10183

41

Рис. 4.4. Расчетные схемы покрытий

43

4.3.Расчет однопоясных систем с жесткими нитями.

В таких покрытиях в качестве несущих элементов используются жесткие нити или фермы, которые работают под действием нагрузки на растяжение с изгибом.

Теория жесткой нити

Жесткой нитью будем называть криволинейный провисающий стержень, имеющей определенную изгибную жесткость, закрепленный концами на опорах и держащий нагрузку, благодаря осевому растяжению. Жесткая нить аналогична арке – криволинейному выпуклому стержню и отличается от нее тем, что арка имеет кривизну, противоположную нити и держит нагрузку в результате сжатия. Поэтому иногда жесткую нить называют обратной аркой. Постоянство формы делает жесткую нить привлекательной для применения в качестве элемента висячей конструкции.

Расчет усилий от вертикальной нагрузки

Пусть жесткая нить имела до нагружения исходное очертание, соответствующее ординатам z (рис. 4.7). Под действием вертикальной нагрузки нить растянется и получит вертикальное перемещение . Определим возникающие усилия и деформации. Уравнение моментов, взятое относительно точки С, расположенной на оси нити имеет вид:

x

Ax qxdx H (z ) m 0 ,

0

x

где Ax qxdx - момент, равный изгибающему в аналогичной балке; m - момент внутрен-

0

них сил (изгибающий момент). Решая это уравнение относительно распора, получим:

Если принять m EI // , то получим уравнение следующего вида:

EI // H (z ) M 0 (*)

Это уравнение описывает не исходное, а деформированное состояние жесткой нити. Оно не будет иметь решения до тех пор, пока распор не станет известен. В теории висячих мостов нахождение распора составляет одну из основных трудностей расчета. Разделив

равенство (*) на EI и обозначив H / EI k 2 , получим уравнение в виде, удобном для решения

// k 2 k 2 (z MH ) .

44

Рис.4.7

Так как жесткость, требуемая для нити покрытия, мала и незначительно влияет на распор , можно принимать коэффициент k постоянным. Величина M / H представляет собой ординату оси тяжения zФ , т.е. геометрического места точек, через которые проходит рав-

нодействующая усилий. Чем больше шарниров будет иметь жесткая нить, тем меньше при прочих равных условиях будет отклоняться кривая тяжения от оси, тем меньше будут моменты, изгибающие нить.

Так как zф z ф , вместо уравнения (*) можно записать следующее дифференциаль-

ное уравнение

// k 2 k 2 ф

Учитывая, что удлинение нити равно

45

Расчет на равновесную и неравновесную нагрузку

а) Равновесной будем называть такую нагрузку, эпюра моментов которой подобна очертанию нити. Для гибкой нити любая нагрузка является равновесной. Чем больше исходное очертание жесткой нити приближается к очертанию эпюры моментов, тем меньше при прочих равных условиях нить будет изгибаться. Рассмотрим простейший случай – нить загружена равномерной нагрузкой по всему пролету. Так как эпюра моментов имеет форму квадратной параболы, придадим очертанию нити тоже форму параболы с ординатами

Тогда исходное дифференциальное уравнение получаем в виде

где fф - прогиб стрелки кривой тяжения. Решая это уравнение можно получить выраже-

ние для действительного прогиба жесткой нити. При EI 0 она переходит в формулу провеса гибкой нити.

.

б)Неравновесная нагрузка будет не только растягивать нить, но будет стремиться заставить ее принять форму, подобную эпюре моментов. Это вызывает в нити реакцию сопротивления, приводит к росту изгибающих моментов. К неравновесной нагрузке относится временная нагрузка, приложенная на половине пролета. Она вызывает максимальные перемещения в четверти пролета.

в) Сосредоточенная сила. Чем меньше длина загруженного участка, тем очевидно больше сказывается жесткость на деформации нити, в особенности, если величина нагрузки остается постоянной. Сосредоточенная сила вызывает большие искривления оси. Изгибная жесткость в висячем покрытии полезна, так как ограждает его от недопустимо больших искривлений, вызываемых сосредоточенными силами.

Рассмотрим напряженное состояние нити, которое зависит от осевого растяжения и изгиба. Ограничиваясь нормальными напряжениями, можно записать условие прочности

сечения от оси, для симметричных сечений y h / 2 .

При равновесной нагрузке будут преобладать осевые напряжения. При неравновесной, наоборот, могут сильно увеличиться краевые напряжения изгиба. Желательно, чтобы в сочетании напряжений рост одних сопровождался бы уменьшением других.

