5.8 Квантово - механическое описание атомов
.pdfСодержание лекции:
•Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода.
•Волновые функции и квантовые числа.
•Правила отбора для квантовых переходов
Водородоподобные атомы
• Стационарная задача квантовой механики для водородоподобного атома, описывающая движение одного электрона в электрическом поле
неподвижного ядра с зарядом +Ze : Z = 1 - для атома водорода;
Z = 2, 3, … - для других водородоподобных атомов (ионов).
• |
Потенциальная энергия электрона |
||
|
в электрическом центрально – |
||
E > 0 |
симметричном поле ядра: |
||
|
U (r) |
Ze2 |
|
|
4 0r |
||
|
|
• Движение электрона в таком поле можно рассматривать как движение в некоторой сферической потенциальной яме, форма которой изображена на рис.
Уравнение Шредингера
2me
2
|
2 |
|
|
E |
Ze |
|
0 |
|
|
||
|
4 |
|
|
|
0r |
Е – полная энергия электрона в атоме. |
|
r |
|
|
|
|
|
• |
Собственные функции в сферической |
|
|
|
системе координат: |
|
|
(r, , ) R(r) Y ( ,)
Рассмотрим важнейшие результаты, которые следуют из решения уравнения Шредингера, и их физический смысл.
Собственные значения энергии
1.Ионизированный атом: E > 0 непрерывный спектр, соответствующий свободному движению электрона.
2.Связанное с ядром движение электрона E < 0, дискретный спектр отрицательных значений энергии:
En |
1 |
|
Z 2me4 |
(n 1, 2, 3,...) |
n – главное |
|||
n |
2 |
2 |
2 |
квантовое число |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
8h |
0 |
|
|
•Совпадает с формулой, полученной Н. Бором.
• |
Энергия ионизации Ei |
E1 13,55 эВ |
|||||
• |
Тогда |
E |
|
E |
|
Z 2 |
эВ |
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
i n2 |
|
• Уровень E1 - основной; все остальные En E1 - возбужденные
Квантование момента импульса
• В квантовой теории момент импульса существенно отличается от классического - модуль момента импульса L может быть задан сколь
угодно точно только с одной из проекций, например, Lz
• Другие две проекции Lx ; Ly в этом случае оказываются полностью неопределенными.
• Это означает, что направление
момента L в пространстве является
неопределенным. Вектор L как бы «размазан» по образующим конуса,
Lz |
L |
ось которого совпадает с направлением координатной оси Z.
• Модуль момента импульса имеет дискретные, квантовые значения
L ( 1)
0,1, 2,... - орбитальное квантовое число
Проекция момента Lz
Lz |
L |
•Проекция момента импульса на ось Z - (например, направление внешнего магнитного поля) имеет дискретные, квантовые значения
Lz m
m 0, 1, 2,...,
|
|
|
|
|
- магнитное квантовое число |
|
|
|
|
|
• Квантование длины и направления |
m |
|
|
( 1) |
||
|
|||||
|
момента импульса называют |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
пространственным квантованием. |
|||
Lz |
L |
|
Если m = 1, то Lz - постоянную Планка можно рассматривать как естественную длину момента импульса
Спин электрона
Спин - собственный неуничтожимый механический момент импульса элементарных частиц, имеющий квантовую природу и не связанный с перемещением частицы как целого. Нет классического аналога.
Открыт в 1925 г. Д. Уленбеком и С. Гаудсмитом при объяснении расщепления всех энергетических уровней, кроме основного.
• |
Квантуется по закону |
Ls |
|
|
s(s 1) |
|
||||||
|
s - спиновое квантовое число |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Для электрона s |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
• |
L |
|
3 (частицы - фермионы) |
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
s |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Для фотона s 1 |
Ls 2 (частицы – бозоны) |
Джордж Юджин |
Сэмюэл Абрахам |
Уленбек |
Гаудсмит |
(1900-1988) |
(1902-1978) |
•Проекция спина на направление внешнего магнитного поля квантуется по закону:
|
|
|
|
|
Lsz ms |
|
|
|
|
|
||||||
|
ms - магнитное спиновое квантовое число |
|
|
|
|
|
||||||||||
• |
Для электрона (фермиона) |
ms |
1 |
|
|
Lsz |
|
|
|
|||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||
• |
Для фотона (бозона) |
|
|
|
ms 1 |
|
Lsz |
|
||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ls |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Две ориентации спина электрона
2