9930
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y 2x x |
|
|
|
|
|
|
y sinx 0 |
|
|
|
y cosx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9.103. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
9.104. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
9.105. |
|
|
|
|
2 . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
9.107. { y = 2x-x |
|
|
|
|
y axx, a 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
9.106. |
{ |
|
|
2 |
. |
|
|
. |
|
9.108. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.9.109. |
||||||||||||||||||||||
|
|
2 + 2 = 1 |
|
|
|
|
y = 4x-2x2 |
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
y ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
9.110. |
|
x |
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
9.111. |
x 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
В задачах 9.112 - 9.123 вычислить объемы тел, образованных вращением |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вокруг оси y фигур, ограниченных линиями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y2 4 x |
|
|
|
|
|
|
y |
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 = x3(y > 0) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
9.112. |
|
|
x 0 |
|
. |
|
9.113. |
|
|
|
|
|
|
9.114. { |
|
y = 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x2 2x 1 |
|
|
|
|
y 2x x2 |
|
|
|
|
|
y arcsinx |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y 0 . |
|
|
|
|
|
y 2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9.115. |
|
|
|
|
|
9.116. |
|
|
|
9.117. |
|
y arccosx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y 2 |
|
|
|
|
|
|
x y 2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x . |
|
||||||||||||||||||||
9.118. |
|
|
|
|
|
9.119. |
|
|
|
|
|
9.120. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y |
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
x 2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
y |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9.121. |
|
x |
1 |
. |
|
|
|
|
|
9.122. |
|
|
|
y |
1 |
|
|
. |
|
|
9.123. |
|
|
|
|
y |
1 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
В задачах 9.124 - 9.132 вычислить длины дуг кривых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B 1;1 до точки A 1;1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
9.124. |
y |
|
|
|
2 |
от точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.125. y x2 2 между точками пересечения кривой с осью x.
9.126. y e x между точками с абсциссами x 0 и |
x 1 . |
80
1 x |
x |
|
|
|
|
|
|
||||
9.127. y |
e e |
(цепная линия) между точками с абсциссами |
x 1 |
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3t sint |
|
|
|
|
|
||||
9.128. Циклоиды |
|
|
|
|
, t 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 31 cost |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 t . |
|
|
|
|
|
|||
9.129. Астроиды x 4cos3t , |
|
|
|
|
|
||||||
|
y 4sint |
4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x Rcost tsint |
t1 0 |
до t2 |
. |
|
|
9.130. Эвольвенты окружности |
от |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y Rsint tcost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.131. Кардиоиды |
31 cos |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
. |
|||||||
9.132. Окружности 2 3cosмежду точками, для которых 0 |
и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Глава 10
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
§1. Область определения функции нескольких переменных
В задачах 10.1 - 10.12 найти и изобразить на координатной плоскости xy области определения функций:
|
|
x 2y |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
10.1. |
z |
10.2. |
z |
|
|
|
. |
10.3. |
z 2 2 |
. |
||||||||||
|
. |
2 |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
x y |
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
x 4y 4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|||
10.4. |
z x y 1xy |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. 10.5. z 1x 1y. |
|
|
81
10.69.Для функции z lnx y вычислить частный дифференциал d x z при x1,y2, x0,016.
10.70.Для функции z e yx найти значение полного дифференциала dz при
x1,y1,x0,15,y0,1
.
10.71. С помощью дифференциала найти приближенное значение приращения |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
M x ;y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
функции в точке 0 |
0 |
|
0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
M 11;1 |
|
x 0,11 |
y 0,02 |
|
|
|
|
||||||||||
|
z x 11y 20xy |
0 , |
если |
|
|
, |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
M 9;3 |
|
M9,0;2,96 |
|||||||||||
2) z 2x 3y 5xyпри переходе от точки |
|
0 |
|
|
к точке 1 |
. |
|||||||||||||||||||
10.72. |
С помощью дифференциала найти приближенное значение числового |
||||||||||||||||||||||||
выражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3,96 |
|
|
|
|
|
|
|
3,98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
3)√cos20.05 + 8 0.015; |
|||||||||||||||
1) 1,08 |
; |
|
|
|
|
3,981,03 ; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
|
|
|
1,99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
1,04 |
3,02; |
5) 2 22,9492,941,07; 6) |
|
3,02 3,98; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,03 |
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7) |
|
|
4,971,061; |
8) ln0,111,03; |
|
9) |
|
|
|
|
3 |
; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,031,057 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
5,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) |
arcctg |
11) |
3 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
; |
|
|
2,952,031 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4,98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.73.Высота конуса H = 10 см, радиус основания R = 5 см. Как изменится объём конуса при увеличении высоты на 2 мм и уменьшении радиуса на 2 мм?
10.74.Одна сторона прямоугольника a = 6 дм, другая b = 8 дм. Как изменится диагональ прямоугольника, если a уменьшить на 4 см, а b укоротить на 1 см?
§6. Градиент и производная по направлению функции многих переменных.
