9869

коэффициентами. Его решения ищут в виде функций

y e x . Рассмотрим,

например, уравнение

2 y 0 .

y

3 y

Подставив

в

него функцию

y e x , а также

ее

производные

2 e x , получим

e x ( 2

3 2) 0 .

y e x e x

и

y e x

Поскольку e x 0 ,

функция y e x

будет решением,

если

– корень

дифференциального уравнения. Его корни

1 1

и

2 2, поэтому

непропорциональные функции

y

e x

и

y e2 x

формируют

общее

1

2

решение этого уравнения

y

C e x

C

e2 x .

В

общем

виде

oo

1

2

2 a a

0 .

(2.5)

1

0

Если

a 2

/ 4 a

0 ,

то

уравнение (2.5)

имеет

два

различных

1

0

действительных корня

1 и 2 , которые определяются формулой

a

a

2

1

1

a .

1,2

2

4

0

При

этом

непропорциональные

решения

уравнения

y

e 1 x и

1

y e 2 x формируют общее решение уравнения (2.4) в виде

2

y

oo

( x) C e 1 x C

e 2 x .

1

2

Рассмотрим дифференциальное

уравнение

y .0 Его

y 4

y 4

характеристическое уравнение имеет два одинаковых корня 1

2 2 (в

150

общее

решение дифференциального уравнения получается

в

виде

y C e2x C

2

xe2 x .

oo

1

В целом можно сказать, что если выполняется условие a 2

/ 4 a

0

1

0

общее решение yoo (x) однородного

дифференциального

уравнения

второго порядка имеет вид y

C e x

C

2

xe x (C C

2

x)e a1 x / 2 .

oo

1

1

Если же характеристическое уравнение (2.5) имеет комплексные

корни

1,2

i , то можно убедиться,

что функции

y e x cos x и

1

y e x sin x

образуют пару

непропорциональных решений уравнения

2

(2.4), а его общее решение имеет вид

y

(x) e x (C cos x C

2

sin x) .

oo

1

Такая ситуация возникает, если

a

2 / 4 a

0 ,

при этом a / 2 ,

1

0

1

a a 2 / 4 .

0

1

Рассмотрим, например, дифференциальное уравнение

4 y 0 .

y

Его характеристическое уравнение

2 4 0 имеет комплексные корни

1,2

2i ,

а

общее

решение,

тем

самым,

приобретает вид

yoo (x) C1 cos 2x C2 sin 2x .

Для

уравнения

0

также

y

2 y 5 y

составим характеристическое уравнение:

2 2 5 0 . Его комплексные

корни

1,2

1 2i

позволяют

записать

общее

решение

дифференциального уравнения в виде

y

(x) e x (C

cos 2x C

2

sin 2x) .

oo

1

Свободные колебания в среде с сопротивлением описываются

уравнением

(2.6).

Если

h2 k 2

0

(h k) ,

то

характеристическое

уравнение

(2.7)

имеет

два

различных

действительных корня

h

h2 k 2

. В модели движения груза

на

пружинке указанное

1,2

условие означает,

что сила сопротивления среды

больше силы упругости

если h2 k 2 , то есть h k . Для задачи

о движении груза на пружине это

означает, что сила сопротивления

и сила упругости пружины

приобретает вид x

oo

(t) (C

C

2

t)e ht

. При малых значениях

t

основную

1

«роль» играет первый множитель, линейный относительно

t ,

а затем с

увеличением

t

материальная точка будет стремиться к положению

равновесия.

Если же

h2 k 2 0

(то есть

h k - упругая сила

пружины

h k 2 h2 i .

1,2

153

Будем

рассматривать

правую

часть

f ( x) уравнения (2.2) в

специальном виде

f (x) Q (x)e x cos x

или

f (x) Q (x)e x sin x ,

n

n

где Q (x) q xn q

xn 1

q x q

– заданный многочлен степени n .

n

n

n 1

1

0

Назовем параметром таких функций комплексное число i .

Прежде чем решать неоднородное уравнение со специальной правой

частью, нужно сравнить параметр

i

функции из правой части с

уравнению.

Для

описания

этого

совпадения введем

число

k . Если

параметр

не совпадает ни с одним из корней характеристического

уравнения,

то

считаем

k 0 .

При

совпадении

с

корнем

характеристического уравнения считаем k

равным кратности совпавшего

Начнем с рассмотрения

функции f (x) Q (x)e x

(параметр

n

имеет

действительное

значение, поскольку

0 ).

В

этом случае

y

чн

( x) xk P ( x)e x , то

есть

частное решение

ищут

в

виде функции

n

части, умножая

ее на

xk . При этом, как

отмечалось, возможны

три

варианта: k 0 ,

k 1

или

k 2. Конкретные

числовые

значения

коэффициентов

многочлена

P (x) p xn p

xn 1

p x p

n

n

n 1

1

0

4xe

3 x

.

y

3 y 2 y

Функция в его правой части

f ( x) 4xe3 x

имеет степень n 1 и параметр

3, не совпадающий с корнями

1

1

и 2 2 характеристического

уравнения,

то есть

k 0 .

Поэтому частное решение такого уравнения

имеет вид

y

чн

( x) x0 P ( x)e3 x

( p x p )e3 x . Для определения числового

1

1

0

значения коэффициентов

p0

и

p1

найдем

производные функции

указанного

вида

(( p1 x p0 )e

3 x

p1e

3 x

(3 p1 x 3 p0 )e

3 x

,

)

(( p1 x p0 )e

3 x

6 p1e

3 x

(9 p1 x 9 p0 )e

3 x

и подставим в уравнение:

)

(6 p 9 p x 9 p 3 p 9 p x 9 p 2 p x 2 p )e3 x 4xe3 x .

1

1

0

1

1

0

1

0

в тождество, если приравнять коэффициенты при

соответствующих

степенях переменной

x в его обеих частях:

2 p1 4

и 3 p1 2 p0

0 . Тем

самым,

p0 3 и

p1 2

дают нужные значения коэффициентов для

частного решения:

y

чн

( x) (2x 3)e3 x

. С учетом найденного ранее общего

решения

однородного

уравнения,

получаем

y

oн

( x) C e x C

e2 x (2x 3)e3 x .

1

2

Если изменить правую часть уравнения:

3 y

2 y e

2 x

,

y

то степень функции

f ( x) e2 x будет

n 0 ,

а параметр

2 совпадет с

одним из корней характеристического уравнения, то есть k 1.

Частное

решение

следует

искать

теперь

в

виде

y

чн

( x) xP ( x)e2 x p xe2 x .

0

0

Находим

производные

( p0 xe

2 x

2 x

2 p0 xe

2 x

и

) p0e

( p0 xe

2 x

4 p0e

2 x

4 p0 xe

2 x

. Подставим их в уравнение:

)

4 p e2 x

4 p xe2 x 3 p e2 x 6 p xe2 x 2 p xe2 x

e2 x .

0

0

0

0

0

Равенство

обращается

в

тождество,

если

p0 1,

следовательно,

y

чн

( x) xe2 x и y

oн

( x) C e x C

e2 x xe2 x .

1

2

Для неоднородного уравнения

2 x

y

4 y

4 y 8e

функция

f ( x) 8e2 x степени

n 0

имеет параметр 2,

совпадающий с

двукратным корнем характеристического уравнения,

поэтому здесь k 2 .

Частное

решение

в

этом

случае

приобретает

вид

yчн ( x) x

2

P0 ( x)e

2 x

2 2 x

.

Производные

2

e

2 x

2

)e

2 x

p0 x e

( p0 x

) (2 p0 x 2 p0 x

и

2

e

2 x

(2 p0 8 p0 x 4 p0 x

2

)e

2 x

подставим в уравнение:

( p0 x

)

(2 p 8 p x 4 p x2

8 p x 8 p x2

4 p x2 )e2 x 8e2 x .

0

0

0

0

0

0

Равенство

обращается

в

тождество,

если

p0 4 ,

следовательно,

y

чн

( x) 4x2e2 x и y

oн

( x) C e2x C

2

xe2 x 4x2e2 x .

1

В случае комплексного значения параметра

функции специального

вида ( 0 ) частное решение неоднородного уравнения ищут в

виде

y

чн

( x) xke x (P ( x)cos x R ( x)sin x) .

Здесь

P ( x)

и

R ( x)

-

n

n

n

n

многочлены

той

же степени

n ,

что

и

в правой

части,

k

- кратность

совпавшего

с параметром

корня

в

характеристическом

уравнении.

x k2 x M sin t .

(3.1)

и

r M /(k2

2 ) . Тем самым, x

(t)

M

sin t .

k 2 2

0

чн

xoн (t) Asin(kt )

M

sin t .

(3.2)

k2 2

При совпадении частоты возмущающей

силы

с

частотой

собственных колебаний ( k ) движение описывается уравнением

x k2 x M sin kt ,

(3.3)

а частное решение имеет вид xчн (t) t( p0 cos kt r0 sin kt) .

Подставляя

такую функцию в уравнение (3.3), получим

p0 M / 2k

и r0 0 .

a1 a2 a3 ... an

... an , которое называют

числовым рядом.

n 1

Числа a1 , a2 ,..., an ,...

называются членами ряда,

a

n

называется общим

1

1

Например, формула

an

задает ряд

, то есть выражение

2n

2n

n 1

вида

1

1

1

...

1

...

(4.1)

2n

2

4

8