Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Ситникова, ИВ. Линейная алгебра. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.05.2015

Размер:

1.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

3) Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами,

есть постоянная величина.

Для любой точки гиперболы М (х, у) модуль разности расстояний от этой

точки до фокусов есть величина постоянная, равная 2а :

MF1 МF2

2а .

Каноническое

равнение

гиперболы,

симметричной

относительно

осей

координат, имеет вид:

Гипербола состоит из двух частей,

М (х, у)

называемых

ветвями

гиперболы.

Точки

пересечения

гиперболы

осью

Ох

A1 ( a; 0) ,

(a; 0)

называются вершинами гиперболы.

Отрезок

A1 A2

2а

называется действительной

осью гиперболы, а отрезок В1 В2

2b - ее мнимой осью.

При x

ветви гиперболы как угодно близко приближают к прямым

x , y b x , называемым асимптотами гиперболы.

Точки

F1 ( c; 0) ,

F2 (c; 0)

где с

, называются фокусами гиперболы.

Расстояние F1F2=2c между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием ( 2a 2c ).

Отношение	c	называется эксцентриситетом гиперболы.
	a

При a b гипербола называется равносторонней, и ее уравнение имеет вид
x2 y 2 а2 . Для	равносторонней гиперболы асимптоты y x взаимно

перпендикулярны. Если их взять в качестве новых осей координат Ох и Оу , то

получим график обратной пропорциональной зависимости	y	m	.
		x

4) Параболой называется множество точек плоскости равноудаленных

от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и

симметричной относительно оси Ох, имеет вид:							y	2	2 px	.
							y		2 px

	у			Ось симметрии параболы – ось Ох – называется
A		М (х, у)		осью параболы, точка пересечения параболы с ее
A		М (х, у)

	F (р/2; 0)		х	осью - точка O(0; 0) - называется вершиной параболы.
	F (р/2; 0)		х
l				Точка	F( p / 2; 0)	называется				фокусом параболы, а
x=-р/2					F( p / 2; 0)


				прямая	x р 2	- ее директрисой.

Каждая точка параболы М (х, у) равноудалена от фокуса F и от директрисы

АМ=MF.

Если в каноническом уравнении параболы поменять местами х и у, то

получится уравнение параболы	х	2	2 pу	с вершиной в начале координат,

симметричной относительно оси ординат.

Если вершину параболы, симметричной относительно оси Ох, сместить в

точку C(x	; у	0	) , то уравнение параболы примет вид (x x	)2 2 p( y y	) .
0		0	0	0

Упражнения 10

10.1. Найти центр и радиус окружности 3х	2	3у	2	6х 8у 0 .
	2		2

10.2. Составить каноническое уравнение окружности, проходящей через

точки А(1; 5), В(-4; 0) и С(4; -4). Построить окружность.

10.3. Составить уравнение окружности, проходящей через точку А(5; 3) с

центром в точке пересечения прямых 5х-3у-13=0 и х+4у+2=0.

10.4. Дан эллипс 9х	2	25у	2	225	. Найти его полуоси, координаты фокусов,
	2		2

эксцентриситет, построить эллипс.

10.5. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что:

1) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось равна 3; 2) большая полуось равна 6, а эксцентриситет равен 0,5; 3) расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет равен 3/5.

10.6. Найти каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки и

А(2; 3)	и	В(1; 3	5 2)	.

10.7. Дана			гипербола		9х	2	16у	2	144	. Найти ее полуоси, координаты

фокусов и вершин, эксцентриситет, уравнения асимптот, построить гиперболу.

10.8. Гипербола проходит через точку

М (6; 2

и имеет мнимую

полуось, равную 2. Написать уравнение гиперболы и найти расстояние от точки

М до фокусов.
10.9. Дана парабола	у	2	6х . Найти координаты фокуса, уравнение
		2

директрисы, построить параболу.

10.10. Написать уравнение параболы и ее директрисы, если известно, что парабола проходит через точку пересечения прямой х+у=0 и окружности

х2 у 2 4у 0 и парабола симметрична относительно оси Оу.

10.11.Написать уравнение множества точек, одинаково удаленных от начала координат и от прямой х=-4. Построить полученную кривую.

Домашнее задание №10

Найти координаты центра и радиус окружности x

2x 4y 20 0 .

Построить окружность.

Составить уравнение окружности, проходящей через

точки пересечения

окружности x

4x 4y 0 с прямой y x

и точку В(4; 4).

