Лабораторная работа - Организация расчетов в системе Maple. Часть 2

Лабораторная работа № 11. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Цель работы

Изучение теоретических основ работы со степенными рядами.

Получение навыков по работе со степенными рядами в программе Maple.

Получение навыков по расчету интегралов с помощью степенных рядов.

Оценка влияния количества членов ряда на точность расчетов.

Функции Maple, полезные при выполнении лабораторной работы

Для разложения функции в ряд в Maple предусмотрена функция "series". Формат вызова "series" следующий:

series(expr, eqn);

Здесь "expr" – выражение, которое необходимо разложить в ряд (может быть прописано как внутри вызова данной функции, так и описано заранее);

"eqn" – условие разложения, записывается в виде "имя переменной = значение" (например, условие х = 2 соответствует случаю разложению в ряд по степеням х – 2). Заметим, что при разложении по степеням х условие можно записывать просто в виде имени переменной, по которой производится разложение.

По умолчанию ряд выдается в виде полинома 5-ой степени. Остаточная погрешность обозначается в виде О(х6), либо в виде О((х – х0)6), если разложение проводится

51

по степеням (х – х0). При необходимости число членов ряда в разложении можно изменить. Для этого нужно либо присвоить новое значение системной переменной "Order" (что приведет к изменению количества членов ряда в разложении по умолчанию во всех дальнейших вычислениях), либо воспользоваться расширенным форматом вызова функции "series":

series(expr, eqn, n);

Здесь "n" соответствует числу членов ряда, требуемых при разложении.

Заметим, что полученное выражение в случае присутствия остаточного члена является символьным. Это означает, что его нельзя отобразить графически, нельзя рассчитать значение этого выражения при конкретном значении переменной и т. д. Эта проблема легко решается с помощью функции "convert", преобразующей полученное выражение в обычный полином, то есть фактически "убирающей" из полученного выражения член, соответствующий остаточной погрешности.

Для разложения в ряд Тейлора используется функция "taylor", параметры вызова которой абсолютно аналогичны параметрам функции "series". При этом также сохраняются все особенности работы, присущие функции

"series".

Функция "type" позволяет проверить, является ли полученное разложение в степенной ряд рядом Тейлора.

Для функции нескольких переменных разложение в ряд Тейлора можно получить с помощью функции "mtaylor". Для использования этой функции необходимо подключить соответствующую библиотеку с помощью функции "readlib". Основное отличие "mtaylor" от "taylor"

состоит в том, что задается не одно условие разложения, а

52

несколько (количество условий определяется количеством переменных в разлагаемой функции).

Задание на лабораторную работу

1.Изучите необходимые теоретические сведения

[2, с. 119–147].

Выберите один из вариантов задания из табл. 11.1.

2.Получите аналитическое разложение выбранной функции в ряд Тейлора в точке х0 (в разложении ограничьтесь первыми 8 членами ряда) без использования Maple. Реализуйте нахождение ряда в Maple, не пользуясь функциями "series" и "taylor" (см. пример в [2, с. 143]). Сравните свои данные и результат, полученный с помощью Maple.

3.Разложите выбранную функцию с помощью функций "series" и "taylor" с использованием 8 членов ряда. Сравните результаты, сделайте выводы.

4.Покажите исходную функцию и ее разложение в ряд Тейлора с числом членов, равным n, на одном графике на отрезке [a, b] (n и [a, b] – из табл. 11.1).

5.Убедитесь, что при расширении диапазона вычислений функции с помощью ряда Тейлора ошибка возрастает. Совместите на одном графике 3 варианта разложения в ряд с разным числом членов ряда.

6.Опытным путем определите, какое минимальное число членов ряда Тейлора необходимо взять, чтобы максимальная относительная ошибка (по модулю) аппроксимации функции с помощью этого ряда на заданном отрезке [a, b] не превышала допустимую.

7.Получите значение заданного интеграла с заданной точностью eps1 (см. табл. 11.2) с помощью степенного ряда аналитическим путем без использования системы

53

Maple. Проверьте полученный результат с помощью

Maple.

8.Найдите число членов ряда, необходимых при вычислении интеграла (см. пример в [2, с. 136]) с заданной точностью eps2. Определите значение интеграла в Maple с использованием функции "evalf", сравните со своими данными, сделайте вывод.

9.Оформите отчет по лабораторной работе.

