10183

21

-если линия действия внешней нагрузки проходит внутри узла, образованного тремя стержнями (рис. 2.4а), все три стержня работают однозначно: либо растянуты – внешняя нагрузка направлена от узла, либо сжаты – внешняя нагрузка направлена к узлу;

-линия действия внешней силы Р проходит вне узла, образованного тремя стержнями так, как показано на рис. 2.4б (проекция силы на плоскость, совпадающую по рисунку с гранью

лежит между стержнями om и on, образующими эту грань).В этом случае усилия в стержнях om и on всегда однозначны, а усилие в примыкающем стержне of всегда противоположно по знаку усилиям в стержнях грани omn.

-лини действия внешней силы лежит в плоскости, совпадающей с одной из граней (omn по рис. 2.4с) трех стержневого пространственного узла. Усилие в примыкающем к рассматриваемой гра-

ни стержне а знаки усилий в стержнях грани omn определяются в соответствии с частным случаем равновесия загруженного двух стержневого узла.

Рис.2.4

23

перемещения в трех направлениях и вращательного перемещения по отношению трех осей). Таким образом, в защемленной опоре возникают три составляющие X , Y и Z опорной силы и три момента защемления Mz (в плоскости XY), My (в плоскости ZX) и Mx (в плоскости ZX).

Условное изображение опоры четвертого типа можно представить в форме прикрепления тела шестью опорными стержнями.

Для неизменяемого прикрепления пространственной фермы (блока) к земле необходимо иметь шесть опорных стержней, присоединенных к конструкции не менее чем в трех точках.

Рассмотрим варианты наложения связей на примерах.

Рис. 2.9

Закрепление по рис. 2.9а является подвижным, так как три точки лежат на одной прямой, относительно которой тело будет вращаться. Закрепление по рис. 2.9b является

24

подвижным, так как тело имеет вращение относительно прямой. Закрепление по рис. 2.9c является подвижным. Тело имеет возможность вращаться вокруг всех трех осей.

3.СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ РАСЧЕТА БАЛОК

3.1. Расчет неразрезных балок на подвижную нагрузку

Всоответствии со второй теоремой Релея о взаимности удельных реакций и удельных перемещений было получено следующее соотношение:

Вэтом выражении:

-есть реакция (усилие) в любой, внешней или внутренней, связи i, возникающая от силы P=1, которая расположена в произвольной точке A;

-- проекция на направление силы P того перемещения точки A, которое воз-

никает, когда связь i перемещается по своему направлению на единицу.

На рис.3.1a через обозначена реакция одной из опор, причем предположено, что эта реакция направлена вверх. На рис. 3.1b показано перемещение , вызванное единичным положительным, т.е. направленным в сторону предполагаемого направления реакции , вертикальным перемещением этой опоры. Согласно теореме, эти две величины численно равны и противоположны по знаку. Как видно из рис. 3.1b, перемещение оказалось положительным (совпадает с направлением силы P), следовательно, реакция будет отрицательна, т.е. направлена вниз.

собой перемещение любой точки A балки, т.е. совпадает с линией ее прогибов.

Таким образом, порядок построения л.в. любого усилия в неразрезной балке может быть следующим:

-удаляем ту связь, в которой это усилие возникает;

-по направлению отброшенной связи даем системе перемещение, равное единице;

-строим линию прогибов неразрезной балки. Полученная линия прогибов и будет искомой линией влияния (прогибом в произвольной точке будем называть проекцию перемещения этой точки на направление силы P=1, даже если эта сила не вертикальна).

Совпадение любой линии влияния с линией прогибов (изогнутой оси балки) ценно тем, что позволяет легко, без всяких вычислений, представить себе общий характер линии влияния и визуально проверять ее в том случае, когда она построена каким-нибудь другим способом.

Линия влияния опорного момента для какой-либо опоры i представляет собой линию прогибов, которая получается следующим образом: сечение балки над этой опорой

25

перерезается шарниром и затем обоим шарнирно связанным сечениям сообщается взаимный поворот на угол, равный единице (первая балка на рис. 3.2).

Рис. 3.2

Линия влияния изгибающего момента в промежуточном сечении “n” тождественна с линией прогибов, представленной на второй балке рис. 3.2, а линия влияния поперечной силы для произвольного сечения “m” совпадает с линией прогибов, представленной на третьей балке рис. 3.2.

Изложенный кинематический способ построения линий влияния в неразрезных балках позволяет быстро и достаточно правильно изображать модели линий влияния, не производя при этом никаких вычислений, и, следовательно, устанавливать в каждом частном случае те участки балки, загружение которых должно производиться для получения максимальных или минимальных значений изучаемого усилия.

Для точного (численного) построения линий влияния в неразрезных балках необходимо построить изогнутую ее ось от единичного кинематического воздействия (единичного смещения для реакций, единичного перелома для моментов, единичного разрыва для поперечной силы).

