1

Спасение моряков с помощью теоремы Байеса

Где-то в 1740 году британский пресвитерианский

священник Томас Байес решил математически до-

казать существование Бога. Его гениальное решение,

ныне известное как теорема Байеса (она же формула

Байеса), сейчас считается одной из наиболее успешных статистических концепций всех времен. Однако на протяжении 200 лет ее по большей части игнорировали, потому что

сложные математические вычисления было очень трудно производить вручную. Для того чтобы в полной мере оценить потенциал теоремы Байеса, потребовалось изобрести компьютер. Теперь благодаря нашим быстрым процессорам она стала ключевым элементом в науке о данных и в сфере машинного обучения.

Поскольку правило Байеса дает математически верный способ учитывать новые данные и пересчитывать оценку вероятности события, оно применяется практически во всех областях деятельности человека, начиная со взлома кодов и прогноза, кто победит на президентских выборах, и заканчивая расчетом того, как увеличится число инфарктов при повышении холестерина. Перечень областей, в которых применяется теорема Байеса, с легкостью займет целую главу книги. Но так как для нас важнее всего спасение жизни людей, мы рассмотрим, как использовать эту теорему для помощи потерявшимся морякам.

В этой главе мы создадим игру-симуляцию поисково-спасательной операции. Игроки, действующие от лица спасателей береговой охраны, будут использовать

26      Глава 1. Спасение моряков с помощью теоремы Байеса

теорему Байеса, чтобы принять решения, которые позволят как можно быстрее обнаружить моряков. Мы начнем с известных инструментов из области data science и компьютерного зрения — библиотеки Open Source Computer Vision Library (OpenCV) и NumPy.

Теорема Байеса

Теорема Байеса помогает исследователям определить вероятность какого-либо события при условии, что произошло другое взаимосвязанное с ним событие. Как сказал великий французский математик Лаплас: «Вероятность причины с учетом события пропорциональна вероятности события с учетом его причины». Базовая формула такова:

Здесь A — это гипотеза, а В — это данные. P(A/B) означает вероятность А с учетом В. Предположим, нам известно, что конкретный тест на некий вид рака не всегда точен и может давать ложноположительные результаты, которые указывают, что рак у пациента есть, хотя на самом деле его нет.

Выражение Байеса в таком случае выглядит так:

Начальная вероятность будет основана на клинических исследованиях. Например,­ 800 из 1000 человек, болеющих раком, могут получить положительный результат, а 100 из 1000 — ошибочный. На основе показателей заболеваемости общая вероятность наличия у конкретного человека рака может составлять всего 50 из 10 000. Итак, если общая вероятность наличия рака мала, а общая вероятность получения положительного теста относительно высока, то вероятность наличия рака при положительном тесте снижается. Если в исследованиях зафиксирована частота ошибочных результатов тестирования, то правило Байеса может скорректировать оценку измерений.

Теперь, когда принцип применения теоремы ясен, взгляните на рис. 1.1, где показаны различные варианты, следующие из теоремы Байеса, на примере заболевания раком.

Теорема Байеса      27

У а

Ча ( а а ) а

О •а

а ( -

а)

Рис. 1.1. Теорема Байеса: определение терминов на примере заболевания раком

Рассмотрим следующий пример: женщина потеряла где-то дома свои очки для чтения. Она помнит, что последний раз была в них, когда находилась в рабочем кабинете, поэтому первым делом идет искать в кабинет. Очки ей найти не удается, но она видит чайную чашку и вспоминает, что ходила на кухню. В этот момент ей надо сделать выбор: более тщательно обыскать кабинет или же пойти поискать на кухню. Она решает отправиться на кухню. Таким образом, она, сама не зная того, приняла байесовское решение.

В кабинет она отправилась, так как считала, что вероятность обнаружения очков там наиболее высока. На языке Байеса эта начальная вероятность обнаружения очков в кабинете называется априорной. После беглого осмотра кабинета она изменила свое решение на основе двух новых элементов информации: ей не удалось сразу обнаружить очки, но она увидела чашку. Этот фактор называется байесовским выводом — когда по мере появления дополнительных фактов вычисляется новая апостериорная оценка (P(A/B) на рис. 1.1).

Представим, что женщина решила использовать при поиске теорему Байеса. Она определила вероятность нахождения очков в кабинете или на кухне и эффективность своих поисков в этих двух помещениях. Теперь вместо интуитивных ощущений ее решения опираются на математическую модель, которую можно постепенно обновлять, если дальнейшие поиски не дадут результата.

28      Глава 1. Спасение моряков с помощью теоремы Байеса

На рис. 1.2 показаны вероятности поиска очков.

Рис. 1.2. Начальные вероятности того, что очки находятся в каждом помещении, и эффективности поиска (слева) в сравнении с обновленными целевыми вероятностями (справа)

Левая схема показывает начальную ситуацию. Правая — ситуацию после применения правила Байеса. Предположим, что изначально шанс найти очки в кабинете составлял 85 %, а на кухне — 10 %. Другим комнатам присвоена вероятность 1 %, потому что правило Байеса не может обновлять целевые вероятности, равные нулю (к тому же всегда есть небольшой шанс, что женщина оставила очки в одной из этих комнат).

На левой схеме числа после слэша показывают вероятность эффективности поиска (search effectiveness probability, SEP), то есть оценку эффективности осмотра области. Так как женщина обыскала пока только кабинет, это значение для всех остальных комнат равно нулю. После байесовского вывода (обнаружения чашки) женщина может повторно вычислить вероятности на основе результатов поиска (показано справа). Теперь кухня становится наиболее предпочтительным местом для поиска, но при этом также возрастает вероятность и для других комнат.