В сечениях нити нормальные напряжения возникают от осевой силы и изгибающего момента и условие прочности состоит в том, чтобы для всех сечений соблюдалось неравенство

(TA // Ey)max c Ry

При резких переломах вторая производная сильно растет, особенно под сосредоточенными нагрузками, что может вызвать местные повышения напряжений даже у гибких нитей, у тонких лент или тонколистовых мембран. При неудачном выборе материала для нити, нерациональной форме очертания и сечений или неправильном, резком опирании на нить больших сосредоточенных нагрузок краевые напряжения от изгиба

46

могут дойти до предела текучести задолго до того, как осевое напряжение составит заметную долю расчетного сопротивления.

Вопросы компоновки жестких нитей

При компоновке покрытий с жесткими нитями кроме стрелы провеса, как основного параметра нити должны быть назначены высота и тип сечения растянутоизогнутого элемента. Тем самым решается вопрос о соотношении осевых и изгибных напряжений нити. Первые получают наибольшее значение при загружении всего пролета, их величина обратно пропорциональна стрелке провисания нити. Вторые проявляются максимально в четверти пролета при загружении временной нагрузкой половины пролета и связаны прямо пропорциональной зависимостью со стрелкой провеса, они также зависят от высоты сечения.

Нити, изгибающиеся под влиянием постоянной нагрузки.

Эти нити обычно имеют сплошное сечение высотой h 1/ 200...1/ 350l , выполненное из прокатных профилей. Дифференциальное уравнение оси имеет вид:

EIy // (x) Hy(x) M Б (x) .

Аппроксимируя уравнение оси нити балочной функцией можно определить распор, изгибающий момент и напряжения в середине пролета нити. При заданной высоте сечения и стреле провиса для нити, загруженной равномерно распределенной нагрузкой, будем иметь:

Ориентировочно требуемую площадь поперечного сечения можно найти приближенно по

Жесткость нити определим из допускаемых перемещений в четверти пролета. Допускаемый прогиб в четверти пролета нити f 1/ 200l . Требуемая жесткость нити определится по приближенной формуле:

384 32 f

47

4.4. Расчет двухпоясных систем

Примером применения двухпоясной системы может служить покрытие Дворца спорта “Юбилейный” в Санкт Петербурге (рис. 4.8). Круглое здание диаметром 93 м пе-

рекрыто 48 радиально расположенными двухпоясными элементами и поверху покрыто металлическими щитами с утеплителем и гидроизоляцией. Тросы поясов системы в середине покрытия закреплены в двух растянутых металлических кольцах, а по краям несущие пояса прикреплены к верху металлических колонн, а стабилизирующие пояса – к железобетонному кольцу, лежащему на консолях и прикрепленному к колоннам. Пояса в пролете соединены между собой трубчатыми распорками и в процессе возведения покрытий предварительно напряжены. Стрелы провеса поясов равны fн = (1/20)l и fс = (1/30)l

,где l – диаметр покрытия.

Впокрытиях подобного типа имеются две системы поясов: несущие пояса, имеющие вы-

гиб вниз, и стабилизирующие пояса, имеющие выгиб вверх. Это делает систему мгновенножесткой, способной воспринимать нагрузки, действующие в двух направлениях (собственный

относительно друга

знака), независимо от жесткости кровли.

Для обеспечения работоспособности гибких стабилизирующих поясов покрытия на сжатие, система предварительно напрягается, причем предварительное растяжение стабилизирующих поясов должно быть больше возможного их сжатия от временной нагрузки.

Определение усилий в поясах системы при действии на нее внешней равномерно распределенной вертикальной нагрузки p приближенно ведут в предположении распределения этой нагрузки между поясами пропорционально их условным моментам инерции

.

Очертание нитей выбирают в соответствии с характером распределения внешней нагрузки. Параллельному расположению соответствует постоянная интенсивность по пролету, для радиально-сходящихся систем – линейно-изменяющаяся интенсивность в виде треугольников. Поэтому при параллельном расположении нитей очертание несу-

расположении нитей очертание несущих и стабилизирующих нитей должны следовать

должно быть достаточно большим, чтобы имитировать равномерно распределенную нагрузку. Расстояние между ними назначают в пределах 1,5…6м и более, увязывая его с размерами панелепй покрытия или с шагом прогонов.

