Теорема о среднем значении
Е
сли
функция f(x)
непрерывна на отрезке
,
то
найдется хотя бы одна такая точка
,
что справедливо равенство
Теорема о среднем значении в случае неотрицательной функции f(x) имеет простой геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции f(x), равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой f(c)
29 ВОПРОС. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЁННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Замена переменной
Интегрирование по частям.
30 ВОПРОС. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х, неизвестную функцию у(х) и ее производные y′(x) , y′′(x) ,…, y(n)(x) (или их дифференциалы dx , dy(x) , dxn , dny(x)). В общем виде обыкновенное дифференциальное уравнение записывается следующим образом:
F(x, y(x) , y′(x) ,…, y(n)(x)) = 0.
Дифференциальным
уравнением первого порядка называется
уравнение, связывающее независимую
переменную x, искомую функцию y(x) и
производную первого порядка искомой
функции.
Дифференциальное уравнение первого
порядка имеет вид
31 Вопрос
УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
32 Вопрос
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА: ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ, ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ, ЗАДАЧА КОШИ, ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение вида F(x; y; y’;y’’)=0 , где x - независимая переменная; y - искомая функция; y’ и y’’ - ее производные, называется дифференциальным уравнением второго порядка.
Общее решение дифф. уравнения 2 порядка в некоторой области Q существования и единственности решения задачи Коши (о ней после) - двухпараметрическое семейство функций y=u(x; C1; C2), где С1 и С2 - произвольные постоянные.
Семейство таково, что:
при любых допустимых С1 и С2 оно обращает уравнение в тождество
Значение С1 и С2 можно подобрать так, чтобы оно удовлетворяло начальным условиям
Любая
функция
получающаяся из общего решения уравнения
при определенных значениях постоянных
С1 и С2 - частное
решение.
Теорема
Коши.
Если функция f (x; y; y’) непрерывна в
некоторой окрестности Q точки M0(x0; y0;
y’0), то найдется интервал x0-e<x<x0+e оси
Ox,
на
котором существует, по крайней мере,
одно решение y=u(x) уравнения (1),
удовлетворяющее начальным условиям
для дифф.
уравнения.
Кроме того, если функция f (x; y; y’) имеет ограниченные частные производные
в указанной окрестности Q, то такое решение единственно.
Простейшие уравнения:
y’’=f(x), где нет y и у’. Решается через введение новой функции z(x)=y’, и тогда z’(x)=y’’ = уравнение 1 порядка с искомой функцией z(x).
y’’=f(x;y’), где нет у. Решается через введение новой функции z(x)=y’, и тогда z’(x)=y’’ = уравнение 1 порядка относительно z(x): z’=f(x;z).
y’’=f(y;y’), где нет x. Решается через введение новой функции z(x)=y’. И тогда получаем уравнение 1 порядка:
3
3
ВОПРОС. ЛИНЕЙНОЕ
ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ВТОРОГО ПОРЯДКА. ЕГО ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x), где y - функция, которую требуется найти, а p(x), q(x) и f(x) - непрерывные функции на некотором интервале (a, b). Если правая часть уравнения равна нулю (f(x) = 0), то уравнение называется линейным однородным уравнением. В задачах от нас требуется разрешить уравнение относительно y'': y'' = −p(x)y' − q(x)y + f(x). общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка Теорема. Функция C1y1(x) + C2y2(x) является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если функции y1(x) и y2(x) линейно независимы.
34 ВОПРОС. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка назовем уравнение вида: y’’=f(x) Например, уравнения — y’’= 6-2x или y’’=sin3x - простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Подчеркнем, что в левой части простейшего дифференциального уравнения находится только y’’, а в правой — выражение, содержащее только переменную x. Для решения простейших дифференциальных уравнений второго порядка необходимо двукратное интегрирование по переменной x.
Пример:
