17.2 Квантование момента импульса.

Физический смысл квантовых чисел и

Собственные функции уравнения (17.2) представляют собой произведения двух функций, одна из которых зависит только от , а другая – только от углови:

, (17.11)

где – радиальная часть волновой функции,– угловая часть волновой функции,– полярный угол,– азимутальный угол.

Функция является собственной функцией оператора квадрата момента импульса, она, в свою очередь, имеет вид

, (17.12)

где – полярная часть сферической функции,– азимутальная часть.

Момент импульса является одной из важнейших характеристик движения. Это связано с тем, что момент импульсасохраняется, если система изолирована или движется в центральном силовом поле. В квантовой механике вводятся четыре оператора: оператор квадратаи три оператора проекций момента на оси координат:. Оказывается, что одновременно могут иметь определенные значения лишь квадрат моментаи одна из проекций, например,. Другие две проекции (иоказываются полностью неопределенными. Это означает, что направление моментав пространстве является неопределенным.

Наглядно это представлено на рис.2. Вектор как бы «размазан» по образующим конуса, ось которого совпадает с направлением оси. В этом случае две проекции,и, оказываются полностью неопределенными.

Рис. 2

Рассмотрим момент импульса электрона.

Модуль момента импульса. Согласно (16.32) для определения модуля момента импульса необходимо решить уравнение

. (17.13)

Оператор в сферической системе координат зависит только от углови, поэтому его называютоператором углового момента. Подставляя в (17.13)

функцию (17.11), мы получим уравнение

. (17.14)

Оператор достаточно сложный, и решение этого уравнения является очень громоздким. Поэтому мы ограничимся приведением конечного результата:

собственные значения данного оператора равны

(17.15)

где – так называемое орбитальное квантовое число.

Отсюда модуль момента импульса

где . (17.16)

Таким образом, квантовое число определяет величину момента импульса электрона в пространстве ядра атома, то есть момента, появляющегося у электрона вследствие его орбитального движения. Поэтому квантовое числоназывают орбитальным квантовым числом. Из формулы (17.16) видно, что момент импульса электрона в атоме квантован.

Проекция момента . Вид оператора довольно прост. Было показано

(см. формулу 16.41)., что в сферических координатах

Поэтому мы можем рассматривать решение уравнения

(17.17)

в качестве еще одного примера на нахождение собственных значений оператора.

Подставив -функцию в виде (17.11) и (17.12) и учитывая, что операторзависит только от азимутального угла, получим

или

,

отсюда

, (17.18)

где называется магнитным квантовым числом.

Проекция вектора не может быть больше модуля этого вектора, т.е. , поэтому в соответствии с (17.16) и (17.18) должно выполняться условие

.

Отсюда следует, что максимальное значение равно. Мы видим, что при заданномчислопринимаетзначение.

Итак, мы имеем

,

. (17.19)

Полученные результаты, определяющие возможные значения и, называютпространственным квантованием. Для наглядности пространственное квантование представим графически (см. рис. 3). Пусть , тогда,.

Рис. 3

Так как у электрона в атоме определена лишь одна проекция момента , а две проекции моментаиостаются при этом неопределенными, то можно говорить только об ориентации моментаотносительно оси. Пространственная ориентация векторав целом остается неопределенной.

Следует заметить, что пространство в атоме изотропно: ни одно направление в нем не имеет преимущества перед другим, пока оно не выделено как-нибудь физически. Если мы хотим выделить, скажем, ось , то необходимо включить параллельно этой оси, например, магнитное поле, и тогда можно говорить о проекциина направление магнитного поля.

А теперь выясним, почему число называется магнитным квантовым числом.

Рассмотрим атом водорода во внешнем магнитном поле.

Ранее отмечалось, что атом обладает магнитными свойствами. Наличие этих свойств следует из представлений теории Бора. Пусть электрон движется со скоростью по орбите радиусом(рис. 4). Через площадку, пересекающую орбиту электрона, за время равное периоду обращенияпереносится заряд. Следовательно, движущийся по орбите электрон образует круговой ток.

Рис. 4

Так как заряд электрона отрицателен, направление движения электрона противоположно направлению тока.

Магнитный момент кругового тока (в системе СГС) по определению равен

,

где см/с – электродинамическая постоянная, значение которой совпадает с величиной скорости света в вакууме.

Учитывая, что , перепишем предыдущее выражение в виде

.

Остается учесть, что момент импульса электрона , и мы получим

, (17.20)

где знак минус указывает, что направления обоих моментов, и, взаимно противоположны. Теперь в наши чисто классические рассуждения введем квантовую поправку: учтем, что орбитальный момент импульса электрона равен:, тогда

, (17.21)

где называется орбитальным магнитным моментом, а– магнетоном Бора.

Возможные проекции орбитального магнитного момента на направление магнитного поля (напомним, что магнитное поле): равны

, (17.22)

где .

Из-за связи (17.22) квантовое число было названо магнитным. Из этого соотношения также видно, что магнетон Бораявляется единицей магнитных моментов атомов и молекул, обусловленных движением в них электронов.

В магнитном поле, ввиду наличия орбитального магнитного момента, атом ведет себя как магнитный диполь и обладает дополнительной энергией магнитного взаимодействия. Эта потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента с внешним магнитным полемравна

.

Тогда оператор Гамильтона в этом случае имеет вид:

.

Собственные значения энергии оказываются равными

, (17.23)

то есть в магнитном поле энергия электрона в атоме водорода зависит не только от главного квантового числа , но и от магнитного квантового числа. Магнитное поле снимает вырождение по квантовому числу.