Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Ситникова, ИВ. Линейная алгебра. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.05.2015

Размер:

1.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Домашнее задание №4

1. Решить систему линейных уравнений тремя методами: матричным

методом, по формулам Крамера и методом Гаусса

x		x		2	2x			3	6
	1
	2x		3x				7x				16
						2				3
		1
			2x				x			16
5x						2			3
		1

2. Исследовать совместность, найти одно общее и одно частное решение системы уравнений:

x		x		2	3x				3	4x				4	1
	1
	2x		2x					2x					3x				2
							2				3					4
		1
	x		x					13x					18x					1
						2						3					4
		1

; 2)

x		3x		2	3x			3
	1
	4x		4x				4x
					2				3
		1
	x		5x				7x
						2				3
		1

; 3)

x		2x		2	x		3	4x			4	x			5	4
	1
			2x			x			x			3x						1
3x					2			3			4					5
		1
			x		2x				2x				6x						1
				2				3				4						5

			6x			3x				9x				x					7
5x					2				3				4				5
		1

3. Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов:

сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов S1, S2 , S3.

Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на один день заданы таблицей:

Вид сырья	Сапоги	Кроссовки	Ботинки	Расход сырья на
				один день, усл. ед.

S1	5	3	4	2700
S2	2	1	1	800
S3	3	2	2	1600

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

4. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:

Отрасль	1	2	Валовый	Конечный
			выпуск	продукт

1	100	160	500	240
2	275	40	400	85

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен увеличиться в 2 раза, а второй на

20%.

5. Векторное пространство. Евклидово пространство.

Собственные векторы и собственные значения матрицы

N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n

действительных чисел, записываемых в виде	x (x1 , x2 ,...,xn ) , где	xi	- i-ая
компонента вектора х.

Для n-мерных векторов определены операции сложения и умножения

вектора на число.

Векторным пространством называется множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения и

умножения вектора на число, удовлетворяющие следующим свойствам:

x y y x ;

(x y) z x ( y z) ;

( x) ( )x ;

(x y) x y

;

5) ( )x x y

;

существует нулевой вектор 0 (0,0,...,0) ,такой что

x 0 x ;

для любого вектора х существует противоположный вектор –х, такой что

x ( x) 0

;

1 x x .

Вектор

называется

линейной

комбинацией

векторов

, a2 ,...,an 1

векторного

пространства,

если

выполняется

равенство:

1a1 2 a2

... n 1an 1

, где

1 , 2 ,..., n 1

некоторые числа.

Векторы

a1 ,a2 ,...,an

векторного

пространства

называются

линейно

зависимыми, если существуют такие числа 1 , 2 ,..., n , не равные одновременно нулю, что 1a1 2 a2 ... n an 0 (*).

Если равенство (*) выполняется лишь при условии 1 2 ... n 0 , то векторы a1 ,a2 ,...,an называют линейно независимыми.

Векторное пространство называется n-мерным, если в нем существует n

линейно независимых векторов, а любые (n+1) векторов уже являются

зависимыми.

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства называется базисом этого пространства.

Теорема: каждый вектор х n-мерного векторного пространства можно представить единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса этого векторного пространства.

Из теоремы следует, что если векторы e1 ,e2 ,...,en образуют базис некоторого векторного пространства, то любой вектор х этого пространства

можно представить в виде

x x1e1

x2e2

... xn en . Данное равенство называют

также разложением вектора х по базису

e1 ,e2 ,...,en

, а x1 , x2 ,...,xn

- координатами

вектора х относительно этого базиса.

Скалярным произведением двух векторов

x (x

, x

,...,x

)

y ( y , y

,...,y

)

1 2

называется число (x, y) x1 y1

x2 y2 ... xn yn .

Евклидовым пространством

называется

векторное

пространство,

котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее следующим свойствам:

(x, y) ( y, x) ;

(x, y z) (x, y) (x, z)

;

( x, y) (x, y)

;

(x, x) 0

, если х – ненулевой вектор: (x, x) 0

, если х – нулевой вектор.

Длиной

вектора х

евклидовом

пространстве называется число

x x2

... x2 .

Угол

между

двумя векторами

х и у

определяется равенством

cos

(x, y)

x y

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное

произведение равно нулю.
Векторы	e1 ,e2 ,...,en	n–мерного евклидова	пространства образуют

ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице.


