9869

Видим, что несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и

признаков сравнения, радикального признака Коши и признака Даламбера не дает ответа на вопрос. Попробуем воспользоваться интегральным

Приступим к исследованию на сходимость числовых рядов, члены которых имеют произвольный знак. Частным случаем таких рядов являются знакочередующиеся ряды.

Ряд u1 u2 u3 u4 ... 1 n 1 un ... 1 n 1 un , в котором

n 1

знакочередующимся.

Для знакочередующихся рядов различают два типа сходимости –

абсолютную и условную. Ряд 1 n 1 un называется абсолютно

n 1

171

сходящимся, если ряд un , составленный из модулей его членов,

n 1

сходится.

Оказывается, что всякий абсолютно сходящийся ряд является

сходящимся, т.е. из сходимости ряда un следует сходимость ряда

n 1

1 n 1un . Обратное утверждение неверно.

n 1

Ряд 1 n 1un называется условно сходящимся, если сам он

n 1

сходится, а ряд un , составленный из модулей его членов, расходится.

n 1

При исследовании на сходимость знакочередующегося ряда надо ответить не только на вопрос, сходится он или расходится, но и выяснить,

как он сходится – условно или абсолютно.

Для знакочередующихся рядов справедлив признак Лейбница

(достаточный признак сходимости): если для знакочередующегося

числового ряда 1 n 1 un выполняются два условия:

n 1

1) lim un 0 и

n

2) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т.е.

u1 u2 u3 ... un ..., то

ряд сходится; а его сумма S положительна и меньше первого члена u1 , т.е.

0 S u1 .

Отметим важные свойства абсолютной и условной сходимости.

Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся и имеет одну и ту же сумму при любой перестановке его членов. Если ряд сходится условно, то, какое бы число С мы заранее ни взяли, можно так

172

переставить члены этого ряда, что сумма получившегося после перестановки ряда окажется равной С .

абсолютно. Для этого рассматриваем ряд, составленный из модулей членов

Воспользуемся признаком Даламбера, вычислив

абсолютной величине.

Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница. Однако он сходится

§ 5. Функциональные и степенные ряды.

Разложение функций в степенные ряды

называется функциональным рядом. Давая переменной x определенные числовые значения, мы получим разные числовые ряды, некоторые из них могут оказаться сходящимися, другие - расходящимися. Целью исследования рядов из функций является нахождение значений x , для

174

которых числовой ряд является сходящимся. Совокупность всех значений x , при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости функционального ряда.

Областью сходимости функционального ряда чаще всего служит какой-нибудь промежуток оси ox . Каждому значению x из области сходимости функционального ряда соответствует определенное значение

n

предела lim uk x , являющееся функцией от x . Его называют суммой

n k 1

функционального ряда и обозначают S x .

Ряд вида

составленный из степенных функций (коэффициенты ai , i 1,2,... -

действительные числа), называется степенным рядом. Именно такой вид функциональных рядов мы и будем рассматривать. Если a 0 , степенной ряд приобретает вид

R x R , для всех точек которого степенной ряд (5.2) сходится, а для всех x : x R – расходится.

Интервал R, R называется интервалом сходимости степенного

ряда (5.2), а число R - радиусом сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости (т.е. при x R и x R ) ряд может как сходиться,

них пределы существуют.

Интервал сходимости рядов вида (5.1) симметричен относительно точки x a и описывается неравенствами a R x a R .

n2 xn

Найдем, например, область сходимости степенного ряда .

n 1 2n

Следовательно, ряд сходится, если x 2, 2 . Осталось исследовать ряд в концевых точках x 2 и x 2 .

176

n2 xn

ряд расходится. Таким образом, область сходимости ряда

n 1 2n

совпадает с его интервалом сходимости: x 2, 2 .