10.75. Для функции |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z x 2xy3y1найти проекции градиента в точке |
|||||||||||||||
1; 2 . Вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad z |
построить. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10.76. Для функции |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z 4 x y построить линию уровня и градиент в точке |
|||||||||||||||
A 1; 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10.77. Для функции |
z |
|
|
|
построить линию уровня, градиент функции |
||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
в точке A 1; 2 и найти модуль градиента. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.78. Для функции |
|
2 |
2 2 |
|
|
|
|
gradu |
. |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
u x y z найти grad u и |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
10.79. Найти производную функции u x y z в точке A 1;1;1 в
84
11.1. y 5x 2 для xy 2 y . 11.2. |
y |
|
2 |
для xy 2 dx dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11.3. y ln cos x для y tg x . |
11.4. |
|
y Ce 4 x |
для |
y 4 y 0 . |
|
||||||||||||||||||
11.5. y C x 3 для |
3 y x y .11.6. |
y x C e x для |
y y e x . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
11.7. y Ce3x |
для |
y 3 y 0 . |
11.8. |
y |
1 |
|
|
для |
y x 2 |
y 2 . |
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11.9. y |
С 2 x 2 |
|
для x y dx xdy 0 .11.10. |
x 2 |
xy y 2 |
C |
|
|
для |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 y y 2x y 0 .11.11. y arctg x y C |
для |
x y 2 |
dy |
|
1. |
|||||||||||||||||||
dx |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11.12. Функция y φ x задана параметрически: |
x tet , |
y e t . Докажите, |
||||||||||||||||||||||
что эта функция является решением уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 xy |
dy |
y 2 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В задачах |
11.13 11.18 составить дифференциальные уравнения заданных |
|||||||||||||||||||||||
семейств кривых( С, С1 , С2 – произвольные постоянные). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
11.13. y Cx3 .11.14. x 2 y 2 С 2 .11.15. x 2 |
y 2 |
Cx 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
11.16. y sin x C cos x . 11.17. |
y C e x C |
2 |
e x .11.18. y (C |
C |
2 |
x)e x . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
11.19.Составить дифференциальные уравнение для семейства парабол, с вершиной в начале координат и осью, совпадающей: а) с осью абсцисс, б) с осью ординат.
11.20. Составить дифференциальное уравнение семейства эллипсов, имеющих постоянную большую ось, равную 2a .
11.21. Составить дифференциальное уравнение семейства линий, у которых отрезок касательной между точками касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.
В задачах 11.22 11.24 в семействе кривых найти ту, которая удовлетворяет заданным начальным условиям.
11.22. x |
2 |
y |
2 |
С , |
y 0 3 . |
11.23. y (C1 |
C2 x)e |
2x |
, y 0 1, |
|
||||||||
|
|
|
|
y 0 0 . |
||||||||||||||
11.24. |
y C1e |
x |
C2 e |
2x |
C3e |
x |
, y 0 0 |
, |
|
|
, |
|
|
|||||
|
|
|
y 0 1 |
y 0 2 . |
|
88
В задачах 11.25 11.27 для данного дифференциального уравнения построить поле направлений. Методом изоклин построить приближённо графики интегральных кривых.
11.25. y x 2 .11.26. y x y .11.27. y x 1.
В задачах 11.28 11.32 для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через заданную точку
M .
11.28. y y x 2 , |
M 1; 2 .11.29. |
|
y 2 y 2 , |
M 1; 2 .11.30. |
y xy , |
|||||||||||||||||||||||||||||||
M 0 ; 1 .11.31. |
y x 2 y , |
|
M 3; 0 .11.32. |
y y x , M 4 ; 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
§2. Уравнения с разделяющимися переменными |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
В задачах 11.33 11.55найти общее решение (общий интеграл) данных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциальных уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
11.33. y |
x |
.11.34. |
y |
y |
.11.35. y |
|
x |
|
0 |
.11.36. |
y |
|
y |
0 . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||
11.37. |
y xy 2 |
0 . |
|
|
11.38. |
|
yy |
1 |
|
.11.39. |
xy 2 y 1 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
11.40. |
x 2 y x 1 0 . 11.41. |
|
|
xyy 1 x 2 .11.42. y 2 y 1 ctg x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
11.43. 1 y dx 1 x dy 0 .11.44. |
|
|
y 2 1 dx xydy .11.45. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 y 2 dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ydy x2 ydy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
11.46. |
( |
|
xy |
|
|
x) y y 0 .11.47. y y ln y . |
||||||||||||||||||||||||||||
11.48. y ln y xy 0 .11.49. y 4 e x dy e x dx 0 .11.50. dy y 2 tg xdx 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11.51. |
6xdx 6 ydy 2x |
2 |
ydy |
3xy |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y xy sin x . |
||||||||||||||||||
|
|
dx .11.52. y 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
e2x |
|
|
|||
|
2x 2xy |
2 |
|
|
2 x |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
11.53. |
|
|
|
|
0 .11.54. e |
|
|
tg ydx |
|
|
dy 0 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
11.55.y cos x y 1 sin x 0 .
Взадачах 11.56 11.70найти частное решение дифференциального уравнения (задача Коши) удовлетворяющее данным начальным условиям.
11.56. x |
2 |
dy y |
2 |
dx 0 , |
|
1 |
|
|
1 |
|
. 11.57. xdy 1 y |
2 |
dx |
0 , y 1 |
π |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
2 |
3 |
|
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11.58. x xy 2 dx x 2 y y dy 0 , |
y 0 1.11.59. ydx sin 2 |
xdy 0 , |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89 |
|
|
|
|
|