Для построения изогнутой оси неразрезной балки от указанных кинематических воздействий можно воспользоваться универсальным уравнением упругой линии балки:

x>b f

где: - начальные параметры, соответственно, прогиба, момента, поперечной силы и девиации;

Ri – реакция в опорах;

f – единичное кинематическое воздействие, принимающее следующие значение при построении изогнутой оси балки:

x>b f =1 – при построении линии влияния Q;

x>b f =1 х (x – b) – при построении линии влияния M, где x изменяется от начала координат, помещенного в одну (как правило, крайнюю) из опор неразрезной балки.

Прерыватели справедливы и дают действительные значения только при указанных параметрах x.

26

При построении изогнутой оси балки (линии прогибов) в универсальном уравнении часть начальных параметров будут неизвестными. Для их определения используют граничные кинематические и статические условия ( рис. 3.3).

Рис. 3.3 Таким образом, для определения неизвестных составляют уравнения, решая кото-

рые совместно, находят эти параметры, а затем, подставляя их в универсальное уравнение получают уравнение изогнутой оси неразрезной балки. Ординаты изогнутой оси балки будут искомыми ординатами линии влияния соответствующего усилия.

Невыгодные загружения неразрезных балок

На многопролетную балку помимо постоянной нагрузки, может действовать и временная нагрузка. Последняя может занимать различные положения, а также совсем сниматься с того или иного пролета. В этом случае приходиться отыскивать те сочетания нагрузок, которые вызывают в различных сечениях балки наибольший и наименьший изгибающие моменты и поперечные силы.

Пусть четырехпролетная неразрезная балка нагружена постоянной нагрузкой по схеме рис. 3.4а и временной нагрузкой, представленной на схеме рис. 3.4б. Пусть при этом временная нагрузка занимает на каждом пролете вполне определенное положение, но может быть убрана с пролета или оставлена на нем.

Построим эпюру изгибающих моментов от постоянной нагрузки (рис. 3.4в), и отдельно от загружения каждого пролета временной нагрузкой (рис.3.4г,д,е,ж). Для любого сечения балки алгебраически сложим ординату эпюры, вызванной постоянной нагрузкой, с соответствующими положительными ординатами, отвечающими временной нагрузке; те временные нагрузки, которые вызывают в этом сечении отрицательные моменты, будем считать отсутствующими. Подобной операцией мы получим Mmax для рассматриваемого сечения. Затем к ординате той эпюры, которая отвечает постоянной нагрузке, приложим алгебраически соответствующие отрицательные ординаты из других эпюр. В итоге получится для данного сечения Mmin . При этом очевидно, что по абсолютной величине Mmin может оказаться большим, чем Mmax .

Проделав подобную операцию для достаточного количества сечений в каждом пролете и соединив найденные точки, получим для изгибающих моментов две предельные кривые (рис. 3.4з), которые называют объемлющие эпюры. Одна из них дает для всех сечений балки величины Mmax , а другая - величины Mmin . По этим значениям изгибающих моментов проверяются нормальные напряжения.

На рис. 3.5 построены объемлющие эпюры поперечных сил той же четырехпролетной балки. Эпюра Qmax получается следующим образом: к ординатам эпюры Qпост. (рис. 3.5а) добавляются ординаты одних положительных или одних отрицательных участков эпюр Qврем. (рис. 3.5б, в, г, д).

27

Рис. 3.4

28

Рис. 3.5

Результатом первой операции является объемлющая эпюра Qmax , а результатом второй – Qmin .

29

Наиболее невыгодное расположение временной нагрузки можно установить и без вычисления ординат объемлющих эпюр с помощью рассмотренных выше моделей линий влияния.

Например, для пятипролетной неразрезной балки имеем следующие схемы загружения (рис. 3.6):

Рис. 3.6. Варианты загружения временной нагрузкой неразрезной балки

Загружения, соответствующие минимуму и максимуму какого-нибудь усилия, дополняют друг друга до полного загружения всех пролетов; зная одно из двух загружений, мы тем самым легко определим и другое.

30

3.2. Расчет неразрезных балок на упругих опорах

Упруго смещающейся опорой называют такую опору, перемещение которой пропорционально действующему на нее давлению. Примерами таких опор могут служить: длинные колонны, на которые опирается неразрезная балка (рис. 3.7а); поперечные балки проезжей части металлического моста, на которых лежат продольные неразрезные балки; рельсы железнодорожного пути, лежащие на шпалах, которые, в свою очередь, лежат на более или менее упругом полотне и т.д.

Будем считать, что балка шарнирно связана со своими опорами.

Будем полагать длины пролетов, а также сечения неразрезной балки известными. Известными же считаем и упругие характеристики опор, например их коэффициенты податливости.

Коэффициентом податливости называют перемещение опоры, вызванное единичной силой.

Например, коэффициентом податливости опоры, выполненной в виде колонны

ние опоры, вызванное единичной продольной силой. Коэффициент, относящийся к какойлибо опоре n, будем обозначать . В ряде задач используется обратная этому коэффици-

Моменты и внешние нагрузки, расположенные более далеко, не вызывают в этих колоннах (упругих опорах) основной системы никаких усилий.

Каноническое уравнение для n – ой опоры будет иметь вид: