9930
.pdf
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2 |
2 |
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2 |
2 |
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4.82. |
x 3y 2x 0 |
4.83. |
x 2y 4y20 |
||||||
|
|
. |
|
|
|
|
. |
||
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
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4.84. |
x 2x5y10 |
4.85. |
3x 10y 2 0 |
|
|||||
|
|
. |
|
|
. |
|
|
||
|
3x xy3y 20 |
|
2 |
|
|
|
|
||
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x x y 2 0 |
|
|
|||||
4.86. |
|
|
. |
4.87. |
|
|
. |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 2 |
|
|
|
|
4.88. |
x 3y 2x 0 |
4.89. |
y x 6y50 |
||||||
|
|
. |
|
|
|
. |
|
||
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
4.90. |
y 2x2y70 |
4.91. 3x 5y 0. |
|
|
|
||||
|
|
. |
|
|
|
||||
4.92. |
xy0,5y 2x 3 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
. |
4.93. y 2x 4y 0. |
|
|
|
|||
4.94. |
x 23xy3y 0 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
. |
4.95. x 9y 4 0. |
|
|
|
|||
|
2 |
2 |
|
|
2 2 |
|
|
|
|
4.96. x 4y 0. |
|
4.97. 16x 9y 90y810. |
|||||||
|
2 |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
4.98. x 8x2y160. |
4.99. x y 2x6y80. |
||||||||
|
2 2 |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
4.100. x y 2x4y60. |
4.101. 36x4y72x40y41. |
2
4.102. y 8x2y160.
В задачах 4.103 - 4.106 преобразовать уравнения кривых поворотом системы координат. Построить новые и старые оси координат и кривые:
4.103. |
2 |
2 |
4.104. |
2 |
2 |
|
x xyy 30. |
3x 2xy3y 80. |
|
||||
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
4.105. |
5x 4xy2y 240. |
4.106. |
9x 24xy16y 250 |
|||
|
|
. |
§6. Кривые в полярной системе координат
Взадачах 4.107 - 4.115 преобразовать к полярным координатам уравнения линий и построить их:
2 |
|
2 |
4. |
4.108. |
2 |
|
2 |
9. |
4.109. x y 4. |
|
||||||
4.107. x |
y |
x |
y |
|
||||||||||||
x 2 |
|
|
|
y 3 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||
4.110. . |
|
4.111. |
|
|
. |
|
4.112. |
x y 6x 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
2 |
2 |
|
||||
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
y |
1. |
||
4.113. x y 8y 0. |
4.114. |
y |
4x. |
4.115. |
|
|
|
|
|
|
||||||
9 |
4 |
В задачах 4.116 - 4.133 преобразовать уравнения линий к декартовым координатам и построить их:
4.116. cos 4.
4.118. sin 2.
4
4.117. 8sin . 4.119. sin3 .
40
4.120.
4.122.
4.124.
4.126.
4.128.
4.130.
4.132.
6sincos.
21 sin.
2
4cos .
4sin2 .
21 cos.
21 sin.
4sin .
4.121. 2sincos.
4.123. 31 sin.
4.125. 4cos2 .
4.127. 4sin3 .
4.129. 21 sin.
4.131. 3cos3 .
4.133. 4cos.
§7. Поверхности второго порядка. Построение тел
Взадачах 4.134 - 4.156 назвать и построить поверхности:
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
4.134. |
2z. |
|
|
|
|
4.136. |
y 2x. |
|||||||||||
y z |
4.135. z 9 y . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 y2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.137. |
|
|
|
|
4.138. |
y 9 x |
|
4.140. |
||||||||||
y 1 x . |
|
|
|
. 4.139. |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4.141. |
y z 3z |
4.142. |
|
x 3y 8x 7 |
||||||||||
y x 2x. |
|
|
. |
|
|
|
. |
|
||||||||||
4.143. |
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
4.145. |
2 |
2 |
||||||
4x z |
2z. |
4.144. 3z 4y 12. |
z 2y y . |
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||
4.146. z 3 x 5y. |
4.147. x y 4z 0. 4.148. 4y 9z 36x 0. |
2 2
4.149. 36x y 9z 0. 4.150.
2 2 2
4.152. 2x 3y 4z 36.
2 2 2
x y z
4.154. 10. 36164
2 2 2
x y z
4.156. 0. 36259
2 2 2
2 2 x y z x 2 3y z. 4.151. 0.
259 4
2 2 2
4.153. 4x 9y 4z 360.
2 2 2
4.155. x y 2yz 0.
В задачах 4.157 - 4.177 построить тело, ограниченное следующими поверхностями:
x2 |
y2 |
1 |
|
|
3. |
4.157. x y z |
||
|
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z 4 x2 |
|
z |
|
|
||
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|||
4x y 4 . |
2x 3y 12 . |
||||||
4.158. |
4.159. |
||||||
x 0, y 0,z 0 |
x 0 , y 0 z 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41
4.160.
4.163.
4.166.
4.169.
4.172.
4.175.
z |
4 y 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y |
2 |
|
16 |
|||||
x |
|
|
|
|
||||||
|
2z y2 . |
|||||||||
|
||||||||||
|
|
z 0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x y 6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3x . |
||||||||||
|
||||||||||
|
4y, z 0 |
|||||||||
z |
||||||||||
z x 1 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
y |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0, z 0
|
|
y 2x |
|
|
|
y x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4.161. |
|
|
|
1 |
4.162. |
z x2 y2 |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
9 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y 0, z |
0 |
|
y |
1, z 0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
||||||||||
|
x |
|
|
|
y |
|
z |
|
|
z 4x |
|
2y 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
x y 3 . |
|||||||||||||||||||
4.164. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.165. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
z |
0 |
|
|
|
|
|
|
x 0, y 0, z 0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z x2 y2 |
|
z 4 x2 y2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y 2 . |
|||||||||||
4.167. y x, y x . |
4.168. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x 1, z 0 |
|
x 0, y 0, z 0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|||
|
|
|
|
z 4 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
4 |
8 |
||||||||||||||||||||||
4.170. |
|
|
|
|
x y 2 . |
|
|
y |
2 |
x . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
4.171. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
y x, z 0, x 0 |
|
|
|
z 0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
y |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
z 2x y |
|
|
|
|
y x, y 2 x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x z 1 . |
|||||||
|
x y 2 |
. 4.173. |
z 1 x . |
4.174. |
|
||||||||||||
x 0, y 0, z 0 |
|
|
z 0 |
|
|
|
z 0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z y |
|
|
|
z 4 x |
|
x 4 y |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
y 3x . |
4.176. |
|
x y 2 |
. 4.177. |
y 3z . |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
x 2, z 0 |
|
y 2x, x 0, z 0 |
x 6, z 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
Глава 5
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§1. Общие свойства функций
В задачах 5.1 - 5.20 найти область определения функций:
5.1. |
2 |
y 9 x . |
5.4. y 31 . x x
5.7. y 1 . x x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.2. |
y |
4 x . |
5.3. |
y |
2 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3x 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
5.5. |
y |
1 |
|
x . |
|
5.6. |
|
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x |
|
x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ln1 x |
||||||||
5.8. |
y log42 x4x. |
5.9. y |
|
. |
|||||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
5.10. ylgx4 6x. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
sinx |
|||||||||||||||
5.11. y cos2x. |
|
|
|||||||||||||||||||||
5.12. |
|
|
sinx . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
|
|
x2 |
|
|
x |
|
|
y arctgx 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5.13. |
|
|
5.14. |
y arccos1 |
|
||||||||||||||||||
|
lg1x |
. |
|
2 |
. 5.15. |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 12x
5.16.ylg1lgx 5x16. 5.17. y arcsinlnx. 5.18 y arccos.
4
3x1
5.19. y 12x3arcsin. 5.20.
2
x5 4 yln x5.
2 x10x24
В задачах 5.21 - 5.26 найти, при каких целых x определены функции:
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.21. |
y x |
|
5.22. |
ylogx6 2x10 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
. |
0,5 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
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|
|
|
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|
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|
5.23. y 162xlnx5. |
5.24. |
2x16 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y3 9x. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
2 |
|
|
|
||||||
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
4 3x x |
|
12x x |
|
|||||||||||||||
5.25. |
y |
|
|
|
x 3 |
. |
5.26. y logx 2 |
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
3 |
|
|
|
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||
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|
43 |
|
|
|
|
|
|
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|
В задачах 5.27 - 5.37 найти множество значений функций:
5.27. y x 2 3.
2
5.30.y 2 2x x .
|
2 |
5.33. |
x 4x 12 |
y 2 . |
5.28. |
2 |
y 5 x . |
2
5.31. y 4 4x x.
2
5.34. y 4 x x.
5.29.y x12.
2
5.32. y x x 6.
5. 35. y logx 3.
2
x2, x0,3
5.36. y 2 4sinx. 5.37. y .
2x10x16,x3,8
Определить, какие из функций 5.38 - 5.52 будут чётными, нечётными или функциями общего вида:
2 3
5.38.y x x.
2
5.41. y x xcosx.
5.44. 1 x2 . y
3
x x
5.47. y e e .
2
5.50. y xx . a 1
2
5.39.y x cos3x. 5.42. y x 4.
3 2
5.45. y x lnx 3.
x x
5.48. y e e .
2
5.51. y ax 1. ax 1
2
5.40. y x xsin2x.
5.43. y x 1 4. 5.46. y sinxx.
2
x
5.49. y x 7e .
1 x
5.52. y ln . 1 x
5.53. Какова будет функция |
f x , если она определена на всей числовой оси и |
|||||||
для любых |
x |
и |
x |
2 , удовлетворяющих условию |
x x 0 |
|||
1 |
|
1 2 |
, выполняется |
|||||
равенство: |
1) |
f x f x 0 |
f x f x 0 |
|
||||
1 |
|
2 |
; 2) . |
1 2 |
? |
|
В задачах 5.54 - 5.65 найти наименьший положительный период функции:
5.54. y sin2x.
5.57. y sinx cosx.
5.60. y cos2x.
x
5.55. y cos3. 5.58. y tg4x.
2
5.61. y cos3x.
3
5.56. y sin x.
2
2 5.59. y ctg x.
5
4
5.62.y sinx 2.
3
|
y sin2x cos3x |
5 |
|
|
|
y lgcos2x |
||||||
|
y sinx tg2x |
|
|
|||||||||
5.63. |
|
|
|
|
|
. 5.64. |
|
5.65. |
. |
|||
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.66. Функция |
f x определена на всей числовой прямой. Что можно сказать |
|||||||||||
об этой функции, если для любых x1 и x2 |
найдется такое число 0 , что из |
|||||||||||
условия |
|
x x |
|
будет следовать, что |
f x f x 0 |
|
||||||
|
|
|||||||||||
|
2 1 |
|
|
|
1 |
2 |
? |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
В задачах 5.67 - 5.81 найти функцию, обратную данной: |
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.67. |
y 3x . |
|
|
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|
5.68. |
y 2 3x. |
|
|
|
|
|
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|
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|
5.69. |
y x2 4 x 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.70. |
|
|
|
|
|
2 |
4x x |
2 . 5.71. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
5.72. |
|
|
|
|
y |
3 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y x |
|
y x 4x 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5.73. |
y |
|
|
. |
|
|
|
|
|
5.74. |
y |
3 |
2 |
|
|
. |
|
|
5.75. |
y 3 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5.76. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
5.77. |
y 5x 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.78. |
y 2logx 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
y x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
y 3sin2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y log2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.79. |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
5.80. |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
5.81. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x . |
|||||||||||||||||||
|
|
1 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
В задачах 5.82 - 5.126 построить графики функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.82. |
y x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.83. |
|
y 2x2. |
|
|
|
5.84. |
y 1 x2. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5.85. |
y x |
|
2x 1 |
|
5.86. |
|
y 3 2x x |
|
|
|
5.87. |
y 2x |
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5.88. |
y 4x x |
. |
|
|
|
5.89. |
y 2x 3x 1 |
|
5.90. |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5.91. |
y x |
. |
|
|
|
|
|
|
5.92. |
|
y x 1 |
|
|
|
5.93. |
y x 1 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5.94. |
y |
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.95. |
|
y |
x 1 |
. |
|
|
|
|
5.96. |
y 2 |
x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5.97. |
y |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.98. |
|
y x |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
5.99. = + 2 + | | . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y |
|
|
x 1 2 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5.100. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
5.101. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.102. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5.103. |
y |
|
x 1. |
|
|
|
5.104. |
|
y |
1 x |
. |
|
|
|
|
5.105. |
y |
2 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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x |
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x |
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x 1 |
|
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5.106. |
y |
2x 3. |
|
5.107. |
|
y |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.108. |
y |
|
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1 |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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x 2 |
|
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x 1 |
|
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|
x |
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5.109. y 2x . |
|
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5.110. |
|
|
y 2 x . |
|
|
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5.111. |
y 2 2x. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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1 x 1 |
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2 |
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x 1 |
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|
x |
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|
y |
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5.112. |
|
|
|
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|
|
|
. |
|
5.113. |
|
|
y 4 |
. |
|
|
|
|
|
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|
5.114. |
y e |
|
|
. |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
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||||||||||||
5.115. y ax 2. |
|
|
|
|
5.116. y 1 2x. |
|
|
|
|
|
5.117. |
y sinx. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y sin2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y 1 sinx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.118. |
|
|
|
5.119. |
|
|
y 2sin . |
|
|
|
|
5.120. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
. |
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|||||
|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
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||||||
|
y |
|
sinx |
|
|
|
|
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|
y sinx sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.121. |
|
|
. |
|
|
|
5.122. |
|
5.123. |
y sinx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.124. y sin |
|
x |
|
|
x |
5.126. y 4cos3x. |
|
|
|
||||
|
. |
5.125. |
y cos . |
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
§2. Числовые последовательности и их пределы
В задачах 5.127 - 5.141 записать вид общего члена an последовательностиan по виду её первых трёх членов:
|
|
1 1 1 |
5.128. 1, 1,1, 1,... 5.129. |
3,5,7,9,... |
|||||||||||||||||||||||
5.127. |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
,... |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
1 1 |
|
1 |
1 1 |
3 5 7 |
||||||||||||||||||||
5.130. |
|
|
, |
|
, |
|
|
,... |
5.131. |
1, |
|
, |
|
, |
|
,... 5.132. |
|
|
, |
|
, |
|
,... |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
9 27 |
|
4 |
9 16 |
2 4 8 |
5.133.
5.136.
5.139.
12 34 |
1 |
1 1 |
1 1 1 |
||||||||||||
|
, |
, |
, |
,...5.134. |
|
, |
|
, |
|
,... 5.135. |
|
|
, |
, |
,... |
|
|
|
|
||||||||||||
23 45 |
2 |
5 10 |
122334 |
ln2,ln3,ln4,...5.137. sin π2, sin π4, sin π8 , …5.138. tg π3, tg π6, tg π9 , ….
1 |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
1 3 5 |
|
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|||||||||||||||
|
, |
|
, |
|
,... |
|
, |
, |
,... |
|
, |
|
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3! |
5! |
7! |
5.140. |
3 |
|
|
|
|
5.141. |
2! 4! 6! |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В задачах 5.142 - 5.150 записать общий член последовательностей и выяснить, какие из данных ниже последовательностей являются ограниченными снизу, ограниченными сверху, просто ограниченными или неограниченными:
5.142. 2,4,6 . |
5.143. 1,2, 3,4 . |
5.144. |
1, |
2, |
3,... |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
||||||
5.145. |
1, 1,1, 1 |
5.146. |
sin1, sin 2 , sin 3 ,… |
5.147. |
ln 2 , ln 3 , ln 4 ,…. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
,… |
|||||||||||||||||
|
1 2 3 |
|
4 6 |
|
1 1 1 |
||||||||||||||||||
5.148. |
|
|
, |
|
, |
|
,... |
5.149. |
2, |
|
, |
|
, . |
5.150. |
|
|
, |
|
, |
|
, . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 9 27 |
|
3! 5! |
|
2 4 8 |
В задачах 5.151 - 5.159 определить, какие из данных ниже последовательностей являются возрастающими, неубывающими, убывающими, невозрастающими:
|
2 3 4 |
|
1 2 3 |
|
|
|
1111 |
|||||||||||||||||||||||||
5.151. |
1, |
|
, |
|
, |
|
,... 5.152. |
|
|
, |
|
, |
|
,... |
5.153. 1,1, |
|
, |
, |
|
, |
|
,... |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
5 9 13 |
2 3 4 |
|
|
|
2233 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 4 5 |
1,1,2,2,3,3, |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2, |
|
, , ,... 5.155. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, … . |
|||||||||||||||||||
5.154. |
. |
5.156. , |
|
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln2 |
ln3 |
|
|
ln4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 |
|
2 4 8 |
||||||||||
5.157. |
cos,cos,cos,... |
|
, |
|
, |
|
, |
5.159. |
|
, |
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 3 4 |
5 158. |
2! 5! 8! . |
1 2 3 . |
5.160. Пользуясь определением предела последовательности, показать, что при
n |
|
1 1 |
1 |
|
|
последовательность |
2,1,1, |
...1,,... |
|||
|
2 3 |
n |
имеет пределом |
||
|
|
|
число 1.
5.161. Пользуясь определением предела последовательности, показать, что при
n |
|
1 |
1 1 |
|
|||||
последовательность |
1, |
|
, |
|
, |
|
,... |
||
|
|
|
|||||||
|
4 |
9 16 |
имеет пределом число 0. |
||||||
|
|
|
5.162. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что число 2 не является пределом последовательности с общим членом
a 2n 1 при n . n 4n 1
5.163. Существует ли предел последовательностей an |
при n ( если да, |
|||||||||
то найти его), где: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
2) |
|
n |
3) n |
n |
|||
1) a 1 1 ; |
a 1 2n1, |
nsin |
; |
|||||||
n |
|
|
|
|
n |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
cosn |
|
a 1 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5) |
n . |
|
|
|
|||||
4) n |
lnn |
; |
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
В задачах 5.164 - 5.194 вычислить пределы числовых последовательностей:
|
lim |
|
n |
|
|
|
|
|
2n 99 |
|
|
|
||||||
5.164. |
|
|
|
|
. |
|
5.165. |
lim 2 |
. |
|
|
|
5.166. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n n 2 |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 n |
|
||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.167. |
lim . |
5.168. |
lim1 |
|
. |
5.169. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
2 |
n |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
|
|
n 2n 1 |
|
|||||||||||
5.170. |
lim |
|
|
|
|
|
. 5.171. |
lim |
|
|
|
|
. |
5.172. |
||||
|
n n 1 |
|
n |
n 2 |
|
|
|
1nn
lim .
n n 2
3 2
n 10n 1 lim 2 . n 100n 2n
limn! .
n n 1!n!
|
n 2!n! |
1 |
|
|||
|
|
|
|
12 n |
||
5.173. lim . 5.174. |
||||||
lim |
. 5.175. |
|||||
n n 3! |
2 |
|
||||
n n |
|
|||||
13 2n1 |
|
|||||
|
|
|
|
n |
|
|
5.176. lim |
. |
|||||
. 5.177. |
||||||
n n3 |
|
|
limn 3 n
n .
47
1
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
lim |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
||||||||||||
5.178. lim |
|
|
|
|
|
5.179. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
5.180. lim |
n |
. |
|
|
|||||
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
|
n 2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 n |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sin3 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
5.181. |
|
|
|
.5.182. |
|
|
|
5.183. |
|
1 |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
n |
|||||||||
|
n |
|
n |
|
|
n 0 |
n |
|
|
|
n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n.5.185.
lim1 n
n
n n lim .5.188.
n n 2
1 n
lim1 .
n 4n
n
n 3 2. lim
n n
5.186.
5.189.
n 2 n
lim .
n n
2n 1n
lim .
n 2n 1
|
|
2n |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1n |
|
||||
2n 1 |
|
|
2n 1 n |
|
||||||||||
|
. 5.191. |
|
|
. 5.192. |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 2n 1 |
lim |
|
|
|
2n 1 |
|
||||||||
|
|
|
n 2n 1 |
n |
|
|
|
|||||||
|
2n 1n3 |
111 |
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
.5.194. lim . |
|
|||||||||||||
lim |
|
n 244668 |
2n2n2 |
|
||||||||||
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.184.
5.187.
5.190.
5.193.
§3. Функции непрерывного аргумента. Предел функции в точке
Пусть функция определена на всей числовой прямой. Какому условию она удовлетворяет, если:
5.195. |
для любого числа |
|
M |
найдётся такое число |
N , что для любого x , |
|||||||||||
удовлетворяющего условию |
|
x |
|
N , выполняется неравенство |
|
f x M? |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
5.196. |
для любого числа |
0 |
|
|
найдётся такое число |
N , что для любого x , |
||||||||||
удовлетворяющего условию |
|
x N , выполняется неравенство |
|
f x ? |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
5.197. |
для любого числа |
|
M |
найдётся такое число |
N , что для любого x , |
|||||||||||
удовлетворяющего условию |
|
x N , выполняется неравенство |
|
f x M? |
||||||||||||
5.198. |
для любого числа |
|
0 |
найдётся такое число |
N , что для любого x , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x a ? |
|||||||
удовлетворяющего условию |
|
x |
|
N , выполняется неравенство |
|
|||||||||||
5.199. |
для любого числа |
M 0 |
|
найдётся такое число N , что для любого x, |
||||||||||||
удовлетворяющего условию |
|
x N |
, выполняется неравенство |
|
f x M |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
||||||||
5.200. |
для любого числа |
|
0 |
|
и для любого числа |
0 |
|
из неравенства |
||||||||
|
x a |
следует неравенство |
|
|
f x A ? |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
48
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a . Какой вывод можно сделать, если:
5.201. для любого числа |
|
0 |
|
существует |
0 |
такое, что для любого |
x |
|
из |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенства |
0 x a следует неравенство |
|
|
|
f x A ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.202. |
для любого числа |
M |
существует |
0 |
такое, что для любого |
x |
из |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенства 0 x a следует неравенство |
|
f x M? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.203. для любого числа |
|
0 |
|
существует |
|
0 |
такое, что для любого |
x из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенства |
0 x a следует неравенство |
|
|
|
f x ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.204. |
для любого числа |
M |
существует |
0 |
такое, что для любого |
x |
из |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенства 0 x a следует неравенство |
|
f x M? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В задачах 5.205-5.227 вычислить пределы: |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2x 3 |
|
|
|
|
|
x |
2x 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5.205. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
5.206. |
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
5.207. |
lim |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||
lim2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
5 |
|
|
|
|
|
|
x x |
2x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
||||
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.208. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
5.209. lim |
|
|
|
|
|
|
|
. 5.210. |
lim |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 02x x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x x. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
5.211. |
lim |
. |
|
5.212. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
5.213. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
x 3x 2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x 2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
6x 8 |
|
|
|
x x 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.214. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
5.215. |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
. 5.216. lim |
2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 x 8 |
|
x 1x x x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 1 |
|
|
|
1 x 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 2 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5.217. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
5.219. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
3 |
. 5.218. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1x |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
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5.220. |
lim |
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. |
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5.221. |
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lim |
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. 5.222. |
lim |
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. |
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x 1 |
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x 5 |
x 5 |
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x 0 16x 4 |
x 1 |
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2 |
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5.223.
5.226.
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x 1 |
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1 x 1 |
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3 |
2 |
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lim |
2 |
. 5.224. lim |
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x 1 |
3 |
x 1 |
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x 0 x |
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2 |
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2 |
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2 |
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limx 4x x |
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x2x1x7x3 |
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. 5.227. |
lim |
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. |
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x |
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x |
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sinx
5.228. Вычислить предел lim .
x x
49