Эллипс проходит через точку M ( 4; 21) и имеет эксцентриситет 3 4 .

Написать уравнение эллипса. Построить эллипс.

Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, если

известно, что эллипс проходит через точки M 2;

и N (0; 2) .

Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями

x и гипербола проходит через точку M (10; 3 3) .

6. Дан эллипс

х	2	у	2

8		5

. Найти уравнение гиперболы, вершины которой

находятся в фокусах, а фокусы - в вершинах данного эллипса. Построить гиперболу.

7. Составить каноническое уравнение параболы, если ее фокус находится в точке пересечения прямой 4x 3y 4 0 с осью Ox . Построить параболу.

8. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Oy , с

вершиной в начале координат и проходящей через точку А(-2; -3). Найти фокус

идиректрису параболы. Построить параболу.

11.Графический метод решения задач линейного программирования

Задача линейного программирования заключается в изучении способов отыскания наибольшего и наименьшего значений линейной функции при наличии линейных ограничений.

Функция, наибольшее или наименьшее значение которой отыскивается,

называется целевой функцией, а совокупность значений переменных, при которых достигается наибольшее или наименьшее значение, определяет

оптимальный план.

Ограничения могут быть заданы системой уравнений (каноническая форма), системой неравенств (стандартная форма) или системой уравнений и неравенств (общая форма). Пусть ограничения заданы системой m линейных неравенств с n переменными:

....................................

m1 1

Среди неотрицательных решений этой системы требуется найти такое

решение, при котором линейная функция

Z c1 x1 c2 x2 ... cn xn принимает

наибольшее (наименьшее) значение или, как говорят, максимизировать

(минимизировать) целевую функцию Z.

Графический метод используется для решения задач с двумя переменными следующего вида:

Z c						x		c			2	x		2	max (min),
					1		1				2			2
а				х			а			х		2		( )b
	11				1			12				2			1
	а			х			а				х			( )b
	а	21		х			а		22		х		2	( )b
		21			1				22				2		2

..............................

	a				x		a					x			( )b
	a				x		a					x			( )b
		m1			1					m2				2	m
		m1			1					m2				2	m
x			0,					x	2		0
	1								2

Данный метод основывается на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождения среди них оптимального

решения.

Областью допустимых значений задачи является общая часть полуплоскостей – областей решения всех неравенств системы ограничений.

Для нахождения среди допустимых значений оптимального решения используют линии уровня и опорные прямые.

Линией уровня называется прямая, на которой целевая функция принимает постоянное значение. Уравнение линии уровня в общем случае имеет вид


c x	c	2	x	2	l,	где	l const	. Все линии уровня параллельны между собой и
1 1		2		2		где		. Все линии уровня параллельны между собой и
перпендикулярны нормальному вектору									n(c	, c	2	)	.
перпендикулярны нормальному вектору									1		2		.

Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну

общую точку с областью допустимых решений и по отношению к которой область допустимых решений находится в одной из полуплоскостей.

Если линию уровня передвигать параллельно себе в положительном

направлении вектора n , то целевая функция	1 1	c	2		2 будет возрастать, а в
	Z c x	c		x
противоположном направлении - убывать. Пусть при движении прямой Z в
положительном направлении вектора n	она	впервые встретится с

многоугольником решений в его вершине, тогда в этом положении прямая Z

становится опорной, и на этой прямой целевая функция принимает наименьшее

значение. При дальнейшем движении в том же направлении прямая Z пройдет через другую вершину многоугольника решений, выходя из области решений, и

станет также опорной прямой; на ней целевая функция принимает наибольшее значение среди всех значений, принимаемых на многоугольнике решений.

Таким				образом,		минимизация и максимизация целевой функции
1 1	c	2		2	на многоугольнике решений достигается в точках пересечения
Z c x	c		x

этого многоугольника с опорными прямыми. Опорная прямая может иметь с многоугольником решений либо одну общую точку (вершину многоугольника),

либо бесконечное множество общих точек (сторона многоугольника).

Если при перемещении линии уровня по области допустимых решений в

положительном направлении вектора	n	линия уровня уходит в бесконечность,

то задача о максимизации целевой функции не имеет решения ввиду неограниченности данной функции.