Вектор	x 0	называется		собственным вектором матрицы А, если
найдется такое число , что			A x x		, где

a		a	...	a
	11	12		1n

a21		a22	...	a2n

	...........................

		an2	...
an1		an2	...	ann

;

	x
		1

	x2





	xn

     

Число называется собственным значением матрицы А,

соответствующим собственному вектору x.

От матричного уравнения	A x x

перейдем к системе уравнений:

...

11 1

.......................................

...

или

...

.......................................

...

( ).

Полученная	система	уравнений	будет	иметь ненулевые решения, если её
			a11	a12	...	a1n
определитель	равен	нулю, т.е.	a21	a22	...	a2n	0 . Это равенство
			...	...	... ...
			an1	an2	...	ann

называется характеристическим уравнением матрицы А, решая которое находят собственные значения матрицы А.

Найденные собственные значения подставляют в систему уравнений ( ).

Решения полученной системы и будут собственными векторами матрицы А,

соответствующими собственному значению .

Упражнения 5

5.1. Выяснить, являются ли векторы линейно зависимыми:

1)	а1	(4; 5; 2; 6), а2	(2; 2;1; 3), а3		(6; 3; 3; 9), а4 (4; 1; 5; 6) ;
2)	а1	( 1; 7; 1; 2), а2 (2; 3; 2; 1), а3			(4; 4; 4; 3), а4 (1; 6; 1; 1) .
	5.2. Даны		векторы	а1	(2; 1; 0), а2 (1; 1; 2), а3 (2; 2; 1), а4	(3; 7; 7).

Показать, что векторы: 1)

а , а

, а

3 образуют базис трехмерного пространства

разложить вектор

по

этому

базису; 2)

а4 , а2 , а3

образуют базис

трехмерного пространства и разложить вектор

1 по этому базису.

5.3.

некотором

базисе

даны

векторы

а1 , а2 , а3 :

а1

( 2; 0; 1), а2

(1; 1; 0), а3

(0; 1; 2) . Выяснить является ли вектор

a4 (2; 3; 4)

линейной комбинацией векторов

а1 , а2

, а3 .

5.4.

некотором

базисе

даны

векторы

а1 , а2 , а3 :

а1

(1; 2;1), а2

(2; 1;1), а3

( 1; 2; 1) .

Найти

все

значения m, при которых

вектор в (2; 3; m) линейно выражается через векторы а1 , а2 , а3 .

5.5. Предприятие выпускает 4 вида продукции в количествах 50; 80; 20 и

120 ед. При этом нормы расхода сырья составляют, соответственно,

7; 3,5; 10

и 4 кг. Определить суммарный расход сырья и его изменение при изменениях выпуска продукции, соответственно, на +5; -4;-2 и +10 ед.

	5.6. Даны векторы					e1	, e2 , e3 , образующие ортонормированный базис. Найти
угол между векторами						x 5e		e	и y e	e	2	e .
							1	3	1		2		3
	5.7. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А:
		2	3		1	2 2			1 4 8
1)		2	3	; 2)				; в)						.
1)	A			; 2)	A 1 0		3	; в)	A 4	7 4				.
		4	1		A 1 0		3		A 4	7 4
		4	1							4		1
					1 3		0		8	4		1

Домашнее задание №5

1.Выяснить, являются ли линейно зависимыми или линейно


независимыми векторы: 1) а1		( 7; 5; 19), а2 ( 5; 7; 7), а3		( 8; 7; 14)	;
2) а1 (1; 8; 1), а2 ( 2; 3; 3), а3		(4; 11; 9) .
2. Даны векторы	а1 (1;1;1), а2 (0; 2; 3), а3 (0;1; 5) .			Доказать,	что векторы
а1 , а2 , а3 образуют базис. Найти координаты вектора d (2; 1;1) в этом базисе.
3. Даны векторы	e1 , e2 , e3		, образующие ортонормированный базис. Найти
угол между векторами	x 3e2		e3 и y 4e1 e2 2e3 .
4. Найти собственные		значения и собственные		векторы для матрицы

	3	1

A	0	2
	0	1
	0	1

6. Квадратичные формы

Квадратичной формой от однородный многочлен 2-ой

n переменных

степени относительно

…,

этих

называется переменных:

L x					n
L x	, x	2	,...,x	n	a	x x	j
1		2		n	ij	i	j
					i, j 1

, где

aij

– коэффициенты квадратичной формы.

		a	a	...	a
		11	12		1n
Матрица	А	a21	a22	...	a2n	называется матрицей квадратичной формы,
Матрица	А	... ...		...	...	называется матрицей квадратичной формы,
		... ...		...	...

			an2	...
		an1	an2	...	ann

ее ранг – рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется

невырожденной, если A 0 .