Расчетная схема нитей до их загружения временной нагрузкой приведена на рис.4.9а. За счет предварительного напряжения системы распорки передают на несущую и стабилизирующую нити равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q0 . Величину этой контактной нагрузки назначают так, чтобы при появлении

временной нагрузки p , которая будет догружать несущую нить и разгружать стабилизирующую, как показано на рис.4.9б , последняя не выключилась из работы.

Изменение распора стабилизирующей нити H S при загружении системы нагрузкой p будет пропорционально изменению распора несущей нити H n от той же нагрузки:

При изменении контактной нагрузки на величину q изменятся распоры в несущей и стабилизирующей нити:

Искомое изменение контактной нагрузки при загружении системы временной нагрузкой p определится:

20…30% от возможного изменения ее начального распора H s , т.е. остаточную q и начальную q0 контактные нагрузки можно назначить следующим образом:

q (0,2...0,3)q ; q0 q q (1,2...1,3)q .

Дальнейший расчет нитей на прочность не представляет затруднений. нити рассчитывают независимо одна от другой: несущую нить на нагрузку (q p q) , а стаби-

лизирующую на нагрузку q0 .Если ветровой отсос превышает собственный вес покрытия, то при расчете стабилизирующей нити к нагрузке q0 надо добавить разницу ( pw g) , где pw - линейная ветровая нагрузка на нить.

Изменение стрелок провесов нитей при переходе от одной нагрузки к другой можно определить по формуле:

fi k pi l 4 2 ;

(1 f S / fn )EAn f n

где k 3/128 - для параллельных нитей, k 5 / 864 - для радиальных нитей.

Расчет на деформацию двухпоясных систем, подобно расчету нити, выгодно разделить на упругий провес не искажающей формы, и на кинематический провес, происходящий без удлинения несущего пояса. При деформации двухпоясной системы искажение формы сопровождается удлинением обоих поясов и достичь чистой кинематики, как в однопоясных системах, не удается. Однако удлинение, вызванное искажением формы, сравнительно невелико.

49

Расчет сводится к нахождению неизвестной контактной нагрузки q , возникаю-

щей в связующих элементах. Упругий провес двухпоясных систем мало чем отличается от провеса свободной нити. Второй пояс уменьшает упругий провес, но он нужен для того, чтобы уменьшить амплитуду колебаний усилий в нити и особенно суммарную амплитуду усилий.

Распор в стабилизирующем поясе при отсутствии временной нагрузки и действии обратной нагрузки ветра будет гораздо большим , чем при полном нагружении, когда его натяжение вызывается только весьма незначительной контактной нагрузкой. В специальной литературе дана формула для проверки стабилизирующего пояса на разгрузку и вывертывание при ветровом отсосе.

Наличие второго пояса существенно повышает показатель стабильности. Минимальная сумма распоров, обеспечивающих сопротивление искривлению в двухпоясных системах, может быть достаточно большой и может приближаться к максимальной сумме распоров, отвечающих полной расчетной нагрузке.

Рис. 4.9. Расчетные схемы в двух стадиях:

а) в стадии предварительного нагружения, б) в стадии действия расчетных нагрузок

Последовательность расчета.

1. Задаемся стрелками провесов несущей и стабилизирующей нитей в пределах

1/ 8...1/ 20l.

2.Задаемся коэффициентом 0,1...0,15 в первом приближении. Определяем падение контактной нагрузки

q p f s ; здесь под p понимается временная нагрузка или суммарная на- f n f s

грузка q p , в зависимости от условия предварительного напряжения системы. Назначаем ее величину q0 q q , где q (0,2...0,3)q .

50 3. Подбираем в первом приближении сечение стабилизирующей нити из расчета вос-

Если натяжение стабилизирующих нитей осуществляют после приложения постоянной нагрузки, то к контактной нагрузке q0 следует добавить ветровой отсос.

4. Подбираем в первом приближении сечение несущей нити:

в покрытиях с радиальными нитями Hn (q p q) / 24 fn ; Vn (q p q)l / 4 .

5.Вычисляем коэффициент и уточняем контактную нагрузку:

5.Возвращаемся к пунктам 3,4 и повторяем изложенные там вычисления при новых значениях контактных нагрузок.

6.Найдем длины исходных заготовок для этих нитей по формуле:

7. Оцениваем деформативность покрытия в приближенном варианте:

8.Определяем усилия в распорках N (q p q)a и растяжках N q0 a , где a - шаг распорок или оттяжек.