- •Практическая работа №7 «Основы математической статистики. Элементы корреляционного анализа»
- •Задачи и примеры Определить соответствие вариационного распределения измеренной величины нормальному закону распределения
- •(Ординаты нормальной кривой)
- •Лекция 2.
- •Математическая статистика
- •§3.1. Основные понятия математической статистики
- •§ 3.2. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
- •§3.3. Проверка гипотез
- •§ 3.4. Корреляционная зависимость. Уравнения регрессии
Практическая работа №7 «Основы математической статистики. Элементы корреляционного анализа»
Цель занятия: Научиться решать примеры и задачи по данной теме
Вопросы теории ( исходный уровень)
Основные понятия математической статистики
Генеральная совокупность и выборка.
Вариационный и интервальный статистические ряды.
Полигон частот и гистограмма.
Точечная и интервальная оценка параметров генеральной совокупности по данным выборки.
Порядок статистической обработки экспериментальных данных.
Статистическая обработка данных лабораторного эксперимента.
Теория погрешностей.
Обработка результатов непосредственных и косвенных измерений
Правила оформления результатов лабораторных работ.
Элементы корреляционного анализа (лекция №2)
Содержание занятия:
1.ответить на вопросы по теме занятия
2.решить примеры
Задачи и примеры Определить соответствие вариационного распределения измеренной величины нормальному закону распределения
Произвести измерения N величин и записать результаты измерений в протокол.
По результатам измерений построить вариационный ряд.
2.1.- в измеренных величинах найти величину ( хmin) с наименьшим значением и величину (хmax) с наибольшим значением.
2.2.-определить размах вариации R , представляющий собой разность между максимальной и минимальной вариантами совокупности ( R = xmax- xmin).
2.3.-по числу элементов совокупности N определим число классов К на которые следует разбить совокупность измеренных величин. При N≤100 К определим по формуле
K= 1+3,32 lg N, при N›100 К определим по формуле K= 5 lg N .
2.4.-определить величину классового интервала λ , как частное от деления размаха вариации R на число классов К , λ =R/К = (xmax- xmin)/ К.
Если окажется , что λ=1, собранный материал распределяется в безынтервальный вариационный ряд; если λ≠1, исходные данные необходимо распределить в интервальный ряд. При этом точность величины классового интервала должна соответствовать точности принятой при измерении величин.
2.5.- определить ширину классов входящих в интервальный вариационный ряд в которых расположатся все измеренные величины от xmax до xmin.
Ширина первого класса имеет протяженность от xmin до xmin+λ, т.е.[ xmin ÷ xmin+λ].
Ширина второго класса имеет протяженность от xmin+ λ +10-5λ до xmin+2λ , т.е.
[ xmin+ λ +10-5λ ÷ xmin+2λ] , где 10-5λ незначащее число и применяется для того, чтобы разграничить числа находящиеся на границе классовых интервалов и используется во всех классах для различия начала нового класса от конца предыдущего класса.
Ширина К-того класса имеет протяженность от xmin+(К-1) (λ +10-5λ ) до xmax, т.е.
[xmin+(К-1) (λ +10-5λ ) ÷ xmax], где xmax= xmin +К λ.
2.6.- найти среднее значение каждого класса хm . Среднее значение каждого класса равно полусумме значений начала и конца класса без незначащего числа 10-5λ, т.е.
хm=( xmin+(I-1) λ +xmin+Iλ)/2, где I принимает значения от 1 до К (I =1;2;…К).
2.7.- определить количество элементов n из измеренных N величин входящих в каждый класс, т.е. получить n1, n2,… nК
2.8. – определить относительную частоту рi попадания количества элементов ni из измеренных N величин в каждый класс, т.е. рi= ni/ N. Найти р1, р2,… рК.
На основании пункта 2 заполнить таблицу:
N= | ||||
xmax= xmin= R = xmax- xmin= | ||||
K= 1+3,32 lg N= | ||||
λ =R/К = (xmax- xmin)/ К= | ||||
Классные интервалы |
1 |
2 |
… |
К |
Границы клас-сных интервалов |
[ xmin ÷ xmin+λ] |
[ xmin+ λ +10-5λ ÷ xmin+2λ] |
… |
[xmin+(К-1) (λ +10-5λ ) ÷ xmax] |
Среднее значе-ние классного интервала хm |
xmin+λ/2 |
xmin+3λ/2 |
… |
xmin+(К+1)λ/2 |
Количество ве-личин входящих в класс ni |
n1 |
n2 |
… |
nК |
Частота попа-дания величин в класс рi= ni/ N |
р1= n1/ N |
р2= n2/ N |
… |
рК= nК/ N |
(хm)I*pi |
(xmin+λ/2)р1 |
(xmin+3λ/2)р2 |
… |
(xmin+(К+1)λ/2)рК |
По полученным данным построить графики вариационных рядов.
4.1. - полигон частот; по оси абсцисс откладывают среднее значение классов, по оси ординат частоту попадания величин в класс. Высота перпендикуляров, восставляемых на ось абсцисс, соответствует частоте классов. Соединяя вершины перпендикуляров прямыми линиями, получают геометрическую фигуру в виде многоугольника называемую полигоном распределения частот. Линия соединяющая вершины перпендикуляров, называют вариационной кривой или кривой распределения частот вариационного ряда.
4.2. – гистограмма; по оси абсцисс откладывают границы классовых интервалов , по оси ординат – частоты интервалов. В результате получается совокупность прямоугольников . т.е. гистограмма распределения.
4.3. – кумулята; по оси абсцисс откладывают среднее значение классов, по оси ординат – накопление частоты интервалов ( накопление частот находят последовательным суммированием или кумуляцией частот в направлении от первого класса до конца вариационного ряда , т.е. например в третьем классе накопленная частота будет соответствовать сумме частот трех классов) с последующим соединением точек прямыми линиями, получается график называемый кумулятой. Имеет вид S-образной кривой.
4.4. – огива; по оси абсцисс откладывают частоты , а по оси ординат значение классов с последующим соединением геометрических точек прямыми линиями, полученный график называют огивой.
При построении вариационной кривой масштабы на осях прямоугольных координат следует выбирать с таким расчетом, чтобы основание кривой было в 1,5 –2,0 больше ее высоты.
5. Определить основные характеристики варьирующих величин .
5.1. – средняя арифметическая ; найти произведение среднего значения каждого класса (хevi) i на относительную частоту рi попадания количества элементов ni из измеренных N величин в каждый класс, т.е. рi*(хm)i. Найти р1*(хm) 1, р2*(хm)2,... рК*(хm)К. и по формуле определить среднее арифметическое
5.2. – дисперсия sx2 или σ2;
5.2.1. - найти отклонение среднего значение каждого класса хm от среднего арифметического ,т.е.(хm)I-,
5.2.2. – возвести в квадрат отклонение среднего значение каждого класса хm от среднего арифметического ,т.е.[(хm)i-]2,
5.2.3. – умножить квадрат отклонений среднего значение каждого класса хm от среднего арифметического на относительную частоту попадания в класс рi, т.е.
[ (хm)i-]2*рiи по формуле определить дисперсию;
5.2.4.Установлено, что рассчитываемая по формуле дисперсия оказывается смещенной по отношению к своему генеральному параметру на величину , равную N/(N-1). Эта величина называется поправкой Бесселя. Разность (N-1)=k называют числом степеней свободы под которыми понимают число свободно варьирующих величин в составе численно ограниченной совокупности.
Несмещенная дисперсия и среднеквадратичное отклонение определяются;
5.2.4.1.– умножитьквадрат отклонений среднего значение каждого класса хevi от среднего арифметического наколичество элементов n из измеренных N величин входящих в каждый класс, т.е. найти [(хm)i-]2*niи по формуле определить несмещенную дисперсию,
5.2.4.2. – среднее квадратическое отклонение sx есть показатель, представляющий корень квадратный из дисперсии,
6.На основании пункта 5 заполнить таблицу:
|
1 |
2 |
… |
К |
(хm)I-,
|
(хm)1-, |
(хm)2-, |
… |
(хm)К-, |
[ (хm)i-]2,
|
[ (хm)1-]2 |
[ (хm)2-]2 |
… |
.[ (хm)К-]2 |
умножить ква[(хm)i-]2*рi
|
[ (хm)1-]2*р1 |
[ (хm)2-]2*р2 |
… |
[ (хm)К-]2*рК |
определить дисперсию | ||||
[ (хm)i-]2*ni |
[ (хm)1-]2*n1 |
[ (хm) 2-]2*n2 |
|
[ (хm)К-]2*nК |
определить несмещенную дисперсию,
| ||||
Определить среднее квадратическое отклонение sx |
7. Определить соответствие вариационного распределения нормальному закону;
7.1. – найти нормированное отклонение t . Отклонение той или иной варианты от средней арифметической, отнесенное к величине среднего квадратического отклонения , называют нормированным отклонением и находят по формуле,
7.1. – Для соответствующих классов найдем функцию нормированного отклонения f(t) по таблице или по формуле,
7.2. – найдем выравнивающие частоты вариационного ряда fI (t). Для того чтобы ордината выражала не вероятность, а абсолютные значения случайной величины, т.е. выравнивающие частоты вариант эмпирического распределения нужно fI (t) найти по формуле,
8. На основании пункта 7 заполним таблицу:
|
1 |
2 |
… |
К |
нормированное отклонение t |
… | |||
нормированного отклонения f(t) |
… | |||
выравнивающие частоты вариационного ряда fI (t) |
… |
9. На графике полигона частот построить точки соответствующие выравнивающей частоте вариационного ряда, вычисленная по нормальному закону.
10. Записать значение исследуемой величины с границами доверительного интервала.
Таблица: Значения функции