Квадратичную форму можно представить в матричном

где

...

Квадратичная форма называется канонической, если

L x

... a

, x

,...,x

i 1

виде:

x2 . nn n

L Х	Т	АХ

Теорема. Всякую квадратичную форму в евклидовом пространстве можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований.

На практике для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно применяют следующие способы:

1. Ортогональное преобразование пространства:


L y	, y		,...,y		y		2		y	2
		2		n						2
1					1	1		2

...

y2 n

, где

1 , 2 , …, n – собственные

значения матрицы A.

2.Метод Лагранжа – последовательное выделение полных

3.Метод Якоби (в случае, когда все угловые миноры

квадратичной формы отличны от нуля):

квадратов.

1 , 2 , …,

		L y , y				,...,y				y2			2	y2	...					n	y2 .
		L y , y			2	,...,y			n	y2			2	y2	...						y2 .
				1	2				n			1 1	1	2						n 1		n
													1							n 1
												Классификация квадратичных форм
		Квадратичные формы, для которых																		L(x1, x2 ,...,xn ) 0						х1, х2, ...хn					таких, что
x	2	x	2	... x			2	0			,	называются положительно определенными.																	Нормальный
x		x	2	... x			n	0
1			2				n
														y	2	y		2	... y				2
вид таких квадратичных форм:														y		y		2	... y				n .
вид таких квадратичных форм:														1				2					n .
		Квадратичные формы, для которых L(x																				, x		2	,...,x ) 0	х , х	2,	...х		n	таких, что
																			1					2	n	1	2,			n
x	2	x	2	... x			2	0 ,				называются отрицательно определенными.																	Нормальный
1			2				n
вид таких квадратичных форм:														y2			y2 ... y2 .
																1			2						n

Квадратичные формы, которые принимают как положительные, так и отрицательные значения, называются неопределенными. Нормальный вид таких

квадратичных форм:	y	2	y	2	... y	2	y	2	... y	2	, 1 k r n , r rangA .
				2		k		k 1		r
	1

Таблица оценки знакоопределенности квадратичной формы

Форма

Положительно

определенная

Отрицательно

определенная

Неопределенная

Равная нулю

Обозначение							Оценка знакоопределенности
								формы

							критерий		по собственным
							Сильвестра		значениям
									матрицы А
L(x1	, x2		,...,xn ) 0				Все угловые		Все собственные
							миноры		значения
							положительны		положительны
L(x1	, x2		,...,xn ) 0				Знаки угловых		Все собственные
							миноров		значения
							чередуются,		отрицательны
							начиная с
							«минуса»
L(x	, x		,...,x		)	0			Собственные
									Собственные
		2		n
1		2		n					значения имеют
									значения имеют
									разные знаки
L(x1, x2 ,...,xn ) 0									Все собственные
									значения равны
									нулю

Упражнения 6

6.1.Записать квадратичную форму в матричном виде:

1)	L 3x2	x2	x x		2	; 2)		L 4x2		x2		12x x	2	10x x 3x2			;
	1	2		1	2				1		2	1	2	1	3	3
3) L 2x2		3x2		x x		2	2x x 3х			2	х 2x2 .
	1		2	1		2		1	3	2	3	3

6.2. Найти квадратичную форму для матрицы:

	1 2	3			3	1	1

А	2 5	1	; 2)	А				.
					1	0	2

	3 1	0			1	2	0

6.3. Привести квадратичную форму к каноническому виду:

L x	2	4x x			x	2	; 2)	2	2	2x1x2	2	;
1			2	3		3	; 2)	L x1	2x2	2x1x2	2x1x3 4х2 х3 7x3	;
	2		4x1x2						2
L 2x1			4x1x2		4x1x3 8х2 х3 3x3 .

