15.4 Соотношения неопределенностей

В классической механике состояние частицы определяется динамическими переменными, такими как координаты, импульс, момент импульса, энергия и т.д.

Решая уравнение Ньютона

,

зная силу , а также начальные значенияи, можно однозначно определить радиус-вектори скоростьв любой момент времени. Таким образом, в классической механике выполняются следующие положения:

1. состояние частицы определяется точными значениями импульса и координаты частиц

2. последовательность точных значений определяет траекторию частицы.

Существенным отличием движения микрочастицы от классической частицы является то, что для микрочастицы неприменимо понятие траектории, то есть невозможно одновременно точно измерить координату и импульс частицы.

Так как частица обладает волновыми свойствами, то ее координата и импульсмогут быть заданы не точно, а лишь с неопределенностьюи.

Глубокий анализ причин существования этого предела точности провел В. Гейзенберг (1927 г.). Количественные соотношения он сформулировал в виде соотношений неопределенностей.

Первое соотношение неопределенностей ограничивает точности одновременного измерения координат и соответствующих проекций импульса частицы. Для проекции, например, на ось оно выглядит так:

. (15.22)

Смысл этого соотношения заключается в том, что если положение частицы, например, по оси известно с неопределенностью, то в тот же момент времени компоненту импульса частицы можно измерить только с точностью. Наоборот, определение импульса частицы с точностьюприводит к неопределенности положения частицы.

В качестве иллюстрации приведем следующий пример. Рассмотрим дифракцию частиц на щели (рис. 4).

Рис. 4

Если частица пройдет сквозь щель, то в плоскости щели координата будет определена с точностью, где– ширина щели. При этом вследствие дифракции с наибольшей вероятностью частица будет двигаться в пределах угла, где– угол, соответствующий первому дифракционному минимуму. Он определяется условием:

,

что доказывается в волновой оптике.

В результате дифракции возникает неопределенность значения – проекции импульса, разброс которого

,

где – импульс частицы.

Учитывая, что , получаем. Применяя формулу де-Бройля, имеем

,

что согласуется по порядку величины с (15.22).

Таким образом, попытка определить координату частицы, действительно, привела к появлению неопределенностив импульсе частицы.

Второе соотношение неопределенностей устанавливает неопределенность измерения энергии за данный промежуток времени:

(15.23)

Смысл этого соотношения заключается в том, что для измерения энергии с точностью необходимо время, не меньшее , чем. Примером может служить «размытие» энергетических уровней атомов (кроме основного состояния). Это связано с тем, что время жизни атомов во всех возбужденных состоянияхс. Отсюда уширение уровняэВ. Оно приводит к уширению спектральных линий (естественному уширению), которое действительно наблюдается.

Так как , поэтомупри данныхи. Только предельный переход к классической физике, при которомснимает ограничения на точность измерения.

Соотношения неопределенностей являются одним из фундаментальных положений квантовой механики. Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов. В частности, оно позволяет оценить размеры атома водорода и минимальную энергию электрона в атоме, а также объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома.

Если бы электрон упал на ядро, его координата и импульс приняли бы точные значения, что несовместимо с соотношением неопределенностей. Для оценки можно положитьи. Тогда согласно (15.22), и энергия электрона в атоме водорода равна

. (15.24)

Значение , при которомминимальна, можно найти, приравняв производнуюк нулю:

.

Отсюда следует, что

(15.25)

Полученный результат полностью совпадает с радиусом первой боровской орбиты атома водорода (15.12).

Подставив (15.25) в (15.24), мы найдем энергию :

эВ , (15.26)

что также совпадает с энергией основного состояния атома водорода (см. формулу ( 5.14)).

Разумеется, совпадение наших грубых оценок с точными значениями иследует считать случайными. Важно лишь то, что получен верный порядок этих величин. Размер атома является результатом компромисса двух слагаемых энергии (15.24), имеющих противоположные знаки. Если увеличить отрицательное слагаемое (потенциальную энергию), уменьшив, то увеличится кинетическая энергия, и наоборот.

Таким образом, соотношение неопределенностей проявляет себя в атоме подобно силам отталкивания на малых расстояниях.

В результате электрон находится в среднем на таком расстоянии от ядра, на котором действие этих сил отталкивания компенсируется силой кулоновского притяжения.

Задачи

Задача 1. Найти потенциал ионизации атома водорода.

Решение

Потенциал ионизации определяется уравнением, где– энергия, которую надо сообщить электрону, чтобы перевести его с основного состояния за пределы атома. Для атома водорода

Учитывая, что , где= 13,6 эВ, получим, а, тогда.

Потенциал ионизации В.

Задача 2 У какого водородоподобного иона разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана = 59,3 нм?

Решение

Головная линия серии Бальмера появляется при переходе иона с уровня на уровень.

Учитывая, что , получим

.

Таким образом, . Головная линия серии Лаймана соответствует переходу иона с уровняна уровень. Поэтому

.

Таким образом,

.

