prakt_2
.docПрактическая работа №2
«Дифференциал функции»
Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме.
Вопросы теории (исходный уровень):
-
Применение производных для исследования функций на экстремум.
-
Дифференциал функции, его геометрический и физический смысл.
-
Полный дифференциал функции многих переменных.
-
Состояние организма как функция многих переменных.
-
Приближенные вычисления.
-
Нахождение частных производных и полного дифференциала.
-
Примеры использования указанных понятий в фармакокинетике, микробиологии и др.
(самостоятельная подготовка)
Содержание занятия:
1. ответить на вопросы по теме занятия;
2. решить примеры.
Примеры
Найти дифференциалы следующих функций:
1)
|
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
10)
|
11) |
12)
|
13) |
14) |
15) |
16) |
17) |
18) |
19) |
20) |
|
Тема
Применение производных для исследования функций
Условие возрастания функции y = f(x) на отрезке [а, b]
f'(x)>0
Условие убывания функции y=f(x) на отрезке [а, b]
f'(x)<0
Условие максимума функции y=f(x) при x= а
f'(a)=0 и f'' (a)<0
Если при х=а производные f'(а) = 0 и f"(а) = 0, то необходимо исследовать f'(x) в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х) при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f'(x) меняет знак с «+» на «-», в случае минимума — с « - » на «+» Если f'(x) не меняет знака при переходе через точку х = а, то в этой точке у функции экстремума нет
Дифференциал функции.
Дифференциал независимой переменной равен ее приращению:
dx=Δx
Дифференциал функции y=f(x)
dy = у' Δх.
Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v
dy=du±dv.
Дифференциал произведения двух функций у=uv
dy = vdu-\-udv.
Дифференциал частного двух функций y=u/v
dy=(vdu-udv)/v2
Приращение функции
Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f'(x) • Δx
где Δx: — приращение аргумента.
Приближенное вычисление значения функции:
f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x) • Δx
Применениедифференциала в приближенных вычислениях
Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и относительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z .). Абсолютная погрешность результата измерения
du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…
Относительная погрешность результата измерения
du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.
Дифференциал функции как главная часть приращения функции. С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции. Пусть функция f(x) непрерывна при данных значениях х и имеет производную
f/x = f(x) + (x), откуда приращение функции f = f(x)x + (x)x, где (х) 0 при х 0. Определим порядок бесконечно малой f(x)x по отношению к бесконечно малой х.:
Следовательно, бесконечно малые f(x)x и x имеют одинаковый порядок малости, то есть f(x)x = Ox.
Определим порядок бесконечно малой (х)х по отношению к бесконечно малой х:
Следовательно, бесконечно малая (х)х имеет более высокий порядок малости по сравнению с бесконечно малой х, то есть (х)х = ох.
Таким образом, бесконечно малое приращение f дифференцируемой функции может быть представлено в виде двух слагаемых: бесконечно малой f(x)x одинакового порядка малости с х и бесконечно малой (х)х более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой х. Это означает, что в равенстве f=f(x)x + (x)x при х 0 второе слагаемое стремится к нулю «быстрее», чем первое, то есть (х)х = оf(x)x.
Первое слагаемое f(x)x, линейное относительно х, называют дифференциалом функции f(x) в точке х и обозначают dy или df (читается «дэ игрек» или «дэ эф»). Итак,
dy = df = f(x)x.
Аналитический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал функции есть главная часть приращения функции f, линейная относительно приращения аргумента x. Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем x. Действительно, f=f(x)x + (x)x или f = df + (x)x. Дифференциал аргумента dx равен его приращению x: dx=x.
Пример. Вычислить значение дифференциала функции f(x) = x3 + 2x, когда х изменяется от 1 до 1,1.
Решение. Найдем общее выражение для дифференциала этой функции:
Подставляя значения dx=x=1,1–1= 0,1 и x = 1 в последнюю формулу, получим искомое значение дифференциала: dfx=1; = 0,5.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ.
Частные производные первого порядка. Частной производной первого порядка функции z = f(x,y) по аргументу х в рассматриваемой точке (х; у) называется предел
если он существует.
Частная производная функции z = f(x, y) по аргументу х обозначается одним из следующих символов:
Аналогично частная производная по у обозначается и определяется формулой:
Так как частная производная – это обычная производная функции одного аргумента, то ее нетрудно вычислить. Для этого нужно пользоваться всеми рассмотренными до сих пор правилами дифференцирования, учитывая в каждом случае, какой из аргументов принимается за «постоянное число», а какой служит «переменной дифференцирования».
Замечание. Для нахождения частной производной, например по аргументу х – df/dx, достаточно найти обыкновенную производную функции f(x,y), считая последнюю функцией одного аргумента х, а у – постоянной; для нахождения df/dy – наоборот.
Пример. Найти значения частных производных от функции f(x,y) = 2x2+ y2 в точке Р(1;2).
Решение. Считая f(x,y) функцией одного аргумента х и пользуясь правилами дифференцирования, находим
В точке Р(1;2) значение производной
Считая f(x;y) функцией одного аргумента у, находим
В точке Р(1;2) значение производной
ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТА:
Найдите дифференциалы следующих функций:
-
y=
-
y=
Решить следующие задачи:
-
На сколько уменьшится площадь квадрата со стороной х=10см, если сторону уменьшить на 0,01 см?
-
Дано уравнение движения тела: y=t3/2+2t2, где s – выражено в метрах, t-в секундах. Найти путь s, пройденный телом за t=1,92 с от начала движения.
ЛИТЕРАТУРА
-
Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики - М.: «Вышэйшая школа», 1978.C198-226.
-
Бейли Н. Математика в биологии и медицине. Пер. с англ. М.: «Мир», 1970.
-
Ремизов А.Н., Исакова Н.Х., Максина Л.Г. Сборник задач по медицинской и биологической физике – М.: «Высшая школа», 1987. С16-20.