6.4. Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность:

L 2x1	6x1 x2		x2	; 2)		L 4x1		4x1 x2			x2	;
2			2				2				2
L 2x2	x2	2x x		2	4x x 2х				2	х 4x2 ; 4)			L 2x2	x2	x x 2х		2	х 2x2 .
1	2		1	2		1	3		2	3	3		2	1	1	3	2	3	3

6.5. При каких значениях параметра квадратичная форма является

знакоопределенной:

L mx	2

1
2
L mx
2

4x x		x
		2
1	2	2

x	2	4x x
	2
1		1	2

; 2)	L 2x1	3x2	2mx1x2 2x1x3
	2	2
6x1x3 10х2 х3 .

4х	2	х
	2	3

;

Домашнее задание №6

1. Записать квадратичную форму в матричном виде

L 2x	2	3x	2	4x x		6x x		x	2	10х		х
			2		2						2
1				1		1	3	3				3

2. Привести квадратичную форму к каноническому виду:

2	2	2	; 2)	2	x1 x2 2x1 х3 .
x1	3x2	2x1x2 2x1x3 6х2 х3 4x3	; 2)	L x1	x1 x2 2x1 х3 .

3. Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность:

1) L 2x22 x12 2x2 x3 x1 x3 2x32 ; 2)

L x	2	2x x		4x	2
			2		2
1		1

3х2 3

;

7. Комплексные числа

Комплексным числом z называется выражение вида z х уi , где х и у –

действительные числа, а i – мнимая единица, i 1 .

Если		у 0			, то число										z х является действительным числом,																																											если					х 0 , то
число	z уi			называется чисто мнимым.
Число х называют действительной частью числа z ( x Re z ), а число у –
мнимой частью числа z ( у Im z ).
Два комплексных числа																	z			х у i										и	z			2		х						у						i		называются равными,
Два комплексных числа																	1							1				1		и				2						2							2			называются равными,
если равны их действительные и мнимые части, т.е.																																											х				х					, у			у				2 .
если равны их действительные и мнимые части, т.е.																																											1							2				1					2 .
Запись числа z в виде																				z х уi											называют																алгебраической																формой
комплексного числа.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
1.	Сумма и разность														z1		z2						(х1 x2 ) ( у1																y2 )i .
2.	Произведение									z z				2	(х x								y y					2	) (x у									2		x y )i										. В частности i														2	1.
2.	Произведение										1			2			1			2						1		2							1			2					2				1			. В частности i														2	1.
						z			(x				y i)(x									y			i)					x x						y y											x y						x y						i
3.	Деление						1				1				1				2					2						1			2						1			2						2			1				1		2		i		,
							1				1				1				2					2						1			2						1			2						2			1				1		2
					z				(x				y			i)(x						y				i)					x		2			y				2								x			2		y			2
					z		2		(x		2		y			i)(x				2		y				i)					x		2			y				2								x			2		y			2
							2				2				2					2				2									2							2											2					2
	комплексные числа z х уi																									и		z х уi											называют сопряженными.
Комплексное число z х уi																								можно изобразить точкой																														М (х; у) плоскости
или ее радиус-вектором															ОМ .					Длина этого вектора																											r							x	2	y				2		называется
																																																							2					2

модулем комплексного числа и обозначается																																					z		, т.е.								z r							,	а угол									между
модулем комплексного числа и обозначается																																							, т.е.															,	а угол									между
вектором		ОМ				и		осью						Ox				называется												аргументом																		комплексного															числа и
вектором		ОМ				и		осью										называется												аргументом																		комплексного															числа и
обозначается arg z , т.е. arg z . Тогда
																								х										у
			z х уi									х2			у		2							х										у							i		r(cos i sin ) , где


																					х		2		у		2				х	2			у				2
																							2				2					2							2

																																														x						,
																															cos																					,
																																											x		2		y			2
																																													2					2
r		x	2	y		2		, а					- решение системы																																								.
r		x		y																																										y


																															sin
																																											x	2			y		2
																																											x				y

Среди всех значений аргумента комплексного числа выбирают главное
значение аргумента, удовлетворяющее условию																																						.

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>