Из этих формул находим

, откуда

.

Это двухкратно ионизованный атом лития, Li⁺⁺.

Задача 3. Получить выражение для дебройлевской длины волны релятивистской частицы, движущейся с кинетической энергией.

Решение В нерелятивистском случае кинетическая энергия связана с импульсом соотношением, где– масса покоя частицы. Получим

.

В релятивистском случае кинетическая энергия определяется выражением

, отсюда

.

В результате

Задача 4. В одном из опытов Дэвиссона и Джермера по отражению электронов от монокристалла никеля максимум 4-го порядка наблюдался в направлении, составляющем угол = 55⁰ с направлением падающих электронов при кинетической энергии = 180 эВ (рис.) Вычислить соответствующее значение межплоскостного расстояния. Определить, под каким углом к поверхности монокристалл ориентированы атомные плоскости.

Решение

Сначала изобразим схему (рис.), соответствующую условию задачи. Затем воспользуемся формулой Вульфа-Брегга , где– угол скольжения, который как видно из рисунка, равен, а– дебройлевская длина волны. После подстановкиив формулу Вульфа-Брегга получимм

Здесь – порядок инерференционного максимума. Из рис. видно, что уголмежду атомной плоскостью и поверхностью кристалла равен

.

Задача 5 . Атом излучает фотон с длиной волны = 5500 Å. Известно, что время излученияс. Оценить 1) точность, с которой может быть определено положение данного фотона в направлении его движения; 2) неточность в определении указанной длины волны (т.е. ширину спектральной линии излученного света) с помощью соотношения неопределенностей.

Решение

1. Так как фотон движется со скоростью , то за времяон может пройти отрезокм.

Это значение и будет искомой неопределенностью в координате фотона, если время излучения.

2. Энергия фотона . Неопределенностьможно найти из соотношения неопределенностей. Продифференцировав формулу, получим. Перейдя к конечным приращениям, получим. Отсюда. После подстановки численных значений найдем искомое значение неточности определения длины волны:

Задача 6. Частица массы движется в одномерном потенциальном поле, где ее потенциальная энергия(гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную энергиючастицы в этом поле.

Решение

При можно считать, чтои. Тогда учитывая, что, получим, что, и мы можем записать выражение для полной энергиикак

.

Из условия находим, при которомПолучим

, отсюда

.

После подстановки получим:

,

где – собственная частота гармонического осциллятора.

Точный расчет дает величину .

Тесты

1. На рисунке представлена схема энергетических уровней атома водорода. При переходе между какими уровнями поглощается квант с наибольшей частотой?

(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) .

2. Ион гелия He⁺ находится в состоянии с n=7. Сколько линий содержит спектр его излучения?

(1) 7, (2) 5, (3) 6, (4) 4, (5) 3.

3. Ион гелия He⁺ испустил фотон с длиной волны 2.75∙10^-7 м. На сколько изменилась энергия электрона в атоме?

(1) 2.25 эВ, (2) 1.125 эВ, (3) 6.75 эВ, (4) 0.75 эВ, (5) 4.5 эВ.

4. В атоме водорода электрон перешел с 4-го энергетического уровня на 2-й. Какова энергия испущенного при этом фотона?

(1) 4.55 эВ, (2) 1.55 эВ, (3) 3.55 эВ, (4) 2.55 эВ, (5) 5.55 эВ.

5. Потенциал ионизации основного состояния иона Li²⁺ (Z=3) равен:

(1) 54.4 эВ, (2) 108.8 эВ, (3) 136.0 эВ, (4) 122.4 эВ эВ.

6. Потенциал ионизации основного состояния иона He⁺ (Z=2) равен:

(1) 27.2 эВ, (2) 13.6 эВ, (3) 54.4 эВ, (4) 40.8 эВ.

7. Потенциал ионизации состояния c n=3 в ионе He⁺ (Z=2) равен:

(1) 12.08 эВ, (2) 6.04 эВ, (3) 18.12 эВ, (4) 24.18 эВ.

8. Положение электрона (m = 9.1 10^-31 кг) в атоме водорода известно с неопределеннос-тью Δx = 0.723 нм. Тогда учитывая, что постоянная Планка h=6.6 10^-34 Дж∙с, неопре-деленность скорости Δv_x электрона будет не менее ,чем

(1) ≈10⁶ м/c, (2) ≈10⁹ м/c, (3) ≈10³ м/c, (4) ≈100 м/с.

9. Положение атома углерода (m=2 10^-26 кг) в кристаллической решетке алмаза опреде-лено с погрешностью Δx=5 10^-11 м. Тогда, учитывая, что постоянная Планка h=6.6 10^-34 Дж∙с, неопределенность скорости Δv_x теплового движения атома углерода будет не менее чем

(1) 1050 м/c, (2) 0.95 м/c, (3) 0.095 м/с, (4) 660 м/c.