Упражнения 11

11.1. Найти область решения системы неравенств:

	х		7
		1
1)		х	х
				2
		1
		х	х
				2
		1

0 0

	х1 1 0
		1 0
; 2)	х2	1 0		; 3)
; 2)				; 3)
		х2 3 0
	х1	х2 3 0
	6х 7х		2	42 0
		1	2

х	0
1
х	х
х	х	2
1		2
х	х
х	х	2
1		2
х	2
1

2 0

1 0

;

	2		х		х		2	2
			1				2
		х		х			2
4)		х		х		2	2
		1				2

		х		1
		х		1
		1
	2		х		х		2	3
			1				2

: 5)

х1 х2 1 02х1 х2 7 0 .х1 2х2 4 0

11.2. Решить задачу линейного программирования

	х1		х2		2
		х1	1 2 0 ; 2)
12x1 4x2	min ,	х1	1 2 0 ; 2)			Z x	3x		max ,
			4 0			1		2
	х2		4 0
		х	х	2	0
		1		2

( x1 0, x2 0 ):

х1 4х2 4х1 х2 6 ;х2 2

Z 8x	2x	2
1		2

max

			4х			18
3х			4х		2	18
		1			2
			х		3
3х			х		3
		1		2
		6
х2		6
	2х		х		18
	2х		х		18
		1		2
		1		2
4х			х	2	24
		1		2

; 4)

Z 3x	7x	2
1		2

max

5х1 х2				0
		х2 5
х1						.
		3
	х2

2х			3х	2	0
	1

11.3. Для изготовления изделий двух видов имеется 100 кг металла. На изготовление изделия I вида расходуется 2 кг металла, а изделия II вида – 4 кг.

Составить план производства, обеспечивающий получение наибольшей прибыли от продажи изделий, если отпускная стоимость одного изделия I вида составляет 3 руб., а изделия II вида – 2 руб., причем изделий I вида требуется изготовить не более 40, а изделий II вида – не более 20.

Домашнее задание №11

1. Решить задачу линейного программирования:

4x1

3x1

2x	min
2

x	max
2

4х						х			2	0
				1
		2х				x				6

				1					2
		x			2х					16
									2
			1
		х			4

			1

x					x			2	0
			1
2х					х			2	4
				1
	х			х				0
							2				.
		1
	х			2х					2
								2
		1
	х			х			2	2
		1

; 2)

Z 3x	2x	2
1		2

max

х		х		2	2
	1			2
			2х				6
3х			2х			2	6
		1				2
	2х		х			2
	2х		х		2	2
		1			2
		3
х2		3

;

2.Производственная мощность цеха сборки составляет 120 изделий типа А

и360 изделий типа В в сутки. Технический контроль пропускает в сутки 200

изделий того или другого типа. Изделия типа А в 4 раза дороже изделий типа В.

Требуется сбалансировать выпуск готовой продукции так, чтобы предприятию была обеспечена наибольшая прибыль.

12.Симплексный метод решения задач линейного программирования

Решение основной задачи линейного программирования геометрическим методом является наглядным в случае двух и даже трех переменных. Для случая большего числа переменных геометрический метод становится невозможным. Симплекс-метод принадлежит к числу аналитических методов решения основной задачи линейного программирования. Система ограничений в вычислительных методах обычно задается системой уравнений

....................................

Среди неотрицательных решений этой системы надо найти такие, которые максимизировали (минимизировали) целевую функцию Z c1 x1 c2 x2 ... cn xn .

Симплекс-метод состоит в целенаправленном переборе опорных решений задачи линейного программирования. Он позволяет за конечное число шагов расчета либо найти оптимальное решение, либо установить его отсутствие.

Алгоритм симплексного метода:

1)Привести систему ограничений к канонической форме, путем прибавления или вычитания дополнительных переменных к левым частям неравенств в системе (прибавляют переменную в случае знака

, отнимают переменную в случае знака ).

2) Выбрать свободные m переменные, остальные

n-m переменные

(базисные) выразить через свободные.

3)Приравнять свободные переменные к нулю, найти значения базисных переменных и получить первое базисное решение. Проверить допус-

тимость найденного решения (все переменные должны быть неотрицательны).

4)а) Если решение допустимо выразить целевую функцию через свободные переменные.

б) Если решение не является допустимым, то выбрать одну из отрицательных базисных переменных (ту, значение которой наименьшее из всех) и, если возможно, улучшить ее за счет перевода одной из свободных переменных в базисные и наоборот.

