9869
.pdfПлощадь поперечного сечения канала называют его живым сечением, а длину P AB BC CD (см. рис. 19) границы такого сечения называют смоченным периметром канала. С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено [4], что из всех каналов с заданным живым сечением наибольшей пропускной способностью и одновременно наименьшей фильтрацией отличаются каналы с наименьшим смоченным периметром. Про такие каналы говорят,
что они имеют гидравлически наивыгоднейший профиль.
Наиболее часто сооружают каналы, а также оросительные и водосточные канавы с сечением формы равнобочной трапеции ( АВ=CD,
см. рис. 19).
1; 1; 1 |
1 |
2 |
A |
|
|
3 |
|
|
|
|
F |
|
|
|
E |
|
|
|
D |
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.19 |
|
Пример. Найти наивыгоднейший с точки зрения гидравлики
профиль канала трапецеидальной формы.
Решение. Найдем размеры поперечного сечения канала заданной
площади S с наименьшим периметром P . Пусть AB CD , |
CE AD, |
||||||||||
BF AD, CE h , EDC . Тогда |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
P AB BC CD 2AB BC |
|
(1) |
||||||
|
|
S |
1 |
AD BC CE |
1 |
AD BC |
CE |
(2) |
|||
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
CED – прямоугольный, |
|
|
|
|
|||||||
sin EDC |
CE |
или |
sin |
h |
, откуда |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||
|
CD |
|
|
CD |
|
|
|
|
|||
|
|
|
110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CD AB |
h |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Подставив (3) в (1), получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
2 h |
|
BC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Так как AD AF FE ED , а FE BC , |
|
AF ED, находим: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
AD 2ED BC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
||||||||||||||
|
Из EDC : |
tg |
CE |
|
или tg |
h |
|
, откуда ED |
|
h |
. Подставив |
||||||||||||||||||||||
|
ED |
ED |
tg |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
последнее равенство в (5), находим AD |
|
2h |
|
BC . Тогда равенство (2) |
|||||||||||||||||||||||||||||
tg |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
запишется: S |
|
2h |
|
2BC h , |
|
откуда |
|
BC |
S |
|
h |
. |
Подставив |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
tg |
|
||||||||||
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
последнее равенство в (3), находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2h |
|
S |
h |
|
|
S |
2 cos |
h |
|
|
|
||||||||||||||||
|
P h, sin |
h tg |
h |
|
sin |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, требуется найти такую |
|
точку h0 , 0 |
из области |
|||||||||||||||||||||||||||||
D |
h, / 0 , h 0 , |
|
в |
которой |
|
функция |
P h, принимает |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наименьшее значение.
Найдя частные производные функции P h, и приравняв их к нулю,
получим систему уравнений:
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
2 cos |
|
|||||
|
|
|
Ph |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
|
|
|
h |
2 |
|
sin |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 cos 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
P |
|
sin |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Откуда cos |
1 |
или |
|
|
|
60 , тогда |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S sin 60 tg 60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
h0 |
|
|
|
|
2tg 60 |
sin 60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
В рассматриваемой области D функция P h, |
имеет единственную |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48S . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
, значение функции в ней равно P= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
критическую точку |
3 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Исследуем функцию P h, на границе области D : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
, h 0 |
. Имеем P h, 2h |
S |
|
|
|
Ph |
2 |
S |
|
h |
|
|
|
S |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
h |
|
|
|
h2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
. Тогда |
P |
|
|
|
= |
2 2S 4 48S 2 |
P(h ; |
|
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
При приближении точки |
|
|
(h, ) |
|
к прямым h 0 |
и 0, |
а |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
также |
при |
|
|
удалении |
|
|
в |
|
бесконечность |
|
|
по |
|
|
|
|
h |
|
функция |
|
P h, |
неограниченно возрастает. Поэтому точку |
h0 , 0 можно окружить таким |
|||||
прямоугольником D1 {(h, ) / |
а |
|
, с h d} , что вне его и на |
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
его границе P(h; ) P h0 , 0 . |
|
|
|
|
||
Отсюда следует, |
что |
P h0 , 0 – |
наименьшее значение функции |
|||
P h, в области D1 , и |
оно |
же будет наименьшим значением |
этой |
|||
функции в области D . |
|
|
|
|
|
|
Итак, функция |
P h, |
имеет наименьшее значение при |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
h |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Таким образом в трапеции |
ABCD : |
AB BC CD |
2 |
|
S |
|
и |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
27 |
|
|
АВС 120 .
112
§ 3. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Основные понятия
Одной из основных задач дифференциального исчисления является
нахождение производной функции или дифференциала заданной функции.
Основной задачей интегрального исчисления является обратная задача – отыскание функции по ее производной или заданному ее
дифференциалу. |
|
|
Функция F x называется первообразной для функции |
f x , если |
|
функции F x и |
f x связаны следующим соотношением: |
|
|
|
|
|
F x f x . |
|
Пример. |
Функция F x sin x вяляется первообразной для |
функции f x cos x , так как sin x cos x .
Если для данной функции f x существует первообразная, то она не является единственной. Так, в предыдущем примере в качестве первообразных можно взять следующие функции:
F x sin x 1, F x sin x 2
или в общем виде
F x sin x C ,
где C – произвольная постоянная, так как при любом значении C
sin x C sin x C cos 0 cos x .
В связи с этим возникает вопрос, исчерпывает ли функция вида sin x C все возможные первообразные для cos x или существуют еще функции другого вида, которые также будут первообразными для cos x .
Ответ на него дает следующая теорема.
Теорема. Если F x есть какая-либо из первообразных для данной
функции f x , то самое общее выражение для первообразной имеет вид:
113
F x C ,
где C – есть первообразная постоянная.
Доказательство. Пусть F1 x есть любая функция, имеющая своей
производной F |
x f x . |
|
|
1 |
|
|
|
С другой |
стороны, рассматриваемая функция |
F x также имеет |
|
|
|
|
|
f x своей производной, то есть F x f x . |
|
||
Вычитая это равенство из предыдущего, имеем: |
|
||
|
|
|
|
F1 x F x F1 x F x f x f x 0 |
|||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
F1 x F x C , |
|
где C есть постоянная, что и требовалось доказать. |
|
||
Действительно, если |
производная некоторой |
дифференцируемой |
функции x 0 , то сама функция x может быть только постоянной.
Полученный результат можно сформулировать и так: если производная (или дифференциалы) двух функций тождественно равны, то
сами функции отличаются лишь постоянным слагаемым.
Если функция F x является первообразной для f x , то семейство всех ее первообразных функций F x C называется неопределенным интегралом от функции f x и обозначается как f x dx .
Таким образом, по определению
f x dx F x C ,
если
F x f x .
При этом функцию f x называют подынтегральной функцией, f x dx – подынтегральным выражением, переменную x – переменной
114
интегрирования, а знак – |
знаком интеграла. |
Действие, с помощью |
|||||||||||||
которого |
по |
данной |
функции f x |
находим |
ее |
первообразную F x , |
|||||||||
называется интегрированием функции |
|
f x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Пример. Найти неопределенный интеграл от функции |
f x x . |
||||||||||||
|
|
Решение. Первообразной от x |
|
будет функция |
F x |
x2 |
, так как |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
x dx |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x . |
В |
таком |
случае |
|
C , |
где |
C |
– |
произвольная |
||||
|
2 |
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
постоянная.
Таблица основных интегралов
Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. В
интегральном исчислении нет универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций. Методы нахождения первообразных сводятся к указанию приемов, приводящих данный
(искомый) интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.
Степенные функции:
xn dx |
xn 1 |
|
C |
n 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
dx ln |
|
x |
|
C , т.к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
1 |
, x 0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
ln x C , x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ln |
x |
C |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x C , x 0 |
|
|
1 |
|
, x 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
Показательные функции:
ex dx ex C ;
115
ax dx |
ax |
C |
a 0, a 1 . |
|
ln a |
||||
|
|
|
Тригонометрические функции:
sin x dx cos x C ;
cos x dx sin x C ;
tgx dx ln cos x C ;
ctgx dx ln sin x C ;
1 |
|
|
dx tgx C ; |
||
|
|
|
|
||
cos2 |
x |
||||
1 |
|
dx ctgx C . |
|||
|
|
|
|||
sin 2 |
x |
Дробные рациональные функции:
|
1 |
dx arctgx |
C ; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
a 0 ; |
|||||
|
|
|
|
|
arctg |
|
C |
||||||||||
a2 x2dx |
a |
a |
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
x a |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
ln |
|
|
|
C . |
|||||||
|
|
x2 a2 |
2a |
|
x a |
Иррациональные функции:
|
1 |
|
dx arcsin x C ; |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
1 x2 |
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
dx arcsin |
|
|
C ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||||
|
a2 x2 |
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ln |
x x2 |
C . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Если f x g x , то f x dx g x dx C ,
116
где C – произвольная постоянная.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
f x dx f x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||
3. |
|
F x C , где |
C – произвольная постоянная. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F x dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. a f x dx a f x dx , a R , |
a 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5. f x g x dx f x dx g x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример. Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3x |
|
x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3x |
|
|
|
|
|
3xdx |
|
dx |
|
|
|
|
xdx |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|||||||||||
|
3 x1dx 2 |
dx x |
2 |
dx 3 |
|
|
|
2 ln |
|
x |
|
|
|
|
C |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x2 2 ln |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
x |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Простейшие способы интегрирования.
Непосредственное интегрирование
Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл удается привести к одному или нескольким табличным интегралам. К табличному виду обычно удается привести не очень сложные интегралы путем элементарных тождественных преобразований подынтегральных функций, а также воспользовавшись основными свойствами неопределенного интеграла.
Поясним сказанное примерами.
Пример. Найти x 3 2 dx .
Решение.
117
x 3 2 dx x2 6x 9 dx x2dx 6xdx 9dx
|
x3 |
6 xdx 9 dx |
x3 |
6 |
x2 |
9x C |
x3 |
3x2 9x C. |
|
|
|
|
|||||
3 |
3 |
2 |
3 |
|
Выполнив под знаком интеграла очевидные тождественные преобразования (возвести разность в квадрат), свели данный интеграл к трем табличным интегралам xn dx , n 2;1;0. постоянная C (которая в данном примере равна сумме трех постоянных C C1 C2 C3 )
появляется тогда, когда исчезают знаки интеграла.
Пример. Найти x2 1 dx . x
Решение.
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
x |
|
dx |
|
xdx |
|
|
|
dx |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 |
|
ln |
|
x |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование заменой переменной. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Во многих |
случаях |
|
f x dx |
можно упростить, |
если |
вместо x |
||||||||||||||||||||||
ввести новую переменную t , положив |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
t dt . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для приведения данного интеграла к новой переменной достаточно |
||||||||||||||||||||||||||||
привести к новой переменной его подынтегральное выражение |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
x dx f t |
t dt , |
|
|
|
|
(3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
x t ,
118
в справедливости чего легко убедиться, продифференцировав обе части равенства (3) и воспользовавшись затем формулами (1) и (2).
Метод замены переменной интегрирования, является одним из наиболее эффективных и распространенных методов интегрирования. С
другой стороны, не существует общих правил, которые во всех случаях позволяли бы найти замену переменной, ведущую к желаемой цели.
Поэтому, чем больше примеров самостоятельно решить, тем с большим успехом можно овладеть методом замены переменной.
Пример. Найти e2 x 3dx .
Решение. Данный интеграл не табличный, но есть интеграл сходный с данным. Поэтому введем новую переменную t , связанную с x
зависимостью: 2x 3 t , |
x |
1 |
t 3 . |
Дифференцируя это равенство, |
|||||
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
получим: 2x 3 |
dx t dt , |
2dx dt , |
откуда dx |
|
dt . Подставив |
||||
2 |
результат в данный интеграл, имеем:
|
|
e2 x 3dx et |
1 |
dt |
1 |
|
et dt |
1 |
et C. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||
Возвращаясь к переменной x , находим: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e2 x 3dx |
1 |
e2 x 3 C . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для надежности проверяем результат дифференцированием: |
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
e2 x 3 C |
|
|
|
e2 x 3 2x 3 |
|
|
|
e2 x 3 2 e2 x 3 |
– верно. |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Интегрирование по частям. |
|
|||||||||||||
Пусть u и v – две любые дифференцируемые функции от x , то есть |
||||||||||||||||||
u u x |
и v v x . |
Тогда дифференциал произведения u v вычисляется |
по следующей формуле:
119