чисел, бо степінь aх, де а > 0, визначений для всіх х R.
2. Множина значень показникової функції — множина всіх додатних дійсних чисел.
3. Показникова функція у = aх є зростаючою на множині дійсних чисел, якщо а > 1, і спадною, якщо 0 < а < 1.
4. Якщо х = 0, то у = а° = 1.
5. Якщо х > 0, то у > 1, якщо а > 1, і у < 1, якщо 0 < а < 1.
6. Якщо х < 0, то у < 1, якщо а > 1, і у > 1, якщо 0 < а < 1.
7. Графіком показникової функції є крива, яка називається експонентою.
Усне виконання вправ
1. Які із поданих функцій є показниковими:
а) у = 2х; б) у = х3; в) у = (-5)х; г) у = ()х; д) у = (0,3)х; е) у = πх?
Відповідь: а); г); д); е).
2. Наведіть приклади показникових функцій.
Почнемо вивчення показникових функцій з функції у = 2х. Складемо таблицю значень функції:
х |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
у = 2х |
1 |
2 |
4 |
8 |
Побудуємо на координатній площині точки з таблиці і з'єднаємо ці точки плавною лінією. Одержимо графік функції у = 2х (рис. 142).
Показникова функція у = 2х має властивості:
1. Область визначення — множина всіх дійсних чисел.
2. Область значень — множина всіх додатних чисел.
3. Функція у = 2х — зростаюча на множині всіх дійсних чисел.
4. Графік функції перетинає вісь у в точці(0; 1).
Усне виконання вправ
1. Чи є серед значень функції у = 2х:
а) найбільше; б) найменше? Відповідь: ні.
2. Порівняйте значення виразів:
а) і ; б) 2-3 і 2-4; в) і .
Відповідь: а) < ; б) 2-3 > 2-4; в) > .
3. Розташуйте числа ; ; ; ; у порядку зростання.
Відповідь: ; ; ; ; .
4. Порівняйте х і у, якщо відомо, що вірна нерівність:
а) 2х > 2у; б) 2х < 2у. Відповідь: а) х > у; б) х < у.
5. На рисунку 86 із підручника зображено графіки функцій у = 2х і у = 3х. Чим відрізняються ці функції? Їхні графіки?
Відповідь: ці функції мають одинакові властивості, функція у = 3х зростає більш швидше (графік цієї функції піднімається вгору більш круто).
2. Порівняйте значення виразів:
а) і ; б) і ; в) і ; г) і ; д) і .
Відповідь:
а) >; б) =; в) >; г) <; д) <.
3. Розташуйте числа , , , , у порядку зростання.
Відповідь: , , , , .
4. Порівняйте х і у, якщо відомо, що вірна нерівність: а)>; б)>;
Відповідь: а) х < у; б) х > у.
5. Чим відрізняються властивості і графіки функцій у = і у= ?
Відповідь: вони мають однакові властивості, функція у = спадає більш швидше.
Усне виконання вправ
1. Які з наведених показникових функцій є зростаючими, а які — спадними:
а) y = πx ; б) y = (0,5)x; в) у = ; г) y = 2-x.
2. Порівняйте х і у, якщо відомо, що вірна нерівність:
а) 0,02х < 0,02y; б) πx > πy.
Відповідь: а) х > у; б) x < у.
3. Порівняйте основу а > 0 з одиницею, якщо відомо, що вірна нерівність:
а) а10 > а15; б) а10 < а15.
Відповідь: а) а > 1; б) 0 < а < 1.
V. Підсумок уроку.
VI. Домашнє завдання.
-
Побудувати графік функції у = .
-
Порівняйте значення виразів:
а) i ; б) і .