5)Проверить выполнение критерия оптимальности: решение задачи на максимизацию (минимизацию) оптимально, если в выражении целевой функции через свободные переменные отсутствуют положительные

(отрицательные) коэффициенты при переменных.

6)Если решение оптимально, найти значение целевой функции и записать ответ.

Если решение не оптимально, улучшить его за счет перевода одной из свободных переменных в базисные и наоборот. Такой свободной переменной является та, перед которой положительный

(отрицательный) коэффициент в выражении целевой функции при решение задачи на максимизацию (минимизацию).

7)Перейти к пункту 2.

Упражнения 12

12. 1. Решить задачу линейного программирования симплексным методом

( xi 0, i 1, 2,...n ):

x	4	x
	4	5

5x	x
1	3

max	,

min	,

х			х			2x
	1				4			5
х2 2x4 x5
			3x4 x5
х3
х		х		2	2x		3
	1
			2x4			1
х2

2 ; 2) Z x2 x3 max ,

x	4	3	; 4) Z x1	x3	min

х			х	2	x		3	1
	1
	х		2х			x
		2			3			4

,х1 2х2 x3х1 3х2 x4

;

1 ;2

			х			х	2	5x			3		30
				1
5)	Z 2x1 x4	max ,		х		2x				5			.
					2			4
				х x						x			8
									2			3
						1

12.2. Предприятие для выпуска некоторой технологии. При этом необходимы 3 вида ресурсов.

продукции использует две Известно, что bi ед.

(

) – запасы ресурсов;

аij

ед./ч (

i 1, 2, 3;

) – затраты i-ого вида

ресурса за час работы с использованием j–й технологии;

ñij

руб./ч – прибыль

предприятия от реализации продукции, выпускаемой на 1 час работы с использованием j–й технологии. Найти, сколько времени по каждой технологии должно работать предприятие, чтобы обеспечить максимум прибыли от реализации выпускаемой продукции, если общее время работы по обеим технологиям составляет 500 ч. Исходные данные приведены в таблице:

Вид ресурса	Запасы ресурса	Затраты ресурсов			Затраты ресурсов
	b	а		ед./ч №1	а		ед./ч №2
	i	а	ij	ед./ч №1	а	ij	ед./ч №2
			ij			ij

1	400			1			1

2	1500			3			5

3	900			1			3

Прибыль	сij руб./ч			300			400

Домашнее задание №12

1. Z

2.	Z

3. Z

						х			2х			3		x				4			2
x1 x2			min ,				1					3						4
							х		x			2x									1				;
							х	2	x		3	2x							4		1				;
							х		x			x							5
							х	3	x		4	x					5		5
								3			4						5
															3х								4x
	2			3					,	3х					3х								4x
	2			3					,			1									2						3
2x		6x			max							1									2						3
2x		6x			max											2х								х
										х						2х							2	х		3
													1										2			3
							х			х						5x								20
2x x				max ,					1				2									3
1			4				х2 2x4 5
							х			x			2			x				3			8
									1				2							3

2х4

x4 1

;

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

			4х			18
3х			4х		2	18
		1			2
			х		3
3х			х		3
		1		2
		6
х2		6
	2х		х		18
	2х		х		18
		1		2
		1		2
4х			х	2	24
		1		2

4х						х			2	0
				1
		2х				x				6

				1					2
		x			2х					16
									2
			1
		х			4

			1

x					x			2	0
			1
2х					х			2	4
				1
	х			х				0
							2				.
		1
	х			2х					2
								2
		1
	х			х			2	2
		1

			4х			18
3х			4х		2	18
		1			2
			х		3
3х			х		3
		1		2
		6
х2		6
	2х		х		18
	2х		х		18
		1		2
		1		2
4х			х	2	24
		1		2

4х						х			2	0
				1
		2х				x				6

				1					2
		x			2х					16
									2
			1
		х			4

			1

x					x			2	0
			1
2х					х			2	4
				1
	х			х				0
							2				.
		1
	х			2х					2
								2
		1
	х			х			2	2
		1

			4х			18
3х			4х		2	18
		1			2
			х		3
3х			х		3
		1		2
		6
х2		6
	2х		х		18
	2х		х		18
		1		2
		1		2
4х			х	2	24
		1		2

4х						х			2	0
				1
		2х				x				6

				1					2
		x			2х					16
									2
			1
		х			4

			1

x					x			2	0
			1
2х					х			2	4
				1
	х			х				0
							2				.
		1
	х			2х					2
								2
		1
	х			х			2	2
		1