10. Пусть положение нейтрона (m=1.67 10^-27 кг) известно с точностью Δx=19.7 нм. Тогда, учитывая, что постоянная Планка h=6.6 10^-34 Дж∙с, неопределенность скорости Δv_x нейтрона будет не менее чем

(1) ≈20 м/c. (2) ≈0.2 м/c, (3) ≈2 м/c, (4) ≈200 м/с.

11. Время жизни электрона в метастабильном состоянии равно 10^-3 с. Учитывая, что постоянная Планка h = 4.13 10^-15 эВ∙с, ширина метастабильного уровня будет не менее

(1) 1.05 10^-18 эВ, (2) 4.13 10^-12 эВ, (3) 6.6 10^-12 эВ, (4) 3.14 10^-18 эВ.

12. Атом излучает фотон в течение примерно 3∙10^-9 с. Учитывая, что постоянная Планка h=4.13 10^-15 эВ∙с, неопределенность энергии фотона будет не менее

(1) ≈2.8 10^-6 эВ, (2) ≈1.24 10^-24 Дж, (4) ≈1.24 10^-24 эВ, (4) ≈1.4 10^-6 эВ.

12. Время жизни одного из возбужденных состояний атома гелия равно 5.5∙10^-10 с. Учитывая, что постоянная Планка h=4.13 10^-15 эВ∙с, ширина уровня будет не менее

(1) ≈7.5 10^-6 эВ, (2) ≈1.4 10^-24 эВ, (3) ≈0.75 10^-6 эВ, (4) ≈1.4 10^-6 м.

13. Длина волны де Бройля нейтрона (m=1.67·10^-27 кг), движущегося со скоростью 2·10⁶ м/с, равна:

(1) ≈4.2·10^-13 м, (2) ≈3.1·10^-13 мм, (3) ≈2.6·10^-13 мм, (4) ≈5.2·10^-13 см, (5) ≈2·10^-13 м.

14. Длина волны де Бройля электрона (m=9.1·10^-31 кг), движущегося со скоростью 2·10⁶ м/с, равна:

(1) ≈5.8·10^-10 м, (2) ≈5.8·10^-10 мм, (3) ≈3.6·10^-10 см, (4) ≈3.6·10^-10 м, (5) ≈3.6·10^-10 мм.

15. Отношение длин волн де Бройля электрона и протона (m_p/m_e≈2000), движущихся с одинаковыми скоростями равно:

(1) ≈1/2000, (2) ≈2000², (3) 1, (4) ≈2000, (5) ≈1/2000².

16. Длина волны де Бройля λ частицы массы m, движущейся со скоростью v, определяется следующим образом:

(1) λ=ħ/(mv), (2) λ=mħ/v, (3) λ=hmv, (4) λ=h/(mv), (5) λ=mv/ħ.

17. Длина волны де Бройля пули массой 12 г, движущейся со скоростью 550 м/с, равна:

(1) 10^-33 см, (2) 10^-35 мм, (3) 10^-35 м, (4) 10^-34 м, (5) 10^-33 м.

18. Корпускулярно-волновой дуализм означает, что

(1) вне зависимости от внешних условий объект проявляет и волновые и корпускулярные свойства, (2) природа объекта не определена, (3) проявление волновых и корпускулярных свойств объекта имеет вероятностный характер, (4) в некоторых условиях объект проявляет волновые свойства, а в некоторых - свойства частицы.

19. Корпускулярные характеристики микрообъекта включают в себя

(1) скорость и импульс, (2) частоту и энергию, (3) координату и импульс, (4) импульс и энергию.

20. Согласно гипотезе де Бройля

(1) импульс частицы связан с длиной волны соотношением , (2) импульс частицы связан с длиной волны соотношением, (3) импульс частицы связан с энергией соотношением, (4) импульс частицы связан с частотой волны соотношением.

21. Корпускулярно-волновой дуализм присущ

(1) только элементарным частицам, (2) всем микрообъектам, (3) только частицам с нулевой массой, (4) всем материальным телам.

22. Волновые свойства не проявляются у

(1) атомного ядра, (2) атома, (3) пули, (4) молекулы.

23. Соотношение неопределенностей утверждает, что

(1) Δp_yΔy≥h, (2) Δp_xΔx≤h, (3) Δp_yΔx≥h, (4) ΔyΔx≥h, (5) Δp_x≥Δy.

24. Из соотношения неопределенностей следует, что

(1) микрообъекты не могут перемещаться в пространстве, (2) импульс микрообъекта не может быть измерен точно, (3) положение микрообъекта в пространстве не может быть определено, (4) у микрообъектов отсутствует траектория, (5) микрообъекты подчиняются уравнению Шредингера

25. Согласно соотношению неопределенностей микрочастица

(1) не может иметь одновременно координату x и импульс p, (2) не может иметь одновременно координату x и проекцию импульс p_y, (3) не может иметь одновременно координату x и импульс p, (4) не может иметь одновременно координату y и проекцию импульса p_y, (5) не может иметь одновременно энергию E и импульс p.

22