Таблица 11.1. Задания к теме "Степенные ряды" (часть 1)

54

Окончание табл. 11.1

55

Окончание табл. 11.2

Контрольные вопросы

1.В чем состоит определение области сходимости функционального ряда (приведите примеры рядов с различными областями сходимости)?

2.Какой ряд называется равномерно сходящимся?

3.В чем состоит признак Вейерштрасса абсолютной и равномерной сходимости рядов?

4.Каковы основные свойства равномерно сходящихся рядов?

5.В чем состоит доказательство теоремы Абеля

осходимости степенных рядов?

6.Как вывести формулу для вычисления радиуса области сходимости степенного ряда?

7.Каковы условия разложимости функции в ряд

Тейлора?

56

8.Разложите функцию y = cos x в степенной ряд. Как с помощью остаточного члена доказать сходимость полученного ряда к данной функции?

9.Разложите функцию y = еx в степенной ряд. Как с помощью остаточного члена доказать сходимость полученного ряда к данной функции?

10.Как найти промежуток сходимости степенного ряда для функции у = 1 + х?

11.В чем состоит теорема об интегрировании

степенных рядов (покажите на примере функции y = arctg x)?

12.В чем состоит теорема о дифференцировании степенных рядов? Как с ее помощью получить разложение

вряд для функции y = sin x?

13.Как оценить точность вычисления суммы знакочередующегося ряда?

14.В чем состоит метод приближенного вычисления определенных интегралов с помощью рядов?

15.Как применить степенные ряды для приближенного интегрирования дифференциальных уравнений?

16.Какая функция Maple предназначена для разложения функции в ряд? Как повлиять на количество членов

вразложении?

17.Как избавиться от остаточного члена в полученном разложении в ряд?

18.В чем отличие функций "series" и " taylor"?

19.Как в Maple найти значение интеграла с заданной точностью с помощью степенного ряда?

20.Как в Maple изобразить на одной плоскости график исходной функции и ее разложения в степенной ряд?

57

Лабораторная работа № 12. РЯДЫ ФУРЬЕ

Цель работы

Изучение теоретических основ работы с рядами Фурье.

Получение навыков по работе с рядами Фурье в программе Maple.

Оценка влияния количества членов ряда на точность расчетов.

Задание на лабораторную работу

1.При выполнении лабораторной работы необходимо учитывать, что в Maple отсутствуют стандартные средства для нахождения коэффициентов разложения функции в ряд Фурье. Перед выполнением лабораторной работы необходимо изучить теоретические сведения о рядах Фурье [2, с. 152–179].

Выберите один из вариантов задания из табл. 12.1.

2.Получите аналитическое разложение выбранной

функции в ряд Фурье с заданным полупериодом l без использования системы Maple (если это возможно – при невозможности получения значений коэффициентов приве-

(см. [2, с. 177]) попытайтесь получить общий вид ряда Фурье для выбранной функции. Сравните свои данные и результат, полученный с помощью Maple.

4. Получите разложение функции в ряд Фурье в Maple, в разложении ограничьтесь первыми n членами ряда (см. пример в [2, с. 159]).

58

5.Проанализируйте выбранную функцию с точки зрения четности/нечетности, напишите для нее процедуру нахождения частичной суммы ряда Фурье (аналог проце-

дур "FUR", "FUR_chet" или "FUR_nechet" – см. [2, с. 164– 166 и 169]).

6.Покажите на одном графике исходную функцию

иее разложение в ряд Фурье с максимальным номером коэффициентов, равным значению n из табл. 12.1.

7.Убедитесь, что при увеличении числа коэффициентов ряда частичная сумма ряда Фурье все лучше и лучше соответствует исходной функции. Совместите на одном графике разложения функции в ряд Фурье с разным количеством членов.

8.Постройте график абсолютной ошибки аппрок-

симации функции с помощью ряда Фурье в диапазоне (–d· l ; d· l ). Найдите значение количества коэффициентов ряда, которые нужно учесть в частичной сумме, чтобы абсолютная погрешность в рассматриваемом диапазоне не превышала максимальное значение из табл. 12.1.

Примечание: если исходная функция имеет точки разрыва внутри рассматриваемого диапазона, то рассмотрите несколько диапазонов, исключив по (1–d)/2 % не только с концов, но и вокруг точек разрыва.

9. Выполните анимацию для своей функции и ее представления рядом Фурье с увеличением числа членов ряда по аналогии с примером в [2, с. 172].

10.Оформите отчет по лабораторной работе.

59

Таблица 12.1. Задания к теме "Ряды Фурье"

60