35 Вопрос
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ
Способ построения фундаментальной системы решений принадлежит Эйлеру, который предложил искать решения в виде где k = const. Тогда, принимая во внимание, что исходное линейное однородное дифференциальное уравнение можно записать следующим образом:
Откуда, учитывая отличие от нуля множителя получим характеристическое уравнение
Из этого уравнения находим неизвестный параметр k, а затем определяем функции удовлетворяющие однородному дифференциальному уравнению. Наиболее просто корни характеристического уравнения определяются для квадратного уравнения
для которого
где дискриминант
В зависимости от знака и величины D возможны следующие исходы.
1. Если D > 0, то корни характеристического уравнения вещественны и различны. Для решений линейного однородного дифференциального уравнения и
Функции линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений. В соответствии с теоремой о структуре общего решения такого уравнения можем записать
2. Если D = 0, то характеристическое уравнение имеет один корень кратности два
Следовательно, в этом случае метод Эйлера позволяет определить только одно решение дифференциального уравнения
Второе решение этого уравнения, линейно независимое с первым имеет вид
Поэтому функции линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений для рассматриваемого дифференциального уравнения. Его общее решение может быть записано в виде
3. Если D < 0, то характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня k1,2 = i, где = 0,5а1, . Соответственно, ДУ имеет два комплексно-сопряженных решения, которые с помощью формулы Эйлера можно представить в виде
. Образуя подходящие линейные комбинации функций и находим два вещественных решения и ,
где = 0,5а1, можно убедиться в том, что они являются его решениями.
Функции и линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений рассматриваемого дифференциального уравнения. Его общее решение может быть записано следующим образом:
Пример. Решить уравнение
Решение. Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, коэффициенты которого а1 = 4 и а2 = 3. Характеристическое уравнение имеет дискриминант Следовательно, корни характеристического уравнения и различны. Фундаментальной системой решений заданного дифференциального уравнения являются функции и Общее решение уравнения записывается следующим образом:
Пример. Решить уравнение
Решение. В характеристическом уравнении коэффициенты а1 = -6 и а2 = 9, поэтому дискриминант D = 0. Следовательно, характеристическое уравнение имеет один корень Фундаментальную систему решений заданного уравнения образуют функции и а общее решение уравнения может быть записано в виде
Пример.. Решить уравнение
Решение. В характеристическом уравнении коэффициенты а1 = 4, а2 = 5, поэтому дискриминант D = -1<0. Следовательно, и фундаментальную систему решений заданного уравнения образуют функции и Общее решение заданного дифференциального